常規(guī)控制技術(shù)

常規(guī)控制技術(shù)第一頁，共五十七頁，2022年，8月28日2006

第4章常規(guī)控制技術(shù)

計算機控制系統(tǒng)的設(shè)計，是指在給定系統(tǒng)性能指標的條件下，設(shè)計出控制器的控制規(guī)律和相應(yīng)的數(shù)字控制算法。本章主要介紹計算機控制系統(tǒng)的常規(guī)及復(fù)雜控制技術(shù)。常規(guī)控制技術(shù)介紹數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)和離散化設(shè)計技術(shù)；對大多數(shù)系統(tǒng)，采用常規(guī)控制技術(shù)均可達到滿意的控制效果。

4.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù) 數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計是忽略控制回路中所有的零階保持器和采樣器，在s域中按連續(xù)系統(tǒng)進行初步設(shè)計，求出連續(xù)控制器，然后通過某種近似，將連續(xù)控制器離散化為數(shù)字控制器，并由計算機來實現(xiàn)。第二頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

4.1.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計步驟 在圖4.1所示的計算機控制系統(tǒng)中G(s)是被控對象的傳遞函數(shù)，H(s)是零階保持器，D(z)是數(shù)字控制器?，F(xiàn)在的設(shè)計問題是：根據(jù)已知的系統(tǒng)性能指標和G(s)來設(shè)計出數(shù)字控制器D(z)。1.設(shè)計假想的連續(xù)控制器D(s)由于人們對連續(xù)系統(tǒng)的設(shè)計方法比較熟悉，因此，可先對圖4.2所示的假想的連續(xù)控制系統(tǒng)進行設(shè)計，如利用連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性法、根軌跡法等設(shè)計出假想的連續(xù)控制器D(s)。第三頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

2.選擇采樣周期T

香農(nóng)采樣定理給出了從采樣信號恢復(fù)連續(xù)信號的最低采樣頻率。在計算機控制系統(tǒng)中，完成信號恢復(fù)功能一般由零階保持器H(s)來實現(xiàn)。零階保持器的傳遞函數(shù)為：

(4.1.1)

其頻率特性為：

(4.1.2)

從上式可以看出，零階保持器將對控制信號產(chǎn)生附加相移（滯后）。對于小的采樣周期，可把零階保持器H(s)近似為：

(4.1.3)

上式表明，零階H(s)可用半個采樣周期的時間滯后環(huán)節(jié)來近似。假定相位裕量可減少5?！?5。,則采樣周期應(yīng)選為： (4.1.4)

其中ωc是連續(xù)控制系統(tǒng)的剪切頻率。按上式的經(jīng)驗法選擇的采樣周期相當(dāng)短。因此，采用連續(xù)化設(shè)計方法，用數(shù)字控制器去近似連續(xù)控制器，要有相當(dāng)短的采樣周期。

第四頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

3.將D(s)離散化為D(z)

將連續(xù)控制器D(s)離散化為數(shù)字控制器D(z)的方法有很多，在這里，我們只介紹常用的雙線性變換法、后向差分法和前向差分法。（1）雙線性變化法 由Z變換的定義可知，z=est，利用級數(shù)展開可得：

(4.1.5)

上式稱為雙線性變換 為了由D(s)求解D(z)，由上式可得：

(4.1.6)

且有：

(4.1.7)

上式就是利用雙線性變換法由D(s)求取D(z)的計算公式。

第五頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

（2）前向差分法 利用級數(shù)展開可將z=esT寫成以下形式：

(4.1.12)

式（）稱為前向差分法。（3）后向差分法 利用級數(shù)展開還可將Z=esT寫成以下形式：

(4.1.19)

由上式可得：

(4.1.20)

且有：

(4.1.21)

上式便是利用后向差分法求取D(z)的計算公式。 雙線性變換的優(yōu)點在于，它把左半S平面轉(zhuǎn)換到單位圓內(nèi)。如果使用雙線性變換，一個穩(wěn)定的連續(xù)控制系統(tǒng)在變換之后仍將是穩(wěn)定的，可是使用前向差分法，就可能把它變換為一個不穩(wěn)定的離散控制系統(tǒng)。

第六頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

4.設(shè)計由計算機實現(xiàn)的控制算法設(shè)數(shù)字控制器D(z)的一般形式為：

(4.1.24)

式中n≥m，各系數(shù)ai，bi為實數(shù)，且有n個極點和m個零點。 式（）又可寫為：

上式用時域表示為：

(4.1.25)

利用上式即可實現(xiàn)計算機編程，因此上式稱為數(shù)字控制器D(z)的控制算法。5.校驗 控制器D(z)設(shè)計完并求出控制算法后，須按圖4.1所示的計算機控制系統(tǒng)檢驗其閉環(huán)特性是否符合設(shè)計要求，可由計算機控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真計算來驗證。

第七頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

4.1.2數(shù)字PID控制器的設(shè)計 根據(jù)偏差的比例（P）、積分（I）、微分（D）進行控制（簡稱PID控制），是控制系統(tǒng)中應(yīng)用最為廣泛的一種控制規(guī)律。不過，用計算機實現(xiàn)PID控制，不是簡單地模擬PID控制規(guī)律數(shù)字化，而是進一步與計算機的邏輯判斷功能結(jié)合，是PID控制更加靈活，更能滿足生產(chǎn)過程提出的要求。1.模擬PID調(diào)節(jié)器 在工業(yè)控制系統(tǒng)中，常常采用如圖4.3所示的PID控制，其控制規(guī)律為：

(4.1.26)

對應(yīng)的模擬PID調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)為：

(4.1.27)

其中Kp為比例增益，Kp與比例度δ成倒數(shù)關(guān)系即KP=1/δ ，TI為積分時間常數(shù)，TD為微分時間常數(shù)，u(t)為控制量，e(t)為偏差。

第八頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

2.數(shù)字PID控制器 在計算機控制系統(tǒng)中，PID控制規(guī)律的實現(xiàn)必須用數(shù)值逼近的方法。當(dāng)采樣周期相當(dāng)短時，用求和代替積分、用后向差分代替微分，使模擬PID離散化變?yōu)椴罘址匠?。?）數(shù)字PID位置型控制算法 為了便于計算機實現(xiàn)，必須把控制規(guī)律式變換成差分方程，為此可作如下近似：

(4.1.28) (4.1.29)

式中，T為采樣周期，k為采樣序號。 由式（）（）（）可得數(shù)字PID位置型控制算式為：

(4.1.30)

式（）表示的控制算法提供了執(zhí)行機構(gòu)的位置u(k)，如閥門的開度，所以被稱為數(shù)字PID位置型控制算式。（2）數(shù)字PID增量型控制算法 由式（）可看出，位置型控制算式不夠方便，這是因為要累加偏差e(i)，不僅要占用較多的存儲單元，而且不便于編寫程序，為此可對上式進行改進。

第九頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

根據(jù)式（）不難寫出u(k-1)的表達式，即：

(4.1.31)

將以上兩式相減，即得:

(4.1.32)

其中 稱為比例增益； 稱為積分系數(shù)； 稱為微分系數(shù)。 為了編程方便，將上式整理成如下形式：

(4.1.33)

其中

(4.1.34)

第十頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

3.數(shù)字PID控制算法實現(xiàn)方式比較 在控制系統(tǒng)中，如果執(zhí)行機構(gòu)采用調(diào)節(jié)閥，則控制量對應(yīng)閥門的開度，表征了執(zhí)行機構(gòu)的位置，此時控制器應(yīng)采用數(shù)字PID位置式控制算型，如圖4.4所示。如執(zhí)行機構(gòu)采用步進電機，每個采樣周期，控制器輸出的控制量，是相對于上次控制量的增加，此時控制器應(yīng)采用數(shù)字PID增量型控制算法，如圖4.5所示。第十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

增量型算法與位置型算法相比，具有以下優(yōu)點：（1）增量型算法不需要做累加，控制量增量的確定僅與最近幾次誤差采樣值有關(guān)，計算誤差或計算精度問題，對控制量的計算影響較小。而位置型算法要用到過去的誤差的累加值，容易產(chǎn)生大的累加誤差。（2）增量型算法得出的是控制量的增量，例如閥門控制中，只輸出閥門開度的變化部分，誤動作影響小，必要時通過邏輯判斷限制或禁止本次輸出，不會嚴重影響系統(tǒng)的工作。而位置型算法的輸出是控制量的全量輸出，誤動作影響大。（3）采用增量型算法，易于實現(xiàn)手動到自動的無沖擊切換。4.數(shù)字PID控制算法流程 圖4.6給出了數(shù)字PID增量型控制算法的流程圖。利用增量型控制算法，也可得出位置型控制算法，即：

(4.1.35)

第十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

第十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

4.1.3數(shù)字PID控制器的改進1.積分項的改進 在PID控制中，積分的作用是消除殘差，為了提高控制性能，對積分項可采取以下四條改進措施。（1）積分分離 在一般的PID控制中，當(dāng)有較大的擾動或大幅度改變給定值時，由于此時有較大的偏差，以及系統(tǒng)有慣性和滯后，故在積分項的作用下，往往會產(chǎn)生較大的超調(diào)和長時間的波動。特別對于溫度、成分等變化緩慢的過程，這一現(xiàn)象更為嚴重。為此，可采用積分分離措施，即偏差e(k)較大時，取消積分作用；當(dāng)偏差e(k)較小時才將積分作用投入。亦即： 當(dāng)|e(k)|>β時，采用PD控制； 當(dāng)|e(k)|≤β時，采用PID控制。 積分分離閥值β應(yīng)根據(jù)具體對象及控制要求確定。若β值過大，則達不到積分分離的目的；若β值過小，則一旦被控量y(t)無法跳出各積分分離區(qū)，只進行PD控制，將會出現(xiàn)殘差。第十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

（2）抗積分飽和 因長時間出現(xiàn)偏差或偏差較大，計算出的控制量有可能益出，或小于零。所謂溢出就是計算機運算得出的控制量u(k)超出D/A轉(zhuǎn)換器所能表示的數(shù)值范圍。例如，8位D/A的數(shù)據(jù)范圍為00H至FFH（H表示十六進制）。一般執(zhí)行機構(gòu)有兩個極限位置，如調(diào)節(jié)閥全開或全關(guān)。設(shè)u(k)為FFH時，調(diào)節(jié)閥全開；反之，u(k)為00H時，調(diào)節(jié)閥全關(guān)。為了提高運算精度，通常采用雙字節(jié)或浮點數(shù)計算PID差分方程式。如果執(zhí)行機構(gòu)已到極限位置，仍然不能消除偏差時，由于積分作用，盡管計算PID差分方程式所得的運算結(jié)果繼續(xù)增大或減小，但執(zhí)行結(jié)構(gòu)已無相應(yīng)的動作，這就稱為積分飽和。當(dāng)出現(xiàn)積分飽和時，勢必使超調(diào)量增加，控制品質(zhì)變壞。作為防止積分飽和的辦法之一，可對計算出的控制量u(k)限幅，同時，把積分作用切除掉。若以8位D/A為例，則有： 當(dāng)u(k)<00H時，取u(k)=0

當(dāng)u(k)>FFH時，取u(k)=FFH（3）梯形積分 在PID控制器中，積分項的作用是消除殘差。為了減少殘差，應(yīng)提高積分項的運算精度。為此，可將矩形積分改為梯形積分，其計算公式為：

(4.1.36)

第十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

（4）消除積分不靈敏區(qū) 由式(4.1.32)可知，數(shù)字PID的增量型控制算式中的積分項輸出為：

(4.1.37)

由于計算機字長的限制，當(dāng)運算結(jié)果小于字長所能表示的數(shù)的精度，計算機就作為“零”將此數(shù)丟掉。從上式可知，計算機的運行字長較短，采樣周期T也短，而積分時間Ti又較長時，△ui(k)容易出現(xiàn)小于字長的精度而丟數(shù)，此積分作用消失，這就稱為積分不靈敏區(qū)。 為了消除積分不靈敏區(qū)，通常采用以下措施：①增加A/D轉(zhuǎn)換位數(shù)，加長運算字長，這樣可以提高運算精度。②當(dāng)積分項△ui(k)連續(xù)n次出現(xiàn)小于輸出精度ε的情況時，不要把它們作為“零”舍掉，而是把它們一次次累加起來，即：

(4.1.38)

直到累加值Si大于ε時，才輸出Si，同時把累加單元清零，其程序流程如圖4.8所示。

第十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

第十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

2.微分項的改進（1）不完全微分PID控制算法 標準的PID控制算式，對具有高頻擾動的生產(chǎn)過程，微分作用響應(yīng)過于靈敏，容易引起控制過程振蕩，降低調(diào)節(jié)品質(zhì)。尤其是計算機對每個控制回路輸出時間是短暫的，而驅(qū)動執(zhí)行器動作又需要一定時間，如果輸出較大，在短暫時間內(nèi)執(zhí)行器達不到應(yīng)有的相應(yīng)開度，會使輸出失真。為了克服這一缺點，同時又要使微分作用有效，可以在PID控制輸出串聯(lián)一階慣性環(huán)節(jié)，這就組成了不完全微分PID控制器，如圖4.9所示。一階慣性環(huán)節(jié)Df(s)的傳遞函數(shù)為：

(4.1.39)

第十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

因為： 所以：

(4.1.40)對上式進行離散化，可得不完全微分PID位置型控制算式：

(4.1.41)式中：

第十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

與標準PID控制算式一樣，不完全微分PID控制器也有增量型控制算式，即：

(4.1.42)

式中： 稱為積分系數(shù)； 稱為微分系數(shù)。

第二十頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

圖4.10（a）和（b）分別表示標準PID控制算式(4.1.30)和不完全微分PID控制算式(4.1.41)在單位階躍輸入時輸出的控制作用。由圖（a）可見，標準PID控制算式中的微分作用只在第一個采樣周期內(nèi)起作用，而且作用很強。而不完全微分PID控制算式的輸出在較長時間內(nèi)仍有微分作用，因此可獲得較好的控制效果。（2）微分先行PID控制算式 為了避免給定值的升降給控制系統(tǒng)帶來沖擊，如超調(diào)量過大，調(diào)節(jié)閥動作劇烈，可采用如圖4.11所示的微分先行PID控制方案。它和標準PID控制的不同之處在于，只對被控量y(t)微分，不對偏差e(t)微分，也就是說對給定值r(t)無微分作用。被控量微分PID控制算法稱為微分先行PID控制算法，該算法對給定值頻繁升降的系統(tǒng)無疑是有效的。圖中，γ為微分增益系數(shù)。第二十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

4.1.4數(shù)字PID控制器的參數(shù)整定

1.采樣周期的選擇（1）首先要考慮的因素香農(nóng)采樣定理給出了采樣周期的上限。根據(jù)采樣定理，采樣周期應(yīng)滿足： 其中ωmax為被采樣信號的上限角頻率。采樣周期的下限為計算機執(zhí)行控制程序和輸入輸出所耗費的時間，系統(tǒng)的采樣周期只能在Tmin與Tmax之間選擇。Tmin≤T≤Tmax

（2）其次要考慮以下各方面的因素①給定值的變化頻率加到被控對象上的給定值變化頻率越高，采樣頻率應(yīng)越高。這樣給定值的改變可以迅速得到反映。②被控對象的特性若被控對象是慢速的熱工或化工對象時，采樣周期一般取得較大；若被控對象是較快速的系統(tǒng)時，采樣周期應(yīng)取得較小。③執(zhí)行機構(gòu)的類型執(zhí)行機構(gòu)動作慣性大，采樣周期也應(yīng)大一些，否則執(zhí)行機構(gòu)來不及反映數(shù)字控制器輸出值的變化。④控制算法的類型當(dāng)采用PID算式時，積分作用和微分作用與采樣周期T的選擇有關(guān)。選擇采樣周期T太小，將使微分積分作用不明顯。因為當(dāng)T小到一定程度后，由于受到計算精度的限制，偏差e(k)始終為零。另外各種控制算法也需要計算時間。⑤控制的回路數(shù)控制的回路數(shù)n與采樣周期T有下列關(guān)系： 式中，Tj指第j回路控制程序執(zhí)行時間和輸入輸出時間。

第二十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

2.按簡易工程法整定PID參數(shù) 在連續(xù)控制系統(tǒng)中，模擬調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定方法較多，但簡單易行的方法還是簡易工程法。這種方法最大的優(yōu)點在于，整定參數(shù)時不必依賴被控對象的數(shù)學(xué)模型。一般情況下，難于準確得到數(shù)學(xué)模型。簡易工程整定法是由經(jīng)典的頻率法簡化而來的，雖然稍微粗糙一點，但是簡單易行，適于現(xiàn)場應(yīng)用。（1）擴充臨界比例度法 擴充臨界比例度法是對模擬調(diào)節(jié)器中使用的臨界比例度法的擴充。下面敘述用來整定數(shù)字控制器參數(shù)的步驟。①選擇一個足夠短的采樣周期，具體地說就是選擇采樣周期為被控對象純滯后時間的十分之一以下。②用選定的采樣周期使系統(tǒng)工作。這時，數(shù)字控制器去掉積分作用和微分作用，只保留比例作用。然后逐漸減小比例度δ（），直到系統(tǒng)發(fā)生持續(xù)等幅振蕩。記下使系統(tǒng)發(fā)生振蕩的臨界比例度δk及系統(tǒng)的臨界振蕩周期Tk。③選擇控制度。所謂控制度就是以模擬調(diào)節(jié)器為基準，將DDC的控制效果與模擬調(diào)節(jié)器的控制效果相比較。控制效果的評價函數(shù)通常用誤差平方積分表示。

第二十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

④根據(jù)選定的控制度，查表4.1，求得T、KP、TI、TD的值。第二十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

（2）擴充響應(yīng)曲線法 用擴充響應(yīng)曲線整定T和KP、TI、TD的步驟如下。①數(shù)字控制器不接入控制系統(tǒng)，讓系統(tǒng)處于手動操作狀態(tài)下，將被調(diào)量調(diào)節(jié)到給定值附近，并使之穩(wěn)定下來。然后突然改變給定值，給對象一個階躍輸入信號。②用記錄儀表記錄被調(diào)量在階躍輸入下的整個變化過程曲線，如圖4.13所示。第二十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

③在曲線最大斜率處作切線，求得滯后時間τ，被控對象時間常數(shù)Tτ以及它們的比值Tτ/τ，查表4.2，即可得數(shù)字控制器的KP、TI、TD及采樣周期T。第二十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

（3）歸一參數(shù)整定法 由于該方法只需整定一個參數(shù)即可，故稱其為歸一參數(shù)整定法。 已知增量型PID控制的公式為： 如令T=0.1Tk；TI=0.5Tk；TD=0.125Tk。式中Tk為純比例作用下的臨界振蕩周期。則： 這樣，整個問題便簡化為只要整定一個參數(shù)Kp，觀察控制效果，直到滿意為止。該法為實現(xiàn)簡易的自整定控制帶來方便。3.優(yōu)選法 其具體作法是根據(jù)經(jīng)驗，先把其它參數(shù)固定，然后用0.618法對其中某一參數(shù)進行優(yōu)選，待選出最佳參數(shù)后，再換另一個參數(shù)進行優(yōu)選，直到把所有的參數(shù)優(yōu)選完畢為止。

第二十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.1數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)

4.湊試法確定PID參數(shù)增大比例系數(shù)Kp一般將加快系統(tǒng)的響應(yīng)，在有靜差的情況下有利于減小靜差。但過大的比例系數(shù)會使系統(tǒng)有較大的超調(diào)，并產(chǎn)生振蕩，使穩(wěn)定性變壞。增大積分時間Ti有利于減小超調(diào)，減小振蕩，使系統(tǒng)更加穩(wěn)定，但系統(tǒng)靜差的消除將隨之減慢。增大微分時間Td亦有利于加快系統(tǒng)響應(yīng)，使超調(diào)量減小，穩(wěn)定性增加，但系統(tǒng)對擾動的抑制能力減弱，對擾動有較敏感的響應(yīng)。 在湊試時，可參考以上參數(shù)對控制過程的影響趨勢，對參數(shù)實行下述先比例，后積分，再微分的整定步驟。（1）首先只整定比例部分。即將比例系數(shù)由小變大，并觀察相應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)，直到得到反應(yīng)快，超調(diào)小的響應(yīng)曲線。如果系統(tǒng)沒有靜差或靜差已小到允許范圍內(nèi)，并且響應(yīng)曲線已屬滿意，那么只須用比例調(diào)節(jié)器即可，最優(yōu)比例系數(shù)可由此確定。（2）如果在比例調(diào)節(jié)的基礎(chǔ)上系統(tǒng)的靜差不能滿足設(shè)計要求，則須加入積分環(huán)節(jié)。整定時首先置積分時間Ti為一較大值，并將經(jīng)第一步整定得到的比例系數(shù)略為縮?。ㄈ缈s小為原值的0.8倍），然后減小積分時間，使在保持系統(tǒng)良好動態(tài)性能的情況下，靜差得到消除。（3）若使用比例積分調(diào)節(jié)器消除了靜差，但動態(tài)過程經(jīng)反復(fù)調(diào)整仍不能滿意，則可加入微分環(huán)節(jié)，構(gòu)成比例積分微分調(diào)節(jié)器。在整定時，可先置微分時間Td為零。在第二步整定的基礎(chǔ)上，增大Td，同時響應(yīng)地改變比例系數(shù)和積分時間，逐步湊試，以獲得滿意的調(diào)節(jié)效果和控制參數(shù)。第二十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)

數(shù)字控制器的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)，在被控對象的特性不太清楚的情況下，人們可以充分利用技術(shù)成熟的連續(xù)化設(shè)計技術(shù)（如PID控制器的設(shè)計技術(shù)），并把它移植到計算機上予以實現(xiàn)，以達到滿意的控制效果。但是連續(xù)化設(shè)計技術(shù)要求相當(dāng)短的采樣周期，因此只能實現(xiàn)較簡單的控制算法。由于控制任務(wù)的需要，當(dāng)所選擇的采樣周期比較大或?qū)刂瀑|(zhì)量要求比較高時，必須從被控對象的特性出發(fā)，直接根據(jù)計算機控制理論（采樣控制理論）來設(shè)計數(shù)字控制器，這類方法稱為離散化設(shè)計方法。4.2.1數(shù)字控制器的離散化設(shè)計步驟 在圖4.14所示的計算機控制系統(tǒng)框圖中，Gc(s)是被控對象的連續(xù)傳遞函數(shù)，D(z)是數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)，H(s)是零階保持器的傳遞函數(shù)，T為采樣周期。第二十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)在圖中，我們定義廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為：

(4.2.1)可得圖4.14對應(yīng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：

(4.2.2)由上式可求得： （） 若已知Gc(s)且可根據(jù)控制系統(tǒng)性能指標要求構(gòu)造Ф（z），則可由上式求得D(z)。由此可得出數(shù)字控制器的離散化設(shè)計步驟如下：（1）根據(jù)控制系統(tǒng)的性能指標要求和其它約束條件，確定所需的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)。（2）根據(jù)以上式求廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。

第三十頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)（3）根據(jù)上式求取數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。（4）根據(jù)D(z)求取控制算法的遞推計算公式，由D(z)求取控制算法可按以下方法實現(xiàn)。 設(shè)數(shù)字控制器D(z)的一般形式為：

(4.2.4)

數(shù)字控制器的輸出U(z)為：

(4.2.5)

因此，數(shù)字控制器D(z)的計算機控制算法為：

(4.2.6)

按照上式，就可編寫出控制算法程序。

第三十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)4.2.2最少拍控制器的設(shè)計 在數(shù)字隨動控制系統(tǒng)中，要求系統(tǒng)的輸出值盡快地跟蹤給定值的變化，最少拍控制就是為滿足這一要求的一種離散化設(shè)計方法。所謂最少拍控制，就是要求閉環(huán)系統(tǒng)對于某種特定的輸入在最少采樣周期內(nèi)達到無靜差的穩(wěn)態(tài)，且閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)具有以下形式：

(4.2.7)

式中N是可能情況下的最小正整數(shù)。這一形式表明閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)在N個采樣周期后變?yōu)榱?，從而意味著系統(tǒng)在N拍之內(nèi)到穩(wěn)態(tài)。1.閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)的確定 由圖4.14可知，誤差E(z)的脈沖傳遞函數(shù)為：

(4.2.8)

式中，E(z)為誤差信號e(t)的Z變換，R(Z)為輸入函數(shù)r(t)的Z變換，Y(z)為輸出量y(t)的Z變換。于是誤差E(z)為： (4.2.9)

第三十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)

對于典型輸入函數(shù)： (4.2.10)

對應(yīng)的Z變換為： (4.2.11)

式中，B(z)是不包含(1-z-1)因子的關(guān)于z-1的多項式，當(dāng)q分別等于1、2、3時，對應(yīng)的典型輸入為單位階躍、單位速度、單位加速度輸入函數(shù)。 根據(jù)Z變換的終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：

(4.2.12)

由于B(z)沒有(1-z-1)因子，因此要使穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)為零，必須有：

(4.2.13)

即有： (4.2.14)

這里F(z)是關(guān)于z-1的待定系數(shù)多項式。顯然，為了使Ф(z)能夠?qū)崿F(xiàn)，F(xiàn)(z)中的首項應(yīng)取為1，即： (4.2.15)

第三十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)

可以看出，Ф(z)具有z-1的最高冥次為N=p+q，這表明系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)在采樣點的值經(jīng)N拍可達到穩(wěn)態(tài)。特別當(dāng)p=0時，即F(z)=1時，系統(tǒng)在采樣點的輸出可在最少拍（Nmin=q拍）內(nèi)達到穩(wěn)態(tài)，即為最少拍控制。因此最少拍控制器設(shè)計時選擇Ф(z)為：

(4.2.16)

最少拍控制器D(z)為：

(4.2.17)2.典型輸入下的最少拍控制系統(tǒng)分析（1）單位階躍輸入（q=1） 輸入函數(shù)r(t)=1(t)，其Z變換為： 由式（）可知： 因而有： 進一步求得： 以上兩式說明，只需一拍（一個采樣周期）輸出就能跟蹤輸入，誤差為零，過渡過程結(jié)束。

第三十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)（2）單位速度輸入（q=2） 輸入函數(shù)r(t)=t的Z變換為： 由式(4.2.16)知，有： 且有：

以上兩式說明，只需二拍（兩個采樣周期）輸出就能跟蹤輸入，達到穩(wěn)態(tài)。（3）單位加速度輸入（q=3） 單位加速度輸入的Z變換為： 由式(4.2.16)知，有： 同理： 上式說明，只需三拍（三個采樣周期）輸出就能跟蹤輸入，達到穩(wěn)態(tài)。

第三十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)3.最少拍控制器的局限性（1）最少拍控制器對典型輸入的適應(yīng)性差 最少拍控制器的設(shè)計是使系統(tǒng)對某一典型輸入的響應(yīng)為最少拍，但對于其它典型輸入不一定為最少拍，甚至?xí)鸫蟮某{(diào)和靜差。 例如，當(dāng)Ф(z)是按等速輸入設(shè)計時有： 三種不同輸入時對應(yīng)的輸出如下： 階躍輸入時：

等速輸入時：

第三十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)等加速輸入時：

對于上述三種情況，進行z反變換后得到輸出序列，如圖4.15所示。從圖中可見，階躍輸入時，超調(diào)嚴重（達100%），加速輸入時有靜差

第三十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)

一般來說，針對一種典型的輸入函數(shù)R(z)設(shè)計，得到系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)，用于次數(shù)較低的輸入函數(shù)R(z)時，系統(tǒng)將出現(xiàn)較大的超調(diào)，響應(yīng)時間也會增加，但在采樣時刻的誤差為零。反之，當(dāng)一種典型的最少拍特性用于次數(shù)較高的輸入函數(shù)時，輸出將不能完全跟蹤輸入以致產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。由此可見，一種典型的最少拍閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)只適應(yīng)一種特定的輸入而不能適應(yīng)于各種輸入。（2）最少拍控制器的可實現(xiàn)性問題 設(shè)圖4.14和式（）所示的廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為： （）

若用degA(z)和degB(z)分別表示A(z)和B(z)的階數(shù)，顯然有：

(4.2.19)

設(shè)數(shù)字控制器D(z)為

(4.2.20)

要使D(z)物理上是可實現(xiàn)的，則必須要求：

(4.2.21)

上式的含義是：要產(chǎn)生k時刻的控制量u(k)，最多只能利用直到k時刻的誤差e(k)、e(k-1)、…以及過去時刻的控制量u(k-1)、u(k-2)…

第三十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)

閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：

(4.2.22)

由上式可得：

(4.2.23)

所以： (4.2.24)

上式個出了為使D(z)物理上可實現(xiàn)時Ф(z)應(yīng)滿足的條件，該條件的物理意義是：若G(z)的分母比分子高N階，則確定Ф(z)時必須至少分母比分子高N階。設(shè)給定連續(xù)被控對象有d個采樣周期的純滯后，相應(yīng)于圖4.14的廣義對象脈沖傳遞函數(shù)為： (4.2.25)

則所設(shè)計的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Ф(z)中必須含有純滯后，且滯后時間至少要等于被控對象的滯后時間。否則系統(tǒng)的響應(yīng)超前于被控對象的輸入，這實際上是實現(xiàn)不了的。第三十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)（3）最少拍控制的穩(wěn)定性問題 在前面討論的設(shè)計過程中，對G(z)并沒有提出限制條件。實際上，只有當(dāng)G(z)是穩(wěn)定的（即在z平面單位圓上和圓外沒有極點），且不含有純滯后環(huán)節(jié)時，上式才成立。如果G(z)不滿足穩(wěn)定條件，則需對設(shè)計原則作相應(yīng)的限制。 由式：

(4.2.26)

可以看出，D(z)和G(z)總是成對出現(xiàn)，但卻不允許它們的零點、極點互相對消。這是因為，簡單地利用D(z)的零點去對消G(z)中的不穩(wěn)定極點，雖然從理論上可以得到一個穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，但是這種穩(wěn)定是建立在零極點完全對消的基礎(chǔ)上的。當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)產(chǎn)生漂移，或辯識的參數(shù)有誤差時，這種零極點對消不可能準確實現(xiàn)，從而將引起閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。上述分析說明，在單位圓外或圓上D(z)和G(z)不能對消零極點，但并不以為含有這種現(xiàn)象的系統(tǒng)不能補償成穩(wěn)定的系統(tǒng)，只是在選擇Ф(z)時必須加一個約束條件，這個約束條件稱為穩(wěn)定性條件。第四十頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)4.2.3最少拍有紋波控制器的設(shè)計 在圖4.14所示的系統(tǒng)中，被控對象的傳遞函數(shù)為：

(4.2.27)

式中，GC’(S)是不含滯后部分的傳遞函數(shù)，t為純滯后時間。若令： (4.2.28)

則有：

(4.2.29)

并設(shè)G(z)有u個零點b1、b2、…、bu和v個極點a1、a2、…、av在z平面的單位圓上或圓外。這里，當(dāng)連續(xù)被控對象Gc(s)中不含純滯后時，d=0；當(dāng)G(s)中含有純滯后時，d≥1，即d個采樣周期的純滯后。 設(shè)G’(z)是G(z)中不含單位圓上或圓外的零極點部分，則廣義對象的傳遞函數(shù)可表示為：

(4.2.30)第四十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)

由上式可以看出，為了避免是G(z)在單位圓外或圓上的零點、極點與D(z)的零點、極點對消，同時又能實現(xiàn)對系統(tǒng)的補償，選擇系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)時必須滿足下面的約束條件：1.Фe(z)的零點中，必須包含G(z)在z平面單位圓外或圓上的所有極點，即：

(4.2.31)

式中，F(xiàn)1(z)是關(guān)于z-1的多項式，且不含G(z)中的不穩(wěn)定極點ai。為了使Фe(z)能夠?qū)崿F(xiàn)，F(xiàn)1(z)應(yīng)具有以下形式： (4.2.32)

實際上，若G(z)有j個極點在單位圓上，即z=1處，則可知Фe(z)的選擇方法應(yīng)對式（）中的方程式進行修改，可按以下方法確定Фe(z)：（1）若j≤q，則：

(4.2.33)（2）若j>q，則：

(4.2.34)第四十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)2.Ф(z)的零點中，必須包含G(z)在z平面單位圓外或圓上的所有零點，即：

(4.2.35)

式中，F(xiàn)2(z)是關(guān)于z-1的多項式，且不含G(z)中的不穩(wěn)定極點bi。為了使Ф(z)能夠?qū)崿F(xiàn)，F(xiàn)2(z)應(yīng)具有以下形式：

(4.2.36)3.F1(z)和F2(z)階數(shù)選取方法可按以下進行：（1）若G(z)中有j個極點在單位圓上，當(dāng)j≤q時，有：

(4.2.37)(2)若G(z)中有j個極點在單位圓上，當(dāng)j>q時，有：

(4.2.38)第四十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)

以上給出了確定Ф(z)時必須滿足的約束條件。根據(jù)此約束條件，可求得最少拍控制器為：

(4.2.39)

僅根據(jù)上述約束條件設(shè)計的最少拍控制系統(tǒng)，只保證了在最少的幾個采樣周期后系統(tǒng)的響應(yīng)在采樣時是穩(wěn)態(tài)誤差為零，而不能保證任意兩個采樣點之間的穩(wěn)態(tài)誤差為零。這種控制系統(tǒng)輸出信號y(t)有紋波存在，故稱為最少拍有紋波控制系統(tǒng)，上式的控制器為最少拍有紋波控制器。第四十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)例4.1在圖4.16所示的計算機控制系統(tǒng)中，被控對象的傳遞函數(shù)和零階保持器的傳遞函數(shù)分別為：

和 采樣周期T=1s，試針對單位速度輸入函數(shù)設(shè)計最少拍有紋波系統(tǒng)，畫出數(shù)字控制器和系統(tǒng)的輸出波形。第四十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)[解]首先求取廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)

上式中，d=0,u=0,v=1,j=1,q=2,且j<q，故有： 對單位速度輸入信號，選擇：

第四十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)即： 解之，得： 故:

進一步求得：

第四十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)由此，可畫出數(shù)字控制器和系統(tǒng)的輸出波形，見圖4.17(a)和(b)。第四十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)4.2.4最少拍無紋波控制器的設(shè)計 按最少拍有紋波系統(tǒng)設(shè)計的控制器，其系統(tǒng)的輸出值跟蹤輸入值后，在非采樣點有紋波存在。原因在于數(shù)字控制器的輸出序列u(k)經(jīng)過若干拍后，不為常值或零，而是振蕩收斂的。非采樣時刻的紋波現(xiàn)象不僅造成非采樣時刻有偏差，而且浪費執(zhí)行機構(gòu)的功率，增加機械磨損，因此必須消除。1.設(shè)計最少拍無紋波控制器的必要條件 無紋波系統(tǒng)要求系統(tǒng)的輸出信號在采樣點之間不出現(xiàn)紋波，必須滿足：（1）對階輸入，當(dāng)t≥NT時，有y(t)=常數(shù)；（2）對速度輸入，當(dāng)t≥NT時，有y(t)=常數(shù)；（3）對加速度輸入，當(dāng)t≥NT時，有y(t)=常數(shù)。 這樣，被控對象Gc(s)必須有能力給出與系統(tǒng)輸入r(t)相同的且平滑的輸出y(t)。如果針對速度輸入函數(shù)進行設(shè)計，那么穩(wěn)態(tài)過程中Gc(s)的輸出也必須是速度函數(shù)，為了產(chǎn)生這樣的速度函數(shù)，Gc(s)中必須至少有一個積分環(huán)節(jié)，使得控制信號u(k)為常值（包括零）時，Gc(s)的穩(wěn)態(tài)輸出是所要求的速度函數(shù)。同理，若針對加速度輸入函數(shù)設(shè)計的無紋波控制器，則Gc(s)中必須至少有兩個積分環(huán)節(jié)。因此，設(shè)計最少拍無紋波控制器時，Gc(s)中必須含有足夠的積分環(huán)節(jié)，以保證u(t)為常數(shù)時，Gc(s)的穩(wěn)態(tài)輸出完全跟蹤輸入，且無紋波。第四十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日20064.2數(shù)字控制器的離散化設(shè)計技術(shù)2.最少拍無紋波系統(tǒng)確定Ф(z)的約束條件 要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出無紋波，就要求穩(wěn)態(tài)時的控制信號u(k)為常數(shù)或零。控制信號u(k)的z變換為：

(4.2.40)

如果系統(tǒng)經(jīng)過l個采用周期到達穩(wěn)態(tài)，無紋波系統(tǒng)要求：u(l)=u(l+1)=u(l+2)=…=常數(shù)或零。 設(shè)廣義對象G(z)含有d個采樣周期的純滯后：