高中數(shù)學北師大版2第一章統(tǒng)計案例 第1章12

第一章§1第2課時1.下列說法錯誤的是()A．當變量之間的相關(guān)關(guān)系不是線性相關(guān)關(guān)系時，也能直接用線性回歸方程描述它們之間的相關(guān)關(guān)系B．把非線性回歸化線性回歸為我們解決問題提供一種方法C．當變量之間的相關(guān)關(guān)系不是線性相關(guān)關(guān)系時，也能描述變量之間的相關(guān)關(guān)系D．當變量之間的相關(guān)關(guān)系不是線性相關(guān)關(guān)系時，可以通過適當?shù)淖儞Q使其轉(zhuǎn)換為線性關(guān)系，將問題化為線性回歸分析問題來解決[答案]A[解析]此題考查解決線性相關(guān)問題的基本思路．2．下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)：月份x1234用水量y/百噸43由散點圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是y＝－＋a，則a等于()A． B．C． D．[答案]D[解析]eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f＋4＋3＋,4)＝eq\f(7,2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝eq\f(7,2)＋×eq\f(5,2)＝.3．由一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則下列說法不正確的是()A．直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少經(jīng)過點(x1，y1)(x2，y2)……(xn，yn)中的一個點C．直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率為eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)D．直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))和各點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差是該坐標平面上所有直線與這些點的偏差中最小的直線[答案]B4．對于指數(shù)曲線y＝aebx，令u＝lny，c＝lna，經(jīng)過非線性化回歸分析之后，可以轉(zhuǎn)化成的形式為()A．u＝c＋bx B．u＝b＋cxC．y＝b＋cx D．y＝c＋bx[答案]A[解析]對方程y＝aebx兩邊同時取對數(shù)，然后將u＝lny，c＝lna代入，不難得出u＝c＋bx.5．某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：x34y12對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝(eq\f(1,2))xC．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)[答案]D[解析]代入檢驗，當x取相應(yīng)的值時，所得y值與已知數(shù)據(jù)差的平方和最小的便是擬合程度最高的．6．下列數(shù)據(jù)符合的函數(shù)模型為()x12345678910y234A．y＝2＋eq\f(1,3)x B．y＝2exC．y＝2eeq\f(1,x) D．y＝2＋lnx[答案]D[解析]分別將x的值代入解析式判斷知滿足y＝2＋lnx.二、填空題7．在兩個變量的回歸分析中，作散點圖的目的是__________________________；相關(guān)系數(shù)是度量________________________的量．[答案]從散點圖中看出數(shù)據(jù)的大致規(guī)律，再根據(jù)這個規(guī)律選擇適當?shù)暮瘮?shù)進行擬合兩個變量之間線性相關(guān)程度8．若回歸直線方程中的回歸系數(shù)b＝0時，則相關(guān)系數(shù)r的值為__________________.[答案]0[解析]若b＝0，則eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\x\to(x)eq\x\to(y)＝0，∴r＝0.三、解答題9．某工廠今年1～4月份生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別是1萬件、萬件、萬件、萬件．為了估測以后每個月的產(chǎn)量，可用函數(shù)y＝aebx來模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y(萬件)與月份x的關(guān)系，求模擬函數(shù)．[答案]y＝e－1＋24x[解析]設(shè)μ＝lny，c＝lna，則μ＝c＋bx.月份x1234產(chǎn)量y(萬件)1x1234μ0348eq\i\su(i＝1,4,x)i＝10，eq\i\su(i＝1,4,μ)i＝5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝30，eq\i\su(i＝1,4,μ)eq\o\al(2,i)≈2，eq\i\su(i＝1,4,x)iμi＝，eq\x\to(x)＝，eq\x\to(μ)≈9，相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iμi－4\x\to(x)\x\to(μ),\r(\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,4,μ)\o\al(2,i)－4\x\to(μ)2))≈eq\f－4××9,\r(30－4××\r2－4×92))≈7，相關(guān)程度較強．b＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iμi－4\x\to(x)\x\to(μ),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)≈eq\f－4××9,30－4×＝4，c＝eq\x\to(μ)－beq\x\to(x)≈9－4×＝－1，所以μ＝－1＋4x，y＝e－1＋24x.10．下表所示是一組試驗數(shù)據(jù)：xeq\f(1,6)y64138205285360(1)作出散點圖，并猜測y與x之間的關(guān)系；(2)利用所得的函數(shù)模型，預(yù)測x＝10時y的值．[答案](1)散點圖略y與x不具線性相關(guān)關(guān)系，可能成反比例型函數(shù)關(guān)系(2)－[解析](1)散點圖如圖所示，從散點圖可以看出y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)已有知識發(fā)現(xiàn)樣本點分布在函數(shù)y＝eq\f(b,x)＋a的圖像的周圍，其中a，b為待定參數(shù)．令x′＝eq\f(1,x)，y′＝y(tǒng)，由已知數(shù)據(jù)制成下表：序號ixi′yi′x′eq\o\al(2,i)y′eq\o\al(2,i)x′iy′i126444096128241381619044552362053642025123048285648122522805103601001296003600∑3010522202759907790eq\x\to(x)′＝6，eq\x\to(y)′＝，故eq\i\su(i＝1,5,x)′eq\o\al(2,i)－5(eq\x\to(x)′)2＝40，eq\i\su(i＝1,5,y)′eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(y)′2＝54，r＝eq\f(7790－5×6×,\r(40×54)≈7，由于r非常接近于1，∴x′與y′具有很強的線性關(guān)系，計算知b≈，a＝－×6＝－，∴y′＝－＋′，∴y對x的回歸曲線方程為y＝eq\f,x)－.(2)當x＝10時，y＝eq\f,10)－＝－.11.我國1990～2000年的國內(nèi)生產(chǎn)總值如下表所示：年份199019911992199319941995產(chǎn)值/億元182126344657年份19961997199819992000產(chǎn)值/億元6673768089則反映這一時期國內(nèi)生產(chǎn)總值發(fā)展變化的函數(shù)模型可能為()A．y＝aekx B．y＝a＋bxC．y＝axb D．y＝aeeq\f(b,x)[答案]B[解析]畫出散點圖，觀察可用y＝a＋bx刻畫國內(nèi)生產(chǎn)總值發(fā)展變化的趨勢．12．設(shè)由線性相關(guān)的樣本點(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，求得的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，定義殘差ei＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－bxi－a，i＝1,2，…，n，殘差平方和m＝eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＋…＋eeq\o\al(2,n).已知甲、乙、丙、丁四位同學各自對A、B兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：甲乙丙丁rm106115124103則哪位同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)A、B兩變量有更強的線性相關(guān)性()A．甲 B．乙C．丙 D．丁[答案]D[解析]r越接近1，相關(guān)性越強，殘差平方和m越小，相關(guān)性越強，故選D．二、填空題13．若一函數(shù)模型為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則作變換t＝__________________才能轉(zhuǎn)為y是t的線性回歸方程．[答案](x＋eq\f(b,2a))2[解析]∵y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f(4ac－b2,4a)，∴令t＝(x＋eq\f(b,2a))2，則y＝at＋eq\f(4ac－b2,4a)，此時y為t的線性回歸方程．14．若x、y滿足x－2－－1－01y則可用來描述x與y之間關(guān)系的函數(shù)解析式為__________________.[答案]y＝2ex[解析]畫出散點圖，形如y＝a·ebx，其中a≈2，b≈1.∴y＝2ex.15．若x、y滿足x12345y209642則可用來描述x與y之間關(guān)系的函數(shù)解析式為__________________.[答案]y＝eq\f(2,x)[解析]畫出散點圖，觀察圖像形如y＝eq\f(b,x)，通過計算知b≈2，∴y＝eq\f(2,x).三、解答題16．如下表所示，某地區(qū)一段時間內(nèi)觀察到的大于或等于某震級x的地震次數(shù)為N，試建立N對x的回歸方程，并表述二者之間的關(guān)系.震級34地震數(shù)283812038014795106957641550238422698震級6地震數(shù)19191356973746604435274206震級7地震答案]eq\o(N,\s\up6(^))＝10－＋[解析]由表中數(shù)據(jù)得散點圖如圖1.從散點圖中可以看出，震級x與大于或等于該震級的地震次數(shù)N之間呈現(xiàn)出一種非線性的相關(guān)性，隨著x的減少，所考察的地震數(shù)N近似地以指數(shù)形式增長．于是令y＝lgN.得到的數(shù)據(jù)如下表所示．圖1x34yx6yx7yx和y的散點圖如圖2.圖2從散點圖(2)中可以看出x和y之間有很強的線性相關(guān)性，因此由最小二乘法得a≈，b≈－，故線性回歸方程為y＝－＋.因此，所求的回歸方程為：lgN＝－＋，故eq\o(N,\s\up6(^))＝10－＋.[點評]在解回歸分析問題時，一般先作出原始數(shù)據(jù)的散點圖．依據(jù)散點圖中點的分布，選擇合適的函數(shù)模型進行擬合17．以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：房屋面積(m2)11511080135105銷售價格(萬元)22(1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖；(2)求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線；(3)據(jù)(2)的結(jié)果估計當房屋面積為150m2時的銷售價格[答案](1)略(2)eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋6(3)6[解析](1)數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如下圖所示：(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))xi＝109，lxx＝eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝1570，eq\x\to(y)＝，lxy＝eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝308.設(shè)所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(308,1570)≈2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝6.故所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋6.(3)據(jù)(2)，當x＝150m2時，eq\o(y,\s\up6(^))＝2×150＋6＝6(萬元)．18．某商店各個時期的商品流通率y(%)和商品零售額x(萬元)資料如下：xy64xy散點圖顯示出x與y的變動關(guān)系為一條遞減的曲線．經(jīng)濟理論和實際經(jīng)驗都證明，流通率y決定于商品的零售額x，體現(xiàn)著經(jīng)營規(guī)模效益，假定它們之間存在關(guān)系式：y＝a＋eq\f(b,x).試根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出a與b的估計值，并估計商品零售額為30萬元時的商品流通率．[答案]eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋eq\f,x)所求流通率約為%[解析]設(shè)u＝eq\f(1,x)，則y≈a＋bu，得下表數(shù)據(jù)：u3