新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測練專題04 數(shù)列的通項、求和及綜合應(yīng)用（精講精練）（原卷版）

專題04數(shù)列的通項、求和及綜合應(yīng)用【命題規(guī)律】數(shù)列是高考重點考查的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，大小均有．其中，小題重點考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基礎(chǔ)知識以及數(shù)列的遞推關(guān)系，和其它知識綜合考查的趨勢明顯（特別是與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的結(jié)合問題），浙江卷小題難度加大趨勢明顯；解答題的難度中等或稍難，隨著文理同卷的實施，數(shù)列與不等式綜合熱門難題（壓軸題），有所降溫，難度趨減，將穩(wěn)定在中等偏難程度．往往在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合．在考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考查“裂項相消法”、“錯位相減法”等，與不等式結(jié)合，“放縮”思想及方法尤為重要．?dāng)?shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)合問題，也應(yīng)適度關(guān)注．【核心考點目錄】核心考點一：等差、等比數(shù)列的基本量問題核心考點二：證明等差等比數(shù)列核心考點三：等差等比數(shù)列的交匯問題核心考點四：數(shù)列的通項公式核心考點五：數(shù)列求和核心考點六：數(shù)列性質(zhì)的綜合問題核心考點六：實際應(yīng)用中的數(shù)列問題核心考點七：以數(shù)列為載體的情境題【真題回歸】1．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國·高考真題（文））記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和．若SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0_______．3．（2022·全國·高考真題）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為2的等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求集合SKIPIF1<0中元素個數(shù)．4．（2022·全國·高考真題（理））記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和．已知SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的最小值．5．（2022·天津·高考真題）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0．6．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若對于每個SKIPIF1<0，存在實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求d的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】1、利用定義判斷數(shù)列的類型：注意定義要求的任意性，例如若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（常數(shù)）（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）不能判斷數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，需要補充證明SKIPIF1<0；2、數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等差數(shù)列；3、數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為非零常數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等比數(shù)列；4、在處理含SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的式子時，一般情況下利用公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，進(jìn)而求出SKIPIF1<0的通項公式；但是有些題目雖然要求SKIPIF1<0的通項公式，但是并不便于運用SKIPIF1<0，這時可以考慮先消去SKIPIF1<0，得到關(guān)于SKIPIF1<0的遞推公式，求出SKIPIF1<0后再求解SKIPIF1<0．5、遇到形如SKIPIF1<0的遞推關(guān)系式，可利用累加法求SKIPIF1<0的通項公式，遇到形如SKIPIF1<0的遞推關(guān)系式，可利用累乘法求SKIPIF1<0的通項公式，注意在使用上述方法求通項公式時，要對第一項是否滿足進(jìn)行檢驗．6、遇到下列遞推關(guān)系式，我們通過構(gòu)造新數(shù)列，將它們轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而求解該數(shù)列的通項公式：（1）形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），可變形為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，由此可以求出SKIPIF1<0；（2）形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），此類問題可兩邊同時除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，從而變成SKIPIF1<0SKIPIF1<0，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個問題；（3）形如SKIPIF1<0，可以考慮兩邊同時除以SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0的形式，設(shè)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，從而將問題轉(zhuǎn)化為第（1）個問題．7、公式法是數(shù)列求和的最基本的方法，也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)．其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和．利用等比數(shù)列求和公式，當(dāng)公比是用字母表示時，應(yīng)對其是否為SKIPIF1<0進(jìn)行討論．8、用裂項相消法求和時，要對通項進(jìn)行變換，如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，裂項后產(chǎn)生可以連續(xù)相互抵消的項．抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，但是前后所剩項數(shù)一定相同．常見的裂項公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0．9、用錯位相減法求和時的注意點：（1）要善于通過通項公式特征識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；（2）在寫出“SKIPIF1<0”與“SKIPIF1<0”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SKIPIF1<0”的表達(dá)式；（3）在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．10、分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：（1）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和；（2）通項公式為SKIPIF1<0，其中數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和；（3）要善于識別一些變形和推廣的分組求和問題．11、在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0．在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0．12、前SKIPIF1<0項和與積的性質(zhì)（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0．=1\*GB3①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…也成等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0．=2\*GB3②SKIPIF1<0也是等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0．=3\*GB3③若項數(shù)為偶數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若項數(shù)為奇數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0=1\*GB3①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…也成等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0=2\*GB3②相鄰SKIPIF1<0項積SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…也成等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0SKIPIF1<0．=3\*GB3③若項數(shù)為偶數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；項數(shù)為奇數(shù)時，沒有較好性質(zhì)．13、衍生數(shù)列（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均是等差數(shù)列，且等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)．=1\*GB3①SKIPIF1<0的等距子數(shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0也是等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0．=2\*GB3②數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也是等差數(shù)列，而SKIPIF1<0是等比數(shù)列．（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均是等比數(shù)列，且等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)．=1\*GB3①SKIPIF1<0的等距子數(shù)列SKIPIF1<0也是等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0．=2\*GB3②數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也是等比數(shù)列，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差數(shù)列．14、判斷數(shù)列單調(diào)性的方法（1）比較法（作差或作商）；（2）函數(shù)化（要注意擴展定義域）．15、求數(shù)列最值的方法（以最大值項為例，最小值項同理）方法SKIPIF1<0：利用數(shù)列的單調(diào)性；方法2：設(shè)最大值項為SKIPIF1<0，解方程組SKIPIF1<0，再與首項比較大?。竞诵目键c】核心考點一：等差、等比數(shù)列的基本量問題【規(guī)律方法】利用等差數(shù)列中的基本量（首項，公差，項數(shù)），等比數(shù)列的基本量（首項，公比，項數(shù)）翻譯條件，將問題轉(zhuǎn)換成含基本量的方程或不等式問題求解．【典型例題】例1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．3 C．2 D．1例2．（2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（

）A．80 B．100 C．120 D．143例3．（2022·新疆·高三期中（理））已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列SKIPIF1<0，所有項之和為所有奇數(shù)項之和的3倍，前4項之積為64，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．1或SKIPIF1<0例4．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知公差不為零的等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則數(shù)列SKIPIF1<0的前9項的和為（

）A．1 B．2 C．81 D．80例5．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例6．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）在公差不為零的等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．（2022·江蘇無錫·高三期中）已知兩個等差數(shù)列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（

）A．1460 B．1472C．1666 D．1678核心考點二：證明等差等比數(shù)列【規(guī)律方法】判斷或證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列常見的方法如下．（1）定義法：對于SKIPIF1<0的任意正整數(shù)：①若SKIPIF1<0為一常數(shù)，則SKIPIF1<0為等差數(shù)列；②若SKIPIF1<0為常數(shù)，則SKIPIF1<0為等比數(shù)列．（2）通項公式法：①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等差數(shù)列；（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等比數(shù)列．（3）中項公式法：①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等差數(shù)列；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等比數(shù)列．（4）前SKIPIF1<0項和法：若SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0滿足：①SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等差數(shù)列．②SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等比數(shù)列．【典型例題】例8．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．例9．（2022·河南·高三期中（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；例11．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校模擬預(yù)測（理））現(xiàn)有甲、乙、丙三個人相互傳接球，第一次從甲開始傳球，甲隨機地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進(jìn)行第二次傳球，隨機地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳接球無失誤．(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為SKIPIF1<0，通過三次傳球，求SKIPIF1<0的分布列與期望；(2)設(shè)第SKIPIF1<0次傳球后，甲接到球的概率為SKIPIF1<0，（i）試證明數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；（ii）解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個常數(shù)．例12．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)一中高三期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，并求其通項公式；(3)求數(shù)列SKIPIF1<0前10項中所有奇數(shù)項的和．例13．（2022·河南·高三期中（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項均不為0，其前SKIPIF1<0項的乘積SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0為常數(shù)列，求這個常數(shù)；(2)若SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式.例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式;例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）問題：已知SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，是否存在數(shù)列SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，__________﹖若存在．求通項公式SKIPIF1<0﹔若不存在，說明理由．在①SKIPIF1<0﹔②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．核心考點三：等差等比數(shù)列的交匯問題【規(guī)律方法】在解決等差、等比數(shù)列綜合問題時，要充分利用基本公式、性質(zhì)以及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，在求解過程中要樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，并適時地采用“巧用性質(zhì)，整體考慮”的方法．可以達(dá)到減少運算量的目的．【典型例題】例16．（2022·河南·一模（理））已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間插入SKIPIF1<0個數(shù)，使這SKIPIF1<0個數(shù)組成一個公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，在數(shù)列SKIPIF1<0中是否存在SKIPIF1<0項SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是公差不為SKIPIF1<0的等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這SKIPIF1<0項；若不存在，請說明理由．例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)判斷數(shù)列SKIPIF1<0中是否存在成等差數(shù)列的三項，并證明你的結(jié)論．例18．（2022·福建省福州華僑中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在正項等比數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0__________．例19．（2022·湖北·高三期中）已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=______．例20．（2022·河南省淮陽中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項利為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1成等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0的取值范圍為______．例21．（2022·上?！とA東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0不為零，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0是小于1的正有理數(shù)．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是正整數(shù)，則SKIPIF1<0的值可以是______．例22．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（理））對于集合A，SKIPIF1<0，定義集合SKIPIF1<0.己知等差數(shù)列SKIPIF1<0和正項等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中的所有項分別構(gòu)成集合A，SKIPIF1<0，將集合SKIPIF1<0的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前30項和SKIPIF1<0_________.例23．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則它們的公共項由小到大排列后組成新數(shù)列SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中插入SKIPIF1<0個數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，3，5，SKIPIF1<0，7，9，11，SKIPIF1<0，…，插入的所有數(shù)構(gòu)成首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列SKIPIF1<0的前20項和SKIPIF1<0______．核心考點四：數(shù)列的通項公式【規(guī)律方法】常見求解數(shù)列通項公式的方法有如下六種：（1）觀察法：根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法猜想其通項公式．（2）累加法：形如SKIPIF1<0的解析式．（3）累乘法：形如SKIPIF1<0（4）公式法（5）取倒數(shù)法：形如SKIPIF1<0的關(guān)系式（6）構(gòu)造輔助數(shù)列法：通過變換遞推關(guān)系，將非等差（比）數(shù)列構(gòu)造為等差（比）數(shù)列來求通項公式．【典型例題】例24．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高三期中）在數(shù)列SKIPIF1<0中.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其前n項和，當(dāng)SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0___________例25．（2022·黑龍江·肇州縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0_____________．例26．（2022·福建·高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0______．例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是首項為1的正項數(shù)列且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式_________例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0___________例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為_____________.例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方接著擲．第一次由甲開始擲，則第n次由甲擲的概率SKIPIF1<0______（用含n的式子表示）．核心考點五：數(shù)列求和【規(guī)律方法】求數(shù)列前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0的常見方法有以下四種．（1）公式法：利用等差、等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式求數(shù)列的前SKIPIF1<0項和．（2）裂項相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項或相隔若干項之差的形式，進(jìn)行消項．其方法核心有兩點：一是裂項，將一個式子分裂成兩個式子差的形式；二是要能相消．常見的裂項相消變換有以下形式．①分式裂項：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0②根式裂項：SKIPIF1<0；③對數(shù)式裂項SKIPIF1<0；④指數(shù)式裂項（3）錯位相減法（4）分組轉(zhuǎn)化法【典型例題】例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0均在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前2020項和SKIPIF1<0.例35．（2022·陜西渭南·一模（理））已知各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.例36．（2022·陜西渭南·一模（文））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.例37．（2022·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．例38．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．例39．（2022·四川省蓬溪縣蓬南中學(xué)高三階段練習(xí)）給定數(shù)列SKIPIF1<0，若滿足SKIPIF1<0，對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為“指數(shù)型數(shù)列”.若數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0；(1)判斷SKIPIF1<0是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.例40．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測（文））數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正常數(shù)），且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.例41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，如SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前2022項和.例42．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.核心考點六：數(shù)列性質(zhì)的綜合問題【典型例題】例43．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．-15 B．-14 C．-11 D．-6例44．（2022·福建三明·高三期中）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0，并滿足條件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0中的最大值C．SKIPIF1<0 D．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0無最大值例45．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測（文））數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0中的最大項為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例46．（2022·全國·安陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例47．（2022·山西運城·高三期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且對于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例48．（2022·山東聊城·高三期中）若函數(shù)SKIPIF1<0使得數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，則稱函數(shù)SKIPIF1<0為“數(shù)列保增函數(shù)”．已知函數(shù)SKIPIF1<0為“數(shù)列保增函數(shù)”，則a的取值范圍為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例49．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前5項積為32，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例50．（2022·北京八中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例51．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，若對于任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考點六：實際應(yīng)用中的數(shù)列問題【規(guī)律方法】解數(shù)列應(yīng)用題的一般步驟（1）閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．（2）根據(jù)題意數(shù)列問題模型．（3）應(yīng)用數(shù)列知識求解．（4）將數(shù)列問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等．【典型例題】例52．（2022·黑龍江·哈爾濱市劍橋第三高級中學(xué)有限公司高三階段練習(xí)）某單位用分期付款方式為職工購買40套住房，總房價1150萬元.約定：2021年7月1日先付款150萬元，以后每月1日都交付50萬元，并加付此前欠款利息，月利率SKIPIF1<0，當(dāng)付清全部房款時，各次付款的總和為（

）A．1205萬元 B．1255萬元 C．1305萬元 D．1360萬元例53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設(shè)的土特產(chǎn)品加工廠的原材料進(jìn)貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不應(yīng)求，據(jù)測算每月獲得的利潤是該月月初投入資金的20%，每月月底需繳納房租600元和水電費400元.余款作為資金全部用于再進(jìn)貨，如此繼續(xù).設(shè)第n月月底小王手中有現(xiàn)款為SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③2020年小王的年利潤約為40000元④兩年后，小王手中現(xiàn)款約達(dá)41萬A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③例54．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經(jīng)濟”為響應(yīng)國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵“地攤經(jīng)濟”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進(jìn)貨.因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應(yīng)求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費1000元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計到2021年5月底該攤主的年所得收入為（

）（取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元例55．（2022·云南昭通·高三階段練習(xí)（文））某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費和設(shè)備費，每個實驗室的裝修費都一樣，設(shè)備費從第一到第十實驗室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實驗室比第二實驗室的改建費用高28萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費用高112萬元，并要求每個實驗室改建費用不能超過1100萬元.則該研究所改建這十個實驗室投入的總費用最多需要（

）A．2806萬元 B．2906萬元 C．3106萬元 D．3206萬元例56．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)SKIPIF1<0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．SKIPIF1<0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于SKIPIF1<0，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)SKIPIF1<0，平均感染周期為7天（初始感染者傳染SKIPIF1<0個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這SKIPIF1<0個人每人再傳染SKIPIF1<0個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（

）A．35 B．42 C．49 D．56核心考點七：以數(shù)列為載體的情境題【規(guī)律方法】1、應(yīng)用數(shù)列知識解決此類問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——等差、等比數(shù)列模型．2、需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，觀察給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項與求和公式．3、求解時要明確目標(biāo)，認(rèn)清是求和、求通項、還是解遞推關(guān)系問題，然后通過數(shù)學(xué)推理與計算得出結(jié)果，并回歸實際問題中，進(jìn)行檢驗，最終得出結(jié)論．【典型例題】例57．（2022·上海市行知中學(xué)高三期中）定義：對于各項均為整數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0(SKIPIF1<0=1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”；不論數(shù)列SKIPIF1<0是否具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”，如果存在數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不是同一數(shù)列，且SKIPIF1<0滿足下面兩個條件：（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一個排列；（2）數(shù)列SKIPIF1<0具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”，則稱數(shù)列SKIPIF1<0具有“變換SKIPIF1<0性質(zhì)”.給出下面三個數(shù)列：①數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；②數(shù)列SKIPIF1<0：1，2，3，4，5；③數(shù)列SKIPIF1<0：1，2，3，4，5，6.具有“SKIPIF1<0性質(zhì)”的為________；具有“變換SKIPIF1<0性質(zhì)”的為_________.例58．（2022·江蘇·沭陽縣建陵高級中學(xué)高三階段練習(xí)）在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，組成一個新的數(shù)列，這樣的操作叫做這個數(shù)列的一次“拓展”.先將數(shù)列1，2進(jìn)行拓展，第一次拓展得到SKIPIF1<0；第二次拓展得到數(shù)列SKIPIF1<0；第SKIPIF1<0次拓展得到數(shù)列SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0___________，SKIPIF1<0___________.例59．（2022·河北唐山·三模）角谷猜想又稱冰雹猜想，是指任取一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈SKIPIF1<0．如取正整數(shù)SKIPIF1<0，根據(jù)上述運算法則得出SKIPIF1<0，共需要經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0（m為正整數(shù)），SKIPIF1<0①若SKIPIF1<0，則使得SKIPIF1<0至少需要_______步雹程；②若SKIPIF1<0；則m所有可能取值的和為_______．例60．（2022·全國·華中師大一附中模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0為1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是SKIPIF1<0，接下來的兩項是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再接下來的三項是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依此規(guī)律類推．若其前n項和SKIPIF1<0，則稱k為SKIPIF1<0的一個理想數(shù)．將SKIPIF1<0的理想數(shù)從小到大依次排成一列，則第二個理想數(shù)是______；當(dāng)SKIPIF1<0的項數(shù)SKIPIF1<0時，其所有理想數(shù)的和為______．例61．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測（文））如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差都大于2，則稱這個數(shù)列為“SKIPIF1<0數(shù)列”.已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0___________；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0數(shù)列”，則t的取值范圍是___________.例62．（2022·全國·模擬預(yù)測）將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段生成1級Koch曲線“”，將1級Koch曲線上每一線段重復(fù)上述步驟得到2級Koch曲線，同理可得3級Koch曲線（如圖1），…，Koch曲線是幾何中最簡單的分形．若一個圖形由N個與它的上一級圖形相似，相似比為r的部分組成，稱SKIPIF1<0為該圖形分形維數(shù)，則Koch曲線的分形維數(shù)是________．（精確到0.01，SKIPIF1<0）在第24屆北京冬奧會開幕式上，一朵朵六角雪花（如圖2）飄拂在國家體育場上空，暢想著“一起向未來”的美好愿景．六角雪花曲線是由正三角形的三邊生成的三條1級Koch曲線組成，再將六角雪花曲線每一邊生成一條1級Koch曲線得到2級十八角雪花曲線（如圖3），…，依次得到n級Kn（SKIPIF1<0）角雪花曲線．若正三角形邊長為1，則n級Kn角雪花曲線的周長SKIPIF1<0________．【新題速遞】一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．50 C．100 D．25252．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的實心塔群，共分十二階梯式平臺，自上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計108座．已知其中10層的塔數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8，則第11層的塔數(shù)為（

）A．17 B．18 C．19 D．203．（2022·江蘇·常熟市中學(xué)高三階段練習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0各項均為正數(shù)，首項與公差相等，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．9069 B．9079 C．9089 D．90994．（2022·浙江·紹興市越州中學(xué)高三階段練習(xí)）記SKIPIF1<0表示不超過實數(shù)SKIPIF1<0的最大整數(shù)，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·上海市洋涇中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0，首項SKIPIF1<0，實系數(shù)一元二次方程SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0．若存在唯一的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則公比SKIPIF1<0的取值可能為（）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全國·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·廣西·南寧市第十九中學(xué)模擬預(yù)測（文））數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最小值為（

）A．16 B．15 C．14 D．138．（2022·福建省福州第十一中學(xué)高三期中）已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值為S