高中數(shù)學(xué) 4.2簡單線性規(guī)劃1 北師大必修5

在同一坐標(biāo)系上作出下列直線:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7xYo2x+y=02x+y=12x+y=-32x+y=42x+y=7§4.2簡單線性規(guī)劃北師大版高中數(shù)學(xué)1.線性

規(guī)劃問題：設(shè)z=2x+y，式中變量滿足下列條件：求z的最大值與最小值。

目標(biāo)函數(shù)（線性目標(biāo)函數(shù)）線性約束條件象這樣關(guān)于x,y一次不等式組的約束條件稱為線性約束條件Z=2x+y稱為目標(biāo)函數(shù),(因這里目標(biāo)函數(shù)為關(guān)于x,y的一次式,又稱為線性目標(biāo)函數(shù)2.線性規(guī)劃線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．

可行解：滿足線性約束條件的解(x，y)叫可行解；

可行域：由所有可行解組成的集合叫做可行域；最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解?？尚杏?x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)3.設(shè)z=2x+y,求滿足時,求z的最大值和最小值.線性目標(biāo)函數(shù)線性約束條件線性規(guī)劃問題任何一個滿足不等式組的（x,y）可行解可行域所有的最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義

——在y軸上的截距或其相反數(shù)。4.55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy直線L越往右平移,t隨之增大.以經(jīng)過點A(5,2)的直線所對應(yīng)的t值最大;經(jīng)過點B(1,1)的直線所對應(yīng)的t值最小.

可以通過比較可行域邊界頂點的目標(biāo)函數(shù)值大小得到。思考：還可以運用怎樣的方法得到目標(biāo)函數(shù)的最大、最小值？5.例題(1)已知求z=2x+y的最大值和最小值。6.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2、畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3、根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（?。┲?.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2、畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3、根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（?。┲?.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3.根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（?。┲?.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2、畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3、根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（?。┲?0.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3.根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（小）值11.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2、畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3、根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（小）值12.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2、畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3、根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（?。┲礪max=2x+y=2x2+(-1)=313.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2、畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3、根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（?。┲?4.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2、畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3、根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（?。┲?5.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3.根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（?。┲?6.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3.根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（?。┲?7.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3.根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（小）值18.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3.根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（?。┲?9.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)2.畫出Z=2x+y對應(yīng)的方程0=2x+y的圖像3.根據(jù)b的正負值判斷向上向下平移時Z的增減性，4、根據(jù)0=2x+y平移到區(qū)域的最后一個點時有最大（小）值Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-320.線性規(guī)劃例1

解下列線性規(guī)劃問題：求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y滿足下列條件：解線性規(guī)劃問題的一般步驟：第一步：在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域；第二步：在可行域內(nèi)找到最優(yōu)解所對應(yīng)的點；第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。探索結(jié)論2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：當(dāng)x=-1,y=-1時，z=2x+y有最小值－3.當(dāng)x=2,y=-1時，z=2x+y有最大值3.

也可以通過比較可行域邊界頂點的目標(biāo)函數(shù)值大小得到。21.線性規(guī)劃例2

解下列線性規(guī)劃問題：求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y滿足下列條件：探索結(jié)論x+3y=0300x+900y=0300x+900y=112500答案：當(dāng)x=0,y=0時，z=300x+900y有最小值0.當(dāng)x=0,y=125時，z=300x+900y有最大值112500.22.例3:

某工廠用A,B兩種配件生產(chǎn)甲,乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h,該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件,按每天工作8小時計算,該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么?

若生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品獲利2萬元,生產(chǎn)1件乙種產(chǎn)品獲利3萬元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大?把例3的有關(guān)數(shù)據(jù)列表表示如下:32利潤(萬元)821所需時間1240B種配件1604A種配件資源限額

乙產(chǎn)品

(1件)甲產(chǎn)品

(1件)產(chǎn)品消耗量資源23.0xy4348將上面不等式組表示成平面上的區(qū)域,區(qū)域內(nèi)所有坐標(biāo)為整數(shù)的點P(x,y),安排生產(chǎn)任務(wù)x,y都是有意義的.解：設(shè)甲,乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x,y件,由己知條件可得:問題：求利潤2x+3y的最大值.線性約束條件24.若設(shè)利潤為z,則z=2x+3y,這樣上述問題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)x,y在滿足上述約束條件時,z的最大值為多少?當(dāng)點P在可允許的取值范圍變化時,25.0xy4348M（4，2）問題：求利潤z=2x+3y的最大值.變式：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利1萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？26.0xy4348N（2，3）變式：求利潤z=x+3y的最大值.27.解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟：(2)設(shè)好變元并列出不等式組和目標(biāo)函數(shù)

(3)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；(4)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解((1)理清題意，列出表格：(5)還原成實際問題(準確作圖，準確計算)畫出線性約束條件所表示的可行域，畫圖力保準確；法1：移－在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；法2：算－線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c處取得，也可能在邊界處取得（當(dāng)兩頂點的目標(biāo)函數(shù)值相等時最優(yōu)解落在一條邊界線段上）。此法可彌補作圖不準的局限。28.例4、一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t?，F(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。并計算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？分析：設(shè)x、y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：xyo29.解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤Z萬元。目標(biāo)函數(shù)為Z＝x＋0.5y，約束條件為下例不等式組，可行域如圖紅色陰影部分：把Z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，它表示斜率為－2，在y軸上的截距為2z的一組直線系。

xyo由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點M時，截距2z最大，即z最大。

答：生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤，最大利潤為3萬元。M容易求得M點的坐標(biāo)為（2，2），則Zmax＝3線性約束條件30.三、課堂練習(xí)1.已知求z=2x+y的最大值和最小值。31.551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)32.練習(xí)2已知求z=3x+5y的最大值和最小值。33.551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(-2,-1)B(3/2,5/2)34.練習(xí)3：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1t甲種產(chǎn)品需要A種原料4t、B種原料