1 數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的性質(zhì) 課件

第1章數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的性質(zhì)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)(mathematicaleconomics)指采用數(shù)學(xué)符號(hào)描述經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，并運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行推理的分析方法及其體系。1.1數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)1.2數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型1.3最優(yōu)化問(wèn)題

1.1數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)1.1.1經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)化1.1.2數(shù)學(xué)之于經(jīng)濟(jì)學(xué)的意義1.1.3經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化的代價(jià)l

1.1.1經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)化20世紀(jì)30年代后，經(jīng)濟(jì)學(xué)開(kāi)始數(shù)學(xué)化今天，高等數(shù)學(xué)是從事學(xué)術(shù)研究的基本技能經(jīng)濟(jì)學(xué)在總體上具備物理學(xué)研究的架構(gòu)借助數(shù)學(xué)模型，提出理論假說(shuō)，刻畫(huà)經(jīng)濟(jì)事實(shí)概括觀察結(jié)果，用實(shí)際數(shù)據(jù)(一般指統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù))檢驗(yàn)理論假說(shuō)的真?zhèn)?。?shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用理論研究(theoreticalanalysis)工具經(jīng)驗(yàn)研究(empiricalanalysis)工具

1.1.2數(shù)學(xué)之于經(jīng)濟(jì)學(xué)的意義建模是經(jīng)濟(jì)學(xué)家的首要工作經(jīng)濟(jì)模型集中于探討經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的核心方面建模形式文字描述物理模型數(shù)學(xué)模型理論研究采用文字描述、物理模型或運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)，無(wú)實(shí)質(zhì)差別數(shù)學(xué)模型更便于演繹推理，并使表述更言簡(jiǎn)意賅

數(shù)理模型的優(yōu)勢(shì)促使分析者在推理過(guò)程中做出明確假設(shè)揭示了直覺(jué)判斷的局限性，有時(shí)能夠挖掘出與直覺(jué)判斷相悖的特例便于交流

1.1.3經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化的代價(jià)讓經(jīng)濟(jì)理論變得狹隘經(jīng)濟(jì)理論變得更簡(jiǎn)單，邏輯性更強(qiáng)，數(shù)量更多對(duì)數(shù)理模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)逐漸成為標(biāo)準(zhǔn)的程序一種批評(píng)：借助數(shù)學(xué)推導(dǎo)的理論是不現(xiàn)實(shí)的理論在本質(zhì)上是不現(xiàn)實(shí)的“不現(xiàn)實(shí)”既適用于數(shù)理經(jīng)濟(jì)理論，也適用非數(shù)理性的經(jīng)濟(jì)理論關(guān)于數(shù)理性的經(jīng)濟(jì)理論缺乏現(xiàn)實(shí)性的批評(píng)不是一種有效的批評(píng)

1.2數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型1.2.1超越幾何學(xué)方法使我們能夠處理個(gè)變量的一般情形。

1.2.2經(jīng)濟(jì)模型經(jīng)濟(jì)模型的構(gòu)成經(jīng)濟(jì)主體:消費(fèi)者、工人、廠商和政府等。經(jīng)濟(jì)環(huán)境：對(duì)經(jīng)濟(jì)主體產(chǎn)生影響，但又在主體的可控能力之外選擇(choices)：反映主體對(duì)環(huán)境時(shí)的判斷決策理性假設(shè)。有時(shí)直接表示選擇來(lái)建模：如消費(fèi)者效用最大化有時(shí)以選擇的結(jié)果來(lái)建模：如供求模型或一些宏觀經(jīng)濟(jì)模型

均衡解(equilibriumsolution)均衡是經(jīng)濟(jì)主體的選擇及其相互作用的后果均衡表明，除非經(jīng)濟(jì)環(huán)境發(fā)生變化，否則經(jīng)濟(jì)變量不會(huì)有變動(dòng)的趨勢(shì)均衡可以表示兩類(lèi)情形經(jīng)濟(jì)主體的最優(yōu)決策是由經(jīng)濟(jì)環(huán)境決定表示經(jīng)濟(jì)變量(比如，供求模型中的價(jià)格和數(shù)量，或者宏觀經(jīng)濟(jì)模型中的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)如何由經(jīng)濟(jì)環(huán)境決定。分析分析目的是預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)行為的變化，借助這種預(yù)測(cè)，經(jīng)濟(jì)學(xué)家能夠回答重要的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

例子：廠商廠商：尋求利潤(rùn)最大化目標(biāo)的主體經(jīng)濟(jì)環(huán)境生產(chǎn)技術(shù)，投入品的供應(yīng)單，產(chǎn)出的需求曲線，可能的稅收或政府管制等。選擇投入品的使用，產(chǎn)出水平，研究與開(kāi)發(fā)支出，廣告支出等均衡反映廠商的決策如何由經(jīng)濟(jì)環(huán)境決定。模型的價(jià)值取決于其預(yù)測(cè)能力比如，提高工薪稅如何影響廠商的勞動(dòng)與資本組合及其產(chǎn)出水平，或者，技術(shù)變化對(duì)利潤(rùn)水平的影響。

經(jīng)濟(jì)模型復(fù)雜程度的控制方法簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)假設(shè)如假定產(chǎn)品需求曲線是線性的。將特定要素放在經(jīng)濟(jì)環(huán)境而非選擇集中如假定產(chǎn)品質(zhì)量由技術(shù)決定，而非廠商決定假定有些問(wèn)題已經(jīng)在其他的模型中得以解決如：將成本刻畫(huà)為產(chǎn)出的函數(shù)，并假定，無(wú)論產(chǎn)出水平如何，廠商總是通過(guò)調(diào)整投入以最小化其成本包含以上所有方法，按步驟建模。這意味著以非常簡(jiǎn)單的假定開(kāi)始建模，然后放松假定，再次求解。1.2.3數(shù)理模型建模有其自身的術(shù)語(yǔ)和定義例：廠商決策目標(biāo)假定：利潤(rùn)最大化經(jīng)濟(jì)環(huán)境界定可供選擇的經(jīng)濟(jì)環(huán)境是競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng)？還是壟斷市場(chǎng)？是否存在研發(fā)投入？是否存在廣告投入？廠商是否受到政府管制或稅收的約束？

簡(jiǎn)單假設(shè)完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)；生產(chǎn)技術(shù)固定廠商(在模型之外)選擇使其成本最小化的勞動(dòng)—資本組合不存在稅收或管制。數(shù)學(xué)表示假設(shè)(a)意味廠商以?xún)r(jià)格出售任意數(shù)量的產(chǎn)品；假設(shè)(b)和(c)表明廠商的總成本可視為產(chǎn)出的函數(shù)；假設(shè)(d)意味著可在廠商不受政府影響的情況下建模。經(jīng)濟(jì)環(huán)境的數(shù)學(xué)表示外生變量(exogenousvariables)~內(nèi)生變量(endogenousvariables)外生變量：不受經(jīng)濟(jì)主體影響或控制，通常指給定參數(shù)內(nèi)生變量：依賴(lài)主體的選擇，由模型決定變量是外生或內(nèi)生，隨模型而定，因模型而異選擇：最優(yōu)產(chǎn)出(optimaloutput)，表達(dá)為供給函數(shù)：比較靜態(tài)分析(comparativestatics)：預(yù)測(cè)環(huán)境變化怎樣影響該變量數(shù)學(xué)上對(duì)參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)：多數(shù)情形下我們感興趣于定性結(jié)果，即外生變量變動(dòng)時(shí)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)只在少數(shù)場(chǎng)合中，我們才感興趣于定量結(jié)果1.3最優(yōu)化問(wèn)題1.3.1符號(hào)所有向量都為列向量?jī)?nèi)積(innerproduct),,,,為的向量值的函數(shù)，即，則的階Jacobi矩陣其中是關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的取值，同時(shí)是的第行列元素

，為實(shí)值函數(shù)，則：為行向量，或者等價(jià)地為矩陣。表明實(shí)值函數(shù)關(guān)于列向量的導(dǎo)數(shù)為行向量稱(chēng)為梯度(gradient)，表示為。

符號(hào)擴(kuò)展設(shè)為函數(shù)，其中和則是由式(1-1)給出的雅可比矩陣而則是由同一定義給出的雅可比矩陣。

設(shè)為函數(shù)，它在點(diǎn)處的Hessi矩陣其中的二階偏導(dǎo)數(shù)。Hessi矩陣通常表示為Hessi矩陣是階實(shí)對(duì)稱(chēng)的。

1.3.2參數(shù)約束最優(yōu)化問(wèn)題參數(shù)約束最優(yōu)化問(wèn)題(parametricconstrainedoptimizationproblem，PCOP)是目標(biāo)函數(shù)(objectivefunction)是選擇變量(choicevariables)是可行集(feasibleset)，約束著選擇變量的活動(dòng)范圍是能夠影響目標(biāo)函數(shù)和選擇集的外生參數(shù)

例1.1消費(fèi)者問(wèn)題((theconsumer’sproblem))消費(fèi)組合(consumptionbundle)，消費(fèi)集(consumptionset)是所有可行的消費(fèi)組合的集合，消費(fèi)者問(wèn)題:在中選擇可行的消費(fèi)組合，獲得最大滿足。消費(fèi)者的滿足表示為連續(xù)效用函數(shù)預(yù)算集(budgetset)

消費(fèi)者問(wèn)題其中，效用函數(shù)是消費(fèi)者的目標(biāo)函數(shù)，預(yù)算集可行集，是選擇變量，價(jià)格和收入是外生參數(shù)。

競(jìng)爭(zhēng)性廠商生產(chǎn)計(jì)劃(productionplan)：凈產(chǎn)出(netoutput)，即產(chǎn)出減去投入。生產(chǎn)可能性集(productionpossibilityset)凈收入函數(shù)

競(jìng)爭(zhēng)性廠商的行為凈收入函數(shù)是廠商的目標(biāo)函數(shù)，是選擇變量，是可行集，是外生參數(shù)。

最優(yōu)化問(wèn)題分析的主要對(duì)象解集(solutionset)如果問(wèn)題有多個(gè)解，則是具有多個(gè)元素的集合。值函數(shù)(valuefunction)

例1.3(間接效用函數(shù))例1.1消費(fèi)者問(wèn)題的最優(yōu)解衡量消費(fèi)者在給定價(jià)格和收入時(shí)的最佳消費(fèi)組合。一般將稱(chēng)為商品的需求函數(shù)。而這一問(wèn)題的值函數(shù)稱(chēng)為消費(fèi)者的間接效用函數(shù)(indirectutilityfunction)。

例1.3(利潤(rùn)函數(shù))例1.2中的競(jìng)爭(zhēng)性廠商的值函數(shù)：稱(chēng)為廠商的利潤(rùn)函數(shù)(profitfunction)。

例1.4(成本函數(shù))種投入，一種產(chǎn)出，生產(chǎn)計(jì)劃生產(chǎn)可能性集：投入要求集(inputrequirementset)：，成本最小化廠商一種產(chǎn)出，投入價(jià)格投入組合成本最小化問(wèn)題:值函數(shù)：稱(chēng)為成本函數(shù)(costfunction)。

數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型關(guān)注的問(wèn)題解的存在性：，最優(yōu)化問(wèn)題是否有解？解的連續(xù)性：解集和值函數(shù)是否隨參數(shù)連續(xù)變動(dòng)？求解方法：如何求出最優(yōu)化問(wèn)題的解？比較分析：解集和值函數(shù)如何隨參數(shù)變化？

最大化問(wèn)題與最小化問(wèn)題

1.3.3靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題(staticoptimizationproblems) (1.3)可行集即目標(biāo)函數(shù)的定義域、個(gè)約束函數(shù)的定義域，以及使個(gè)不等式成立的變量的集合之交。

擬凹規(guī)劃問(wèn)題擬凹，擬凹規(guī)劃問(wèn)題(convexprogrammingproblems)：目標(biāo)函數(shù)擬凹，約束函數(shù)擬凸。

1.3.4動(dòng)