復(fù)變函數(shù)與積分變換-山東大學(xué)

第四章級(jí)數(shù)復(fù)習(xí)、引入§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§4.2冪級(jí)數(shù)§4.3泰勒級(jí)數(shù)§4.4洛朗級(jí)數(shù)復(fù)習(xí)、引入收斂的本質(zhì)——無限項(xiàng)和差是否為一個(gè)確定值？如何完成這種計(jì)算？定義—若存在，稱級(jí)數(shù)收斂，否則級(jí)數(shù)發(fā)散定理一§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)列的極限

三、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法§4.2冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性—正冪項(xiàng)級(jí)數(shù)2.收斂特征—Abel定理定理一xyO.證明三、收斂圓與收斂半徑

利用阿貝爾定理，不難確定冪級(jí)數(shù)的收斂范圍，對于任一個(gè)冪級(jí)數(shù)來說，它的收斂情況不外乎三種：iii)既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù).設(shè)

(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)收斂,(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.對所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的.這時(shí),根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂.ii)對所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的.這時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.bCbaCaRCROxy顯然時(shí),將收斂域染成紅色,發(fā)散域?yàn)樗{(lán)色.

當(dāng)由小逐漸變大時(shí),必定逐漸接近一個(gè)以原點(diǎn)為中心,R為半徑的圓周CR.在CR的內(nèi)部都是紅色,外部都是藍(lán)色.這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周CR稱為冪級(jí)數(shù)的收斂圓.

在收斂圓的外部,級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂圓的內(nèi)部,級(jí)數(shù)絕對收斂.收斂圓的半徑R稱為收斂半徑.所以冪級(jí)數(shù)(4.2.3)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.對冪級(jí)數(shù)(4.2.2)來說,收斂范圍是以為中心的圓域.在收斂圓上的收斂性,則不一定.例1

求冪級(jí)數(shù)解:級(jí)數(shù)實(shí)際上是等比級(jí)數(shù),部分和為的收斂范圍與和函數(shù).收斂半徑的求法例2

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

四、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

在以原點(diǎn)為中心,r1,r2中較小的一個(gè)為半徑的圓內(nèi),這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)可以象多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相加,相減,相乘,所得到的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.更為重要的是代換(復(fù)合)運(yùn)算

這種代換運(yùn)算,在把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)時(shí),有著廣泛的應(yīng)用.Oxyab當(dāng)|z-a|<|b-a|=R時(shí)級(jí)數(shù)收斂§4.3泰勒級(jí)數(shù)z0Kzrz按柯西積分公式,有且z0Kzrz由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,上式可寫成z0Kzrzz0Kzrz在K內(nèi)成立,即f(z)可在K內(nèi)用冪級(jí)數(shù)表達(dá).q與積分變量z無關(guān),且0q<1.K含于D,f(z)在D內(nèi)解析,在K上連續(xù),在K上有界,因此在K上存在正實(shí)數(shù)M使|f(z)|M.因此,下面的公式在K內(nèi)成立:稱該等式為f(z)在z0點(diǎn)的泰勒展開式,它右端的級(jí)數(shù)稱為f(z)在z0處的泰勒級(jí)數(shù).

圓周K的半徑可以任意增大,只要K在D內(nèi).所以,如果z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d,則f(z)在z0點(diǎn)的泰勒展開式在圓域|z-z0|<d內(nèi)成立.定理(泰勒展開定理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點(diǎn),d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離,則當(dāng)|z-z0|<d時(shí),

注：如果f(z)在z0解析,則使f(z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑R等于從z0到f(z)的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a的距離,即R=|a-z0|.yz0ax

任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù),因而是唯一的.

利用泰勒展開式,我們可以直接通過計(jì)算系數(shù):把f(z)在z0點(diǎn)展開成冪級(jí)數(shù),稱此為直接展開法例如,求ez

在z=0處的泰勒展開式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析,上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立,收斂半徑為+.同樣,可求得sinz與cosz在z=0的泰勒展開式:

除直接法外,也可以借助這些已知函數(shù)的展開式,利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì),以唯一性為依據(jù)得出函數(shù)的泰勒展開式,此方法稱為間接展開法.例如sinz在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出:[解]由于函數(shù)有一奇點(diǎn)z=-1,而在|z|<1內(nèi)處處解析,所以可在|z|<1內(nèi)展開成z的冪級(jí)數(shù).因?yàn)槔?把函數(shù)展開成z的冪級(jí)數(shù).例2求對數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級(jí)數(shù)展開式.[解]ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的,-1是它的奇點(diǎn),所以可在|z|<1展開為z的冪級(jí)數(shù).-1OR=1xy推論1：

注：推論2:冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn)。(即使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上處處收斂)例如：推論3：例如：而如果把函數(shù)中的x換成z,在復(fù)平面內(nèi),函數(shù)它有兩個(gè)奇點(diǎn)i,且都在此函數(shù)展開式的收斂圓周上,所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于1。因此,即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值,但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制。

在實(shí)變函數(shù)中有些不易理解的問題,一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),展開式的成立必須受的限制,這一點(diǎn)往往使人難以理解,因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)對任何實(shí)數(shù)都可導(dǎo),且有確定的函數(shù)值。§4.4洛朗級(jí)數(shù)

一個(gè)以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級(jí)數(shù).如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級(jí)數(shù)來表示.但是這種情況在實(shí)際問題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法.討論下列形式的級(jí)數(shù):可將其分為兩部分考慮:只有正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)都收斂時(shí),原級(jí)數(shù)才收斂于它們的和.正冪項(xiàng)是冪級(jí)數(shù),設(shè)其收斂半徑為R2：這是t的冪級(jí)數(shù),設(shè)收斂半徑為R：對負(fù)冪項(xiàng),如果令

t=(z-z0)-1,可得：

則當(dāng)|z-z0|>R1,即|t|<R時(shí),因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域,原級(jí)數(shù)才收斂.z0R1R2例如級(jí)數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)具有冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì)。例如,上述級(jí)數(shù)在收斂環(huán)域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)。

現(xiàn)在反問,在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成上述含正、負(fù)冪的冪級(jí)數(shù)呢?先看下例。其次,在圓環(huán)域:0<|z-1|<1內(nèi)也可以展開為z-1的冪級(jí)數(shù):1Oxy定理設(shè)f(z)在圓環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)解析,則C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡單閉曲線。Cz0R1R2稱等式為f(z)在以z0為中心的圓環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)的洛朗(Laurent)展開式,它右端的級(jí)數(shù)稱為f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù).

一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正,負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的,這個(gè)級(jí)數(shù)就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù).

根據(jù)由正負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)的唯一性,一般可以用代數(shù)運(yùn)算,代換,求導(dǎo)和積分等方法去展開,以求得洛朗級(jí)數(shù)的展開式.解：函數(shù)f(z)在圓環(huán)域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+內(nèi)是處處解析的,可把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù).xyO1xyO12xyO2先把f(z)用部分分式表示:ii)在1<|z|<2內(nèi)：iii)在2<|z|<+內(nèi):例2

把函數(shù)解：由函數(shù)可以在以z0為中心的(由奇點(diǎn)隔開的)不同圓環(huán)域內(nèi)解析,因而在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).我們不要把這種情形與洛朗展開式的唯一性相混淆.所謂洛朗展開式的唯一性,是指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式是唯一的.

例如在z=i和z=-i處將函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)。

在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn):z=0與z=-i,分別在以i為中心的圓周:|z-i|=1與|z-i|=2上.因此,f(z)在以i為中心的圓環(huán)域(包括圓域)內(nèi)的展開式有三個(gè):1)在|z-i|<1中的泰勒展開式;

2)在1<|z-i|<2中的洛朗展開式;

3)在2<|z-i|<+中的洛朗展開式;O-ii在復(fù)平面內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn):z=0在以-i為中心的圓周:|z+i|=1上.因此,f(z)在以-i為中心的圓環(huán)域內(nèi)的展開式有二個(gè):

1)在0<|z+i|<1中的洛朗展開式;

2)在1<|z+i|<+中的洛朗展開式。特別的，當(dāng)洛朗