(初中)數(shù)學(xué)教學(xué)：教什么和怎么教

數(shù)學(xué)教學(xué)：教什么和怎么教

李祎

福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院

目錄一、數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備的素質(zhì)二、數(shù)學(xué)教學(xué)“為什么教”三、數(shù)學(xué)教學(xué)“教什么”四、數(shù)學(xué)教學(xué)“怎么教”五、數(shù)學(xué)教學(xué)“教得怎么樣”一、數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備的素質(zhì)庸師：如同庸醫(yī)，不僅不能教好學(xué)，反而會(huì)把學(xué)生越攪越糊涂，甚至?xí)O誤學(xué)生終生。教書(shū)匠：知識(shí)的搬運(yùn)工，把自己會(huì)的東西簡(jiǎn)單的搬運(yùn)給學(xué)生，沒(méi)有智慧，沒(méi)有思維火花，不會(huì)貽誤學(xué)生一生，但也沒(méi)有太大發(fā)展。經(jīng)師：不僅能教給學(xué)生知識(shí)和技能，并且能培養(yǎng)學(xué)生一定的能力，屬于較高水平的教師。人師：不僅給學(xué)生知識(shí)和能力，還能給學(xué)生智慧，更能在思想上、人格上影響學(xué)生，使學(xué)生在獲得知識(shí)、培養(yǎng)能力的同時(shí)，還產(chǎn)生了智慧，形成了健康人格。深入深出型，自己的知識(shí)很豐富、很深?yuàn)W，交給學(xué)生的知識(shí)也很深?yuàn)W，學(xué)生聽(tīng)得不明所以然。淺入深出型，自己的知識(shí)很貧乏，但卻要裝得很有學(xué)問(wèn)，把本來(lái)淺顯的問(wèn)題講得云山霧罩。淺入淺出型，自己懂得并不多，但能用通俗的語(yǔ)言教給學(xué)生，雖說(shuō)學(xué)生不會(huì)有太多提高，但能學(xué)到一些知識(shí)。深入淺出型，自己的學(xué)問(wèn)很深，但能把晦澀難懂的知識(shí)通俗化，學(xué)生聽(tīng)得懂、學(xué)得會(huì)。如何做到“深入淺出”呢？教師的知識(shí)結(jié)構(gòu)：本體性知識(shí)，條件性知識(shí)，實(shí)踐性知識(shí)，一般文化知識(shí)。數(shù)學(xué)教師“兩手抓，兩手硬”：數(shù)學(xué)素養(yǎng)與教育理論素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)“三吃透”：吃透教材、吃透學(xué)生和吃透理論。數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵：理解數(shù)學(xué)與稚化思維；先解構(gòu)，再建構(gòu)；處理好歷史序、邏輯序與心理序的關(guān)系。如何提高自身素養(yǎng)呢——以數(shù)學(xué)素養(yǎng)為例（1）從微觀上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的準(zhǔn)確、深刻理解

（2）從宏觀上對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體結(jié)構(gòu)的正確把握

（3）對(duì)顯性知識(shí)背后隱性的思想方法的認(rèn)識(shí)

（4）對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)中某些拓展性知識(shí)的認(rèn)知

（5）對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)“來(lái)龍去脈”的過(guò)程性把握

（6）從高觀點(diǎn)對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)的居高臨下的認(rèn)識(shí)通過(guò)“追問(wèn)”：形成正確認(rèn)識(shí)，獲得深層理解，拓展學(xué)科知識(shí)，獲得較高觀點(diǎn)。二、數(shù)學(xué)教學(xué)“為什么教”數(shù)學(xué)教育：以數(shù)學(xué)學(xué)科為載體培育人教育是一把“雙刃劍”對(duì)中美教育的比較和反思數(shù)學(xué)教育現(xiàn)象反思：懂而不會(huì)和會(huì)而不懂真正的教育是什么？——西點(diǎn)軍校的啟示數(shù)學(xué)教育僅僅是為了考試和分?jǐn)?shù)嗎？數(shù)學(xué)教育已退化和淪陷為單純的解題訓(xùn)練——解題教學(xué)押題猜題講類(lèi)型化例題練公式化步驟做模擬試題教得分方法考試高分低能動(dòng)手能力差應(yīng)用能力弱創(chuàng)造水平低解題教學(xué)新八股三、數(shù)學(xué)教學(xué)“教什么”教學(xué)的本質(zhì)教學(xué)：就是“教學(xué)生學(xué)”。學(xué)生：學(xué)什么；怎么學(xué)。教師：“教什么”是指“教學(xué)生學(xué)什么”和“教學(xué)生怎么學(xué)”。教師：“怎樣教”是指“怎樣教學(xué)生學(xué)什么”和“怎樣教學(xué)生怎么學(xué)”。高水平教師與普通教師的差別在哪里？（一）教學(xué)生學(xué)“本質(zhì)”（二）教學(xué)生學(xué)“過(guò)程”（三）教學(xué)生學(xué)“思想”（四）教學(xué)生學(xué)“結(jié)構(gòu)”（一）教學(xué)生學(xué)“本質(zhì)”

1.數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物.數(shù)學(xué)：空間形式和數(shù)量關(guān)系.數(shù)學(xué)概念：反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物.本質(zhì)屬性：共有性，特有性，整體性。示例1：集合的本質(zhì)幼兒園小孩子學(xué)集合示例2：距離初中階段學(xué)過(guò)的“距離”：“兩點(diǎn)之間的距離”；“直線外一點(diǎn)到已知直線的距離”；“兩平行線之間的距離”。距離的本質(zhì)：圖形P內(nèi)的任一點(diǎn)與圖形Q內(nèi)的任一點(diǎn)間的距離中的最小值，叫做圖形P與圖形Q的距離。把握住這一本質(zhì)，高中階段學(xué)習(xí)“點(diǎn)到平面的距離”“直線到與它平行的平面的距離”“兩個(gè)平行平面的距離”“異面直線的距離”的概念時(shí)，學(xué)生也能做到不教自明。示例3：概率的統(tǒng)計(jì)定義一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么事件發(fā)生的概率P（A）=p。（九年級(jí)上冊(cè)）頻率穩(wěn)定于概率，不是說(shuō)頻率的極限是概率，穩(wěn)定于p不能寫(xiě)成：“穩(wěn)定于p”意味著對(duì)，有即是說(shuō)只要n充分大，那么頻率充分接近概率的概率就是1。大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性。就是說(shuō)當(dāng)n很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。實(shí)驗(yàn)?zāi)康脑谟隗w驗(yàn)用大數(shù)次實(shí)驗(yàn)的頻率來(lái)估計(jì)概率的方法，而不在于驗(yàn)證可能性相等。示例4：方程方程的定義“含有未知數(shù)的等式叫方程”，并沒(méi)有反映方程的本原思想。教師在方程定義的黑體字上大做文章，反復(fù)舉例，咬文嚼字地學(xué)習(xí)，朗朗上口地背誦，沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的意義。絕對(duì)沒(méi)有學(xué)生因?yàn)楸巢怀鲞@句話而學(xué)不會(huì)“方程”的。方程的本質(zhì)在于對(duì)已知數(shù)和未知數(shù)一視同仁，通過(guò)建立起已知數(shù)和未知數(shù)之間的等式關(guān)系，從而求得未知數(shù)。

理解方程的本質(zhì)，首先要理解等式的意義。例如，3＋2＝5和3＋2＝1＋4雖然都是等式，但是兩個(gè)“＝”卻可以有著完全不同的意義：前者的“＝”表示的是“求取解答”的過(guò)程，它的方向是從左到右，等號(hào)兩邊并不具有同等的地位，這就是等式的“程序性觀點(diǎn)”；后者的“＝”表示兩邊的計(jì)算結(jié)果相等，等號(hào)兩邊具有同等的地位，它們都是3＋2＝1＋4這一整體性數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)”的一個(gè)部分，這就是等式的“結(jié)構(gòu)性觀點(diǎn)”。學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)之前，是過(guò)程層面的思維方式，其思維定式是列出算式就要算出確定結(jié)果。這種思維方式對(duì)將一個(gè)代數(shù)式作為思考對(duì)象是不能接受的，總覺(jué)得“這樣還沒(méi)算完”。對(duì)象層面的思維方式更多地關(guān)注算法本身，結(jié)果是次要的。學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)的難點(diǎn)是：既要體會(huì)用字母表示數(shù)的概括性，更要體會(huì)含字母的式子也能看做最后結(jié)果。學(xué)生認(rèn)識(shí)方程本質(zhì)的最大困難就在于受“程序性觀點(diǎn)”的影響，始終拘泥于具體的運(yùn)算，而不能把方程看成一個(gè)兩邊相等的整體結(jié)構(gòu)。（“連等”現(xiàn)象：x-5=8=x=8+5=x=13.

）認(rèn)識(shí)方程的意義，需要從兩個(gè)方面入手：一是認(rèn)識(shí)方程的顯性特征，即“含有未知數(shù)”和“等式”?？梢圆捎脙纱畏诸?lèi)的方法，通過(guò)比較幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)方程的外部特征。二是認(rèn)識(shí)方程的隱形特征。認(rèn)識(shí)方程的意義，更為重要的是要幫助學(xué)生逐步克服算術(shù)思想的影響，逐步實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)等式的“程序性觀點(diǎn)”向“結(jié)構(gòu)性觀點(diǎn)”的轉(zhuǎn)變，使學(xué)生體會(huì)到方程是表示已知量和未知量之間相等關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。更一般地看，算術(shù)運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算的區(qū)別在于:區(qū)別一：算術(shù)運(yùn)算處理具體數(shù)字，而代數(shù)運(yùn)算處理抽象符號(hào)。算術(shù)運(yùn)算針對(duì)已知量進(jìn)行操作，每個(gè)數(shù)字代表確定的意義；代數(shù)運(yùn)算用抽象的符號(hào)表示未知量，再對(duì)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算變換。區(qū)別二：算術(shù)思維是特殊化思維，而代數(shù)思維是一般化思維。算術(shù)針對(duì)特定情境中的具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析，采用的是特殊化思維方式；代數(shù)則可以脫離具體情境，概括問(wèn)題的一般化特征。區(qū)別三：算術(shù)關(guān)注解決問(wèn)題的程序，而代數(shù)則重視問(wèn)題的結(jié)構(gòu)。算術(shù)關(guān)注解決問(wèn)題的具體方法和策略；代數(shù)則關(guān)注從問(wèn)題中抽象出來(lái)的結(jié)構(gòu)關(guān)系式，并對(duì)該關(guān)系式進(jìn)行形式化操作。2.數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)（1）人為約定的結(jié)論數(shù)學(xué)知識(shí)不是“鐵板一塊”示例5:0為什么不能作除數(shù)示例6：分?jǐn)?shù)為什么要這樣相加減？示例7：為什么要“先乘除后加減”示例8：為什么要規(guī)定a0=1?示例9：集合的“三性”(教學(xué)之可為；教學(xué)之不可為)（2）可以證明的結(jié)論思考：什么樣的數(shù)學(xué)結(jié)論，有資格成為數(shù)學(xué)定理或公式？經(jīng)常用到，推證不易，形式簡(jiǎn)單。經(jīng)常不用：梅涅勞斯定理：如果在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)D、E、F且D、E、F三點(diǎn)共線，則=1塞瓦定理：設(shè)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AO、BO、CO分別交對(duì)邊于N、P、M，則推證容易：弧長(zhǎng)公式；扇形面積公式，。形式復(fù)雜：正切定理：設(shè)的三邊分別為，則有下面的結(jié)論：理解命題的功用：示例10：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2

平方差公式是乘法公式的一種。多項(xiàng)式的乘法法則是一個(gè)一般性的法則，乘法公式是整式乘法法則的下位，是一般法則形式下特殊形式的特征。將“特例”作為“公式”，主要基于以下考慮：第一，為符合公式特征的整式乘法運(yùn)算帶來(lái)方便；第二，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，如“用公式法分解因式”“分式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)”“解一元二次方程”等。方法論意義：其一是“特殊化”思想。建立在“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”基礎(chǔ)之上的“平方差公式”，承載的不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)公式本身，它反映了從“一般”到“特殊”的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本策略。其二是“歸納”思想。通過(guò)觀察一系列具有某種結(jié)構(gòu)特征的“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”的結(jié)果，“歸納”出符合這種“結(jié)構(gòu)特征”的共同“規(guī)律”，這就是平方差公式，其中的符號(hào)可以代表任何“數(shù)字”、“字母”、“式子”。理解命題的內(nèi)容：示例11：三角形面積公式的理解三角形面積公式的得出。三角形面積公式另解：在三角形中，AD和BE是三角形兩條邊上的高，通過(guò)相似三角形原理，得到下面的性質(zhì)：三角形的底邊與高的乘積是一常數(shù)，只與三角形本身有關(guān)，而與所選的底邊無(wú)關(guān)。把這個(gè)乘積與某一常數(shù)k的乘積稱(chēng)為三角形的面積。對(duì)于k的取值，一旦確定后就不再變更。這個(gè)k應(yīng)如何?。繛榇?，要做一些規(guī)定，k的取值必須使得邊長(zhǎng)為1的正方形的面積為1。正方形可以分割成兩個(gè)直角三角形，S=k+k=1，所以k=1/2.則三角形的面積公式為：S=1/2底×高。ABCD示例12：三角形全等的條件三角形全等，即看所給條件能否完全的、唯一的確定一個(gè)三角形。“隱藏”掉三角形的任意一條邊或任意一個(gè)角，確定三角形的基本條件并沒(méi)有改變；但再繼續(xù)減少條件，就不能保證完全確定這個(gè)三角形了。

不妨稱(chēng)實(shí)線部分為描述的“最簡(jiǎn)條件”。事實(shí)上，正是因?yàn)椤斑呥呥叀?、“邊角邊”、“角邊角”等條件都能描述出這個(gè)“最簡(jiǎn)條件”，所以它們成為證明三角形全等的充分條件，而“邊邊角”卻不能。進(jìn)一步探究可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)滿足以下條件時(shí)，“邊邊角”可作為三角形全等的判定條件：（1）若兩個(gè)三角形均為直角三角形，則它們?nèi)?。?）若兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，則它們?nèi)取＃?）若兩個(gè)三角形均為銳角三角形，則它們?nèi)取＃?）若已知兩邊相等時(shí)，則它們?nèi)取＃?）若已知角的對(duì)邊為已知兩邊中的大邊時(shí)，則它們?nèi)取＃ㄕ叶ɡ砬蠼鈺r(shí)得一解）理解命題的證明：波利亞：你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能否一下子看出它來(lái)？示例13：多邊形外角和定理凹多邊形的外角和：凹角形成的頂點(diǎn)處，角是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；凸角形成的頂點(diǎn)處，角是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度視為正角，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度視為負(fù)角。閉曲線的“外角和”：行走方向時(shí)時(shí)在改變。結(jié)論：“角度改變量的代數(shù)和是360度”，或“方向改變量的代數(shù)和是360度”3.數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)示例14：十字相乘法不僅適用于二次三項(xiàng)式（八上“觀察與猜想”）：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)將任意代數(shù)式分成三項(xiàng)之和：f(x)=A+B+C若A=ab,C=cd,且ad+bc=B,即有下面的十字關(guān)系：則f(x)=(a+c)(b+d)abcd示例15：反證法的實(shí)質(zhì)（九上“圓”）反證法的邏輯基礎(chǔ)是排中律。矛盾律：同一對(duì)象的兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同真,至少有一個(gè)是假的（a大于b,a小于b）；排中律：同一對(duì)象的肯定判斷和否定判斷必有一個(gè)是真的。

反證法有效性的原因：有效增設(shè)反證法就是等價(jià)于證明原命題的逆否命題嗎？過(guò)程與結(jié)果的辯證關(guān)系：科學(xué)意義，教學(xué)意義過(guò)程性是追求的目標(biāo)：三個(gè)層次過(guò)程性作為目標(biāo)的意義：本質(zhì)，方法，理解，能力過(guò)程性的完整含義：知識(shí)的，思維的，活動(dòng)的“誰(shuí)”的過(guò)程性：教師，還是學(xué)生？怎樣的過(guò)程性：結(jié)果的，還是過(guò)程的？過(guò)程性觀下之審視：預(yù)習(xí)、作業(yè)、備課二、教學(xué)生學(xué)“過(guò)程”

弗賴(lài)登塔爾：“火熱的思考”變成“冰冷的美麗”，教材是“教學(xué)法的顛倒”。數(shù)學(xué)的形態(tài)：原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)。“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”——稚化思維的策略教學(xué)時(shí)不以知識(shí)豐富的教師自居，而是把自己的思維降格到學(xué)生的思維水平上，有意識(shí)地退回到與學(xué)生相仿的思維狀態(tài)，設(shè)身處地地揣摩學(xué)生的學(xué)習(xí)水平、狀態(tài)等，以與學(xué)生同樣的思維情境、共同的探究行為來(lái)完成教學(xué)的和諧共創(chuàng)。1.過(guò)程性中揭示本質(zhì)示例16：圓周角定義的教學(xué)

（鏈接）2.過(guò)程性中掌握方法示例17：判別式只適用于一元二次方程嗎？在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程：判別式的“來(lái)龍去脈”——配方法A(x)x2+B(x)x+C(x)=03.過(guò)程性中加強(qiáng)理解示例18：“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)（4）故事模型好人（正數(shù)）或壞人（負(fù)數(shù)），進(jìn)城（正數(shù)）或出城（負(fù)數(shù)），好（正數(shù)）與壞（負(fù)數(shù)）。如果好人（+）進(jìn)城（+），對(duì)于城鎮(zhèn)來(lái)說(shuō)是好事（+），即（+）×（+）=+；如果好人（+）出城（-），對(duì)于城鎮(zhèn)來(lái)說(shuō)是壞事（-），即（+）×（-）=-；如果壞人（-）進(jìn)城（+），對(duì)城鎮(zhèn)來(lái)說(shuō)是壞事（-），即（-）×（+）=-；如果壞人(-)出城(-)，對(duì)于城鎮(zhèn)來(lái)說(shuō)是好事(+)，所以（-）×（-）=+。模型不足以讓聰明孩子完全信服，還可用其他方法來(lái)解釋為何“負(fù)負(fù)得正”：0=(-5)×0=(-5)×[(-3)+3]=(-5)×(-3)+(-5)×3=(-5)×(-3)+(-15)而只有15與（-15）的代數(shù)和才為0，故(-5)×(-3)=15研究表明：教師最傾向于使用歸納模型，學(xué)生最傾向于使用相反數(shù)模型。師生均不喜歡形式化的模型，比如分配律模型。4.過(guò)程性中培養(yǎng)能力示例19：二次根式重要公式的教學(xué)稚化思維的教學(xué)策略——探究和啟發(fā)引導(dǎo)式探究；發(fā)現(xiàn)式探究。由易到難啟發(fā)；由遠(yuǎn)及近啟發(fā)。（鏈接——的教學(xué)）

示例20：函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)多快好省地直接呈現(xiàn)形式化的定義，其余的更多時(shí)間，便是：咬文嚼字式的強(qiáng)調(diào)，細(xì)枝末節(jié)的提示，解題程式的歸納，題海戰(zhàn)術(shù)的訓(xùn)練。讓學(xué)生參與形式化、符號(hào)化和數(shù)學(xué)化的過(guò)程：由圖象直觀特征，到自然語(yǔ)言描述，再到數(shù)學(xué)符號(hào)描述；從直觀到抽象、從文字到符號(hào)、從粗疏到嚴(yán)密的建構(gòu)過(guò)程。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)具體的數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法等的認(rèn)識(shí)過(guò)程中概括的基本觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中所采用的途徑、方式、手段、策略等。顯性的知識(shí)是寫(xiě)在教材上的一條明線，隱性的思想是潛藏其中的一條暗線。（三）教學(xué)生學(xué)“思想”“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”指出，數(shù)學(xué)課程應(yīng)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)蘊(yùn)涵在知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)問(wèn)題可以千變?nèi)f化，而其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法卻往往是相通的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在掌握這種具有普遍意義和具有遷移價(jià)值的、能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的策略性知識(shí)。

米山國(guó)藏：學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在走出校門(mén)后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想和方法等隨時(shí)地發(fā)生作用，使他們受益終身。2004年高考數(shù)學(xué)上海卷有一道不需要“解”而需要“理解”的填空題:教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是

。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題:重術(shù)輕道，即只重視對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶和解題技巧的訓(xùn)練，而忽略了對(duì)數(shù)學(xué)基本原理和思想方法的理解掌握?；A(chǔ)知識(shí)基本技能基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基本思想數(shù)學(xué)活動(dòng)1.思想方法具有相通性示例21：度量思想線段長(zhǎng)→多邊形周長(zhǎng)→圓周長(zhǎng)→弧長(zhǎng)；兩直線的夾角→線與面的夾角→面與面的夾角；單位正方形面積→長(zhǎng)方形與正方形面積→其他多邊形面積→圓面積→多面體表面積；單位正方體體積→長(zhǎng)方體與正方體體積→圓柱體積→圓錐體積。邏輯結(jié)構(gòu)：定義幾何量→確定度量單位→簡(jiǎn)化算法。2.思想方法具有遷移性示例22：各種函數(shù)性質(zhì)的研究通過(guò)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)——數(shù)形結(jié)合思想；通過(guò)具體函數(shù)的性質(zhì)歸納出一般函數(shù)的性質(zhì)——從特殊到一般的歸納思想；區(qū)分情況來(lái)討論函數(shù)的性質(zhì)——分類(lèi)討論思想；通過(guò)對(duì)比來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)——類(lèi)比的思想方法；函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用實(shí)例——數(shù)學(xué)模型思想方法。例如:反比例函數(shù)，單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)3.在教學(xué)中挖掘思想方法示例23：絕對(duì)值中的思想方法（1）數(shù)形結(jié)合思想新教材中的絕對(duì)值的定義，是從幾何角度給出的:一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值，就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。新教材突出絕對(duì)值的幾何定義，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，將絕對(duì)值的代數(shù)定義淡化為計(jì)算數(shù)的絕對(duì)值的需要。（2）分類(lèi)思想代數(shù)定義：通過(guò)揭示其外延來(lái)完成，即分別闡明一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)或零的絕對(duì)值是什么:數(shù)學(xué)概念的定義一般都是充分必要的。正數(shù)、零、負(fù)數(shù)這三個(gè)概念的關(guān)系是對(duì)立關(guān)系，但它們的絕對(duì)值的關(guān)系卻是交叉的。即絕對(duì)值等于其本身的數(shù)是正數(shù)或零，而絕對(duì)值等于其相反數(shù)的是負(fù)數(shù)或零。學(xué)會(huì)對(duì)絕對(duì)值正確分類(lèi)，讓學(xué)生克服不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)，不是負(fù)數(shù)就是正數(shù)的錯(cuò)誤觀念。（3）化歸思想有理數(shù)大小的比較是通過(guò)數(shù)的絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為算術(shù)數(shù)的比較；（規(guī)定性與爭(zhēng)議性）有理數(shù)的運(yùn)算也是通過(guò)絕對(duì)值的概念轉(zhuǎn)化為算術(shù)數(shù)的運(yùn)算；（運(yùn)算法則）解決含絕對(duì)值的問(wèn)題(如方程、不等式、函數(shù)等)，總是化歸為不含絕對(duì)值的問(wèn)題來(lái)解決。但絕對(duì)值的運(yùn)算，不同于四則運(yùn)算，結(jié)果不唯一。數(shù)a的內(nèi)涵非常豐富，絕對(duì)值概念從數(shù)抽象到字母，從字母抽象到代數(shù)式，從代數(shù)式抽象到解析式，要經(jīng)歷逐級(jí)抽象的過(guò)程。4.通過(guò)思想方法加強(qiáng)數(shù)學(xué)理解示例24：數(shù)形結(jié)合，多元表征初中數(shù)學(xué)：（1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2bbaa(a+b)2a2b2abab++（2）完全平方和公式：（3）完全平方差公式：aabb(a-b)2a2ababb2–+（4）一元二次方程ax2+bx+c=0為何判別式△=b2-4ac≥0時(shí)有解？從數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)與方程思想來(lái)進(jìn)行理解:

函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)：xy0高中數(shù)學(xué)：（1）等差數(shù)列求和公式：（2）絕對(duì)值不等式：（3）基本不等式：（4）設(shè)則5.在解題中揭示思想方法示例25：裂項(xiàng)法分解因式的實(shí)質(zhì)解法1解法2解法3多解歸一是指把多種解法相互比較，進(jìn)行抽象，挖掘本質(zhì)，達(dá)到賞玩于股掌之上的程度。比較解法1和解法2，發(fā)現(xiàn)有著共同的必然，就是欲“拆”某項(xiàng)時(shí)，要視另外兩項(xiàng)的系數(shù)而定，使拆后和另外兩項(xiàng)配組后，組與組之間有公因式可提，恰如“言左右而顧他”，這就是“多解歸一”的“一”。有了這個(gè)“歸一”，才會(huì)產(chǎn)生解法3。甚至運(yùn)用照顧另兩項(xiàng)的思想，可不可以填上所缺的a2項(xiàng)呢？這就產(chǎn)生了解法4。解法4示例26：正弦定理的各種證明方法證法1：作高法證法2：面積法證法3：外接圓法證法4：角平分線法數(shù)學(xué)中究竟有哪些思想方法？A.數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)分類(lèi)——哲學(xué)的視角：形式與內(nèi)容；運(yùn)動(dòng)與靜止；偶然與必然；現(xiàn)象與本質(zhì)；原因與結(jié)果；整體與局部；有限與無(wú)限；等。思維的視角：觀察與實(shí)驗(yàn)；類(lèi)比與猜想；歸納與演繹；分析與綜合；抽象與概括；特殊與一般；比較與分類(lèi)

；等。數(shù)學(xué)的視角：1、全局性的方法：數(shù)學(xué)模型方法；關(guān)系映射反演方法；公理化方法；坐標(biāo)方法；等。2、技巧性的方法：解題策略層面；解題方法層面；解題技巧層面。高考考試大綱：函數(shù)與方程思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類(lèi)與整合思想；化歸與轉(zhuǎn)化思想；特殊與一般思想；有限與無(wú)限思想；必然與或然思想。B.數(shù)學(xué)抽象的思想；數(shù)學(xué)推理的思想；數(shù)學(xué)模型的思想。數(shù)學(xué)抽象的思想派生出的有：分類(lèi)的思想；集合的思想；數(shù)形結(jié)合的思想；變中有不變的思想；符號(hào)表示的思想；對(duì)稱(chēng)的思想；對(duì)應(yīng)的思想；有限與無(wú)限的思想等。數(shù)學(xué)推理的思想派生出的有：歸納的思想；演繹的思想；公理化思想；轉(zhuǎn)換與化歸的思想；聯(lián)想與類(lèi)比的思想；逐步逼近的思想；代換的思想；特殊與一般的思想等。數(shù)學(xué)模型的思想派生出的有：簡(jiǎn)化的思想；量化的思想；函數(shù)的思想；方程的思想；優(yōu)化的思想；隨機(jī)的思想；抽樣統(tǒng)計(jì)的思想等。對(duì)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，不能“就事論事”，僅考慮到這一“點(diǎn)”知識(shí)，這樣可能會(huì)“見(jiàn)木不見(jiàn)林”。在對(duì)教材進(jìn)行分析時(shí)，要樹(shù)立“整體觀”，要從教學(xué)系統(tǒng)的“宏觀視野”的顯現(xiàn)狀況與課堂運(yùn)行的“微型框架”兩方面進(jìn)行結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)。學(xué)習(xí)理論的現(xiàn)代研究表明，組織良好的知識(shí)是圍繞核心概念或“大觀點(diǎn)”組織的。四、教學(xué)生學(xué)“結(jié)構(gòu)”

布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是一個(gè)人把同類(lèi)事物聯(lián)系起來(lái)，并把它們組織成賦予它們意義的結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織。知識(shí)的學(xué)習(xí)就是在學(xué)生的頭腦中形成各學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)。這種知識(shí)結(jié)構(gòu)是由學(xué)科知識(shí)中的基本概念、基本思想或基本原理組成的。布魯納：學(xué)習(xí)知識(shí)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！安徽撐覀冞x教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解各門(mén)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”。華羅庚：“既要能把書(shū)讀厚，又能把書(shū)讀薄”。讀厚，就是要把每一邏輯關(guān)系，每一個(gè)細(xì)節(jié)搞清楚，想清楚；讀薄，就是能抓住課程的主線，基本脈絡(luò)，抓住課程的內(nèi)在聯(lián)系，形成整體認(rèn)識(shí)。孫維剛：“使學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間盤(pán)根錯(cuò)節(jié)，又渾然一體，而到后來(lái)，知識(shí)好像在手心里，了如指掌，不再是一堆雜亂無(wú)章的瓦礫、一片望而生畏的戈壁灘?！睉?yīng)從系統(tǒng)的角度學(xué)習(xí)知識(shí)，置知識(shí)于系統(tǒng)中，著眼于知識(shí)之間的聯(lián)系和規(guī)律，從而深入本質(zhì)，因?yàn)槁?lián)系和規(guī)律就是本質(zhì)。1.宏觀結(jié)構(gòu)與微觀結(jié)構(gòu)宏觀結(jié)構(gòu)示例27：幾何結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu)直觀幾何：對(duì)平面圖形、立體圖形的認(rèn)識(shí)；度量幾何：求長(zhǎng)度、角度、面積、體積等問(wèn)題；演繹幾何：垂直、平行、全等、相似運(yùn)動(dòng)幾何：如平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱(chēng)等；坐標(biāo)幾何。代數(shù)：數(shù)式運(yùn)算和方程求解。兩種數(shù)：實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)；三種式：整式，分式，根式；六種運(yùn)算：加，減，乘，除，乘方，開(kāi)方；四類(lèi)方程：整式方程，分式方程，根式方程，方程組。進(jìn)一步發(fā)展：未知數(shù)更多的方程，次數(shù)更高的方程。從代數(shù)式（符號(hào)代表數(shù)），到方程（符號(hào)代表未知數(shù)），到函數(shù)（符號(hào)代表變數(shù)）微觀結(jié)構(gòu)示例28：面積公式面積學(xué)習(xí)的順序：長(zhǎng)方形、正方形→平行四邊形→三角形→梯形。學(xué)完面積公式以后，需要融匯貫通，從整體上看它們之間的關(guān)系：梯形的面積公式：S=(a+b)h/2；三角形是上底為零的梯形：S=ah/2；平行四邊形是上底和下底相等的梯形：S=(a+a)h/2=ah；長(zhǎng)方形是邊與高重合的平行四邊形：S=ab；正方形是兩邊相等的長(zhǎng)方形：S=a22.知識(shí)結(jié)構(gòu)與方法結(jié)構(gòu)示例29：知識(shí)結(jié)構(gòu)——圓與方程單墫：學(xué)好數(shù)學(xué)要經(jīng)歷幾個(gè)“會(huì)”。首先要“學(xué)會(huì)”，即學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一些常識(shí)，包括常用的定義、定理和公式。其次要“領(lǐng)會(huì)”，即加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念和結(jié)論的理解，理解越深刻，運(yùn)用就越自如。最后是“融會(huì)”，即觸類(lèi)旁通，舉一反三。示例30：方法結(jié)構(gòu)——九年級(jí)上冊(cè)“圓”（1）用量化思想方法研究了圓的度量性質(zhì)所謂度量性質(zhì)，指幾何圖形可以用某種單位來(lái)計(jì)量（即予以數(shù)量化）的屬性，——如長(zhǎng)度、角度、面積、體積之類(lèi)。圓周長(zhǎng)、圓面積和角在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)。本章用量化方法進(jìn)一步研究了圓心角與圓周角、弧長(zhǎng)、扇形面積這些度量性質(zhì)。研究圓的度量性質(zhì)時(shí)，不但要用量化思想方法，而且要用化歸思想方法?；￠L(zhǎng)被化歸為圓周長(zhǎng)的一部分；扇形面積被化歸為圓面積的一部分。（2）用邏輯化思想方法研究了與圓有關(guān)的圖形結(jié)構(gòu)①圓與其內(nèi)部各圖形的關(guān)系結(jié)構(gòu)圓心、半徑、弦和直徑都不是圓的組成部分，而是圓內(nèi)部的其他圖形（點(diǎn)和線段），它們分別（或聯(lián)合）與圓組成一種關(guān)系結(jié)構(gòu)。什么關(guān)系呢？一是位置關(guān)系：圓心在圓的中心、直徑是圓的對(duì)稱(chēng)軸、圓的內(nèi)接三角形、點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)。二是長(zhǎng)度的數(shù)量關(guān)系：半徑等于同圓直徑的一半、垂直于弦的直徑平分這條弦及它所對(duì)的兩條弧、同圓中相等圓心角（或圓周角）所對(duì)的弧和弦等長(zhǎng)（反之亦然）。②圓與其外部各圖形的關(guān)系結(jié)構(gòu)即圓與外部各圖形的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)：點(diǎn)在圓外；直線與圓的相離、相切、相交；三角形的三邊均與同一個(gè)圓相切（三角形的內(nèi)切圓）；圓與圓的外離、外切、相交、內(nèi)切、同心內(nèi)含、不同心內(nèi)含、重合。上述各種位置關(guān)系分別導(dǎo)致某些長(zhǎng)度數(shù)量關(guān)系（反之亦然）：如果點(diǎn)在圓外則該點(diǎn)與圓心的距離大于半徑（反之亦然），……（描述此類(lèi)關(guān)系的定理很多，不一一列舉）對(duì)這些圖形結(jié)構(gòu)的研究方法是什么呢？或曰，描述這些圖形結(jié)構(gòu)性質(zhì)的定理是用什么方法得出的呢？主要是邏輯化的思想方法。研究圖形結(jié)構(gòu)不但運(yùn)用了邏輯化思想方法，還運(yùn)用了量化思想方法：對(duì)某種位置關(guān)系的幾何定性描述←→對(duì)該位置關(guān)系的代數(shù)定量描述。3.縱向聯(lián)系形成結(jié)構(gòu)示例31：對(duì)稱(chēng)性小學(xué)數(shù)學(xué)：二年級(jí)上“美麗的對(duì)稱(chēng)圖形”（認(rèn)識(shí)并畫(huà)出：畫(huà)一畫(huà)）；五年級(jí)“圖形的變換——軸對(duì)稱(chēng)”（方格紙上研究軸對(duì)稱(chēng)的特征和性質(zhì)：量一量，數(shù)一數(shù)）初中數(shù)學(xué)：初二上“軸對(duì)稱(chēng)”（坐標(biāo)系中研究軸對(duì)稱(chēng)的特征和性質(zhì)）高中數(shù)學(xué)：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性——奇偶性；方程曲線的對(duì)稱(chēng)性函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性：方程曲線的對(duì)稱(chēng)性：4.橫向聯(lián)系形成結(jié)構(gòu)示例32：從等角定理到平行線定理定理：如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。如果把角的邊的射線方向都加以標(biāo)注，則不難得到結(jié)論：當(dāng)兩組平行邊的射線方向全相同或全相反時(shí)，這兩個(gè)角相等；兩組平行邊的射線方向一同一反時(shí)，這兩個(gè)角互補(bǔ)。進(jìn)一步：如果再把兩條射線方向相同的關(guān)系規(guī)定為“+”，方向相反的關(guān)系規(guī)定為“-”；把兩個(gè)角相等的關(guān)系規(guī)定為“+”，互補(bǔ)的關(guān)系規(guī)定為“-”。則有理數(shù)乘法的符號(hào)法則：“+”“+”得“+”，“+”“-”得“-”，“-”“+”得“-”，“-”“-”得“+”。更進(jìn)一步：如果將直線EF平移，使它與OA所在直線重合，這時(shí)有：“兩直線平行，同位角相等”；“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”；“兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”。再進(jìn)一步：把CD平移，使與OB所在直線重合。則：∠AOB和∠3的相等，就是角相等的定義；∠AOB分別和∠2及∠4的互補(bǔ)，就是平角的定義；而∠AOB和∠1的相等，可同時(shí)認(rèn)為是對(duì)頂角相等!分散在課本里的6條定義、定理(角相等定義，平角定義，對(duì)頂角相等，兩直線平行則同位角相等、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)、內(nèi)錯(cuò)角相等)，竟全包括在一個(gè)等角定理內(nèi)。這1條定理是那6條定義、定理的聯(lián)合推廣；那6條定義、定理則是這1條定理的特例。因?yàn)?，它們?cè)臼且粋€(gè)系統(tǒng)。融匯貫通的過(guò)程，使我們透過(guò)繁雜的現(xiàn)象，抓住了本質(zhì)，同時(shí)簡(jiǎn)化了記記。更重要的是接觸到了一種嶄新的認(rèn)識(shí)問(wèn)題的思想方法：由尋找聯(lián)系入手，運(yùn)用平移變換、特殊與一般的思想方法，把個(gè)別的、離散的現(xiàn)象構(gòu)造成渾然一體的系統(tǒng)。這標(biāo)志著能力的提高和素質(zhì)的發(fā)展。以這種提高和發(fā)展，去學(xué)習(xí)、去解題，將與過(guò)去不可同日而語(yǔ)。因?yàn)榻忸}的過(guò)程的本質(zhì)，就是以敏銳的觀察、分析，去發(fā)現(xiàn)和建立已知條件和結(jié)論之間的聯(lián)系。四、數(shù)學(xué)教學(xué)“怎么教”袁隆平：“我最喜歡外語(yǔ)、地理、化學(xué)，最不喜歡數(shù)學(xué)，因?yàn)樵趯W(xué)正負(fù)數(shù)的時(shí)候，搞不清為什么負(fù)負(fù)相乘得正，就去問(wèn)老師，老師說(shuō)‘你記得就是’；學(xué)幾何時(shí)，對(duì)一個(gè)定理有疑義，去問(wèn)，還是一樣回答，我由此得出結(jié)論，數(shù)學(xué)不講道理，于是不再理會(huì)，對(duì)數(shù)學(xué)興趣不大，成績(jī)不好”。數(shù)學(xué)原本就是這樣？還是數(shù)學(xué)教師的教學(xué)使然？知名華人數(shù)學(xué)家、哈佛大學(xué)教授丘成桐興沖沖地趕到杭州，去與一群剛在高考中取得好成績(jī)的數(shù)學(xué)尖子見(jiàn)面。結(jié)果卻讓他頗為失望：“大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)根本沒(méi)有清晰的概念，對(duì)定理不甚了了，只是做習(xí)題的機(jī)器。這樣的教育體系，難以培養(yǎng)出什么數(shù)學(xué)人才?！崩砟畹闹匾灾弧^念決定行動(dòng)示例33：“分母有理化”的教學(xué)教師甲：“今天我們學(xué)習(xí)分母有理化”，然后板書(shū)課題，依次講什么是分母有理化，怎樣使分母有理化，舉例，練習(xí)，最后布置作業(yè)。教師乙：首先板書(shū)一道題“計(jì)算（精確到0。01）”，指定兩位同學(xué)板演，一同學(xué)先把分母分子同乘以，很快算出結(jié)果；另一同學(xué)直接用1被的近似值1．414除，列豎式算得繁。為此，教師問(wèn)學(xué)生，那種方法簡(jiǎn)便，學(xué)生一致肯定了前者，從而自然引入了分母有理化課題。理念的重要性之二——具有概括性和普遍性庸俗化理解：教育理論應(yīng)

“拿來(lái)即可用”“一用即顯靈”。理論與實(shí)踐之間存在一定程度的距離，是由理論自身的特點(diǎn)造成的，不超越現(xiàn)實(shí)的理論，就不可能具有前瞻性和創(chuàng)新性。理論理論總是具有抽象性和普遍性，愈是貼近實(shí)踐的理論就愈不像理論。理論適度遠(yuǎn)離實(shí)踐是必然的，也是必要的。教育理論的首要目的在于幫助人們認(rèn)識(shí)問(wèn)題，而不是處方式地去解決問(wèn)題。教育理論具有層級(jí)性：操作層面的理論是為了求得理性的行動(dòng)，觀念層面的理論是為了達(dá)到對(duì)理性的理解與解釋。理論研究者要“屈身下嫁”教育實(shí)踐，教育實(shí)踐者也必需“躬身迎接”教育理論。重要的在于用教育理論去武裝實(shí)踐工作者的頭腦，把理論轉(zhuǎn)化成實(shí)踐者的思想、智慧和精神。借鑒教改經(jīng)驗(yàn)的什么？學(xué)模，仿模，造模，無(wú)模（一）建構(gòu)性數(shù)學(xué)教學(xué)思想（二）理解性數(shù)學(xué)教學(xué)思想（三）過(guò)程性數(shù)學(xué)教學(xué)思想（四）啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想（五）問(wèn)題式數(shù)學(xué)教學(xué)思想（六）情境式數(shù)學(xué)教學(xué)思想（七）主體性數(shù)學(xué)教學(xué)思想（八）生成性數(shù)學(xué)教學(xué)思想（一）建構(gòu)性數(shù)學(xué)教學(xué)思想1、建構(gòu)主義發(fā)展概述行為主義→認(rèn)知主義→建構(gòu)主義建構(gòu)主義是在整合了皮亞杰、維果茨基、布魯納、奧蘇伯爾、加涅等認(rèn)知主義理論的核心思想，并賦予新的意義而構(gòu)建起來(lái)的，因此它是認(rèn)知主義的進(jìn)一步發(fā)展。

2、建構(gòu)主義觀的辨析（1）激進(jìn)建構(gòu)主義知識(shí)不是對(duì)客觀事物本來(lái)面目的反映，知識(shí)只是適應(yīng)和體現(xiàn)主體的經(jīng)驗(yàn)，知識(shí)不能傳遞，只能由個(gè)體建構(gòu)。把內(nèi)部建構(gòu)的作用推到極至的地位。它雖然并不排斥教師的幫助，但認(rèn)為教師的作用是次要的。（2）社會(huì)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)是個(gè)體內(nèi)部建構(gòu)與外部建構(gòu)相互作用的過(guò)程。社會(huì)建構(gòu)主義也強(qiáng)調(diào)個(gè)體建構(gòu)，但認(rèn)為社會(huì)對(duì)個(gè)體的學(xué)習(xí)所起到的支持和促進(jìn)作用必不可少。與激進(jìn)建構(gòu)主義輕視教師的作用相比，社會(huì)建構(gòu)主義更重視教師的作用；與激進(jìn)建構(gòu)主義認(rèn)為知識(shí)不是對(duì)客觀事物本來(lái)面目的反映相比，社會(huì)建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)個(gè)體建構(gòu)要與知識(shí)的客觀意義趨于一致。（3）信息加工建構(gòu)主義學(xué)習(xí)不僅是人對(duì)外部信息的加工，而且意味著外來(lái)信息與已有知識(shí)之間存在雙向的相互作用；新經(jīng)驗(yàn)意義的獲得要以原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，超越所給的信息，而原有經(jīng)驗(yàn)又會(huì)在此過(guò)程中被調(diào)整或改造。不同的建構(gòu)主義差異，可概括為“外部輸入—內(nèi)部生成”和“個(gè)體建構(gòu)—社會(huì)建構(gòu)”兩個(gè)維度。在“外部輸入—內(nèi)部生成”的維度上，外部輸入的傾向性越大，學(xué)習(xí)中接受的成分越多；內(nèi)部生成的傾向性越大，學(xué)習(xí)中建構(gòu)的成分越多。在“個(gè)體建構(gòu)—社會(huì)建構(gòu)”的維度上，不同建構(gòu)主義反映出在“個(gè)體的建構(gòu)”、“個(gè)體間的建構(gòu)”、“社會(huì)性建構(gòu)”之間的差異，3、建構(gòu)主義的知識(shí)觀建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)并不是對(duì)現(xiàn)實(shí)的準(zhǔn)確表征，而只是一種解釋和假設(shè)。學(xué)習(xí)者根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)背景，以自己的方式建構(gòu)對(duì)知識(shí)的理解，不同人看到的是事物的不同方面。因此對(duì)于世界的理解和賦予意義由每個(gè)人自己決定，而不存在惟一標(biāo)準(zhǔn)的理解。同樣一段程序在不同電腦中運(yùn)行的結(jié)果是一致的，但同樣一段以語(yǔ)言文字為載體的公眾知識(shí)在不同個(gè)體的頭腦中意義卻是不一樣的。4、建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀建構(gòu)主義認(rèn)為,學(xué)習(xí)不是知識(shí)由外到內(nèi)的轉(zhuǎn)移和傳遞,而是學(xué)生建構(gòu)自己的知識(shí)的過(guò)程。外部信息本身沒(méi)有意義,意義是學(xué)習(xí)者通過(guò)新舊知識(shí)經(jīng)驗(yàn)間反復(fù)的、雙向的相互作用而建構(gòu)成的。與情境中各種因素建立聯(lián)系，與相關(guān)的各種已有經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系。建構(gòu)新知識(shí)的過(guò)程，既建構(gòu)了新知識(shí)的意義，又使原認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到了重建?！靶睦斫ㄖ铩钡慕⒑蜆?gòu)造，都是內(nèi)部心理上的思維創(chuàng)造過(guò)程。這是外界力量所不能達(dá)到的，當(dāng)然也是教師所不能傳授的，教師的傳授實(shí)際是向?qū)W生的頭腦里嵌入一個(gè)外部結(jié)構(gòu)。外部結(jié)構(gòu)嵌入的過(guò)程，是被動(dòng)活動(dòng)的過(guò)程，模仿復(fù)制的過(guò)程，最終所獲得的意義缺少生動(dòng)的背景，缺少經(jīng)驗(yàn)支撐，缺少?gòu)V泛知識(shí)的聯(lián)系，也就缺少遷移的活力。比如在一元二次方程求根公式的學(xué)習(xí)中：學(xué)習(xí)者要建立未知數(shù)、常數(shù)、次數(shù)、方程等概念之間的聯(lián)系；學(xué)習(xí)者要建立方程與求根公式、根與系數(shù)之間的邏輯聯(lián)系；要建立一元二次方程與一元一次方程的聯(lián)立；要與隨后學(xué)習(xí)的一元二次函數(shù)、一元二次不等式建立起聯(lián)系；最終建構(gòu)起一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的“心理建筑物”.

5、建構(gòu)主義的教學(xué)觀教學(xué)不是傳遞東西或者產(chǎn)品。教師充其量只是傳遞了語(yǔ)言文字符號(hào)信息，至于這些信息在學(xué)生頭腦中是什么意思，最終是由學(xué)習(xí)者決定的。（類(lèi)似但又不同于電報(bào)的收發(fā)）教學(xué)就是創(chuàng)設(shè)一定的環(huán)境和支持條件，促進(jìn)學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的意義。教學(xué)不能無(wú)視學(xué)習(xí)者的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn),強(qiáng)硬地從外部實(shí)施知識(shí)的“填灌”,而是應(yīng)把學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為生長(zhǎng)點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)習(xí)者生長(zhǎng)新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。（二）理解性數(shù)學(xué)教學(xué)思想1、什么是數(shù)學(xué)理解有人認(rèn)為，能夠用自己的語(yǔ)言來(lái)敘述一個(gè)概念或原理就叫理解；有人認(rèn)為，能夠運(yùn)用自己所學(xué)的知識(shí)才叫理解等。從心理層面給理解進(jìn)行定義：理解是指在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，建構(gòu)新知識(shí)的個(gè)人心理意義，不斷完善和發(fā)展頭腦中的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并能將納入知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的新知識(shí)靈活地加以提取和應(yīng)用。理解的過(guò)程，主要涉及三方面的工作:（1）必須將原始信息改造成適應(yīng)個(gè)人認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、便于存入和提取的形式，因此，建立的表象越熟悉、越細(xì)致、越準(zhǔn)確，理解程度就越好；（2）新知識(shí)結(jié)點(diǎn)與其它結(jié)點(diǎn)的連線越多，該結(jié)點(diǎn)的入口就越多，經(jīng)由這些通道進(jìn)入該結(jié)點(diǎn)的機(jī)會(huì)也就增多；（3）本質(zhì)性的聯(lián)系越多，準(zhǔn)確性越強(qiáng)，這些聯(lián)系就越緊密和牢固，這樣，經(jīng)由其它結(jié)點(diǎn)激活該節(jié)點(diǎn)的可能性越大，回憶必然越方便越迅速。2、理解的意義（1）理解有助于個(gè)體知識(shí)結(jié)構(gòu)的完善理解的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系。希伯特教授：“認(rèn)為一個(gè)數(shù)學(xué)的概念、方法或事實(shí)是理解了，是指它成了內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)部分。理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來(lái)確定的?！保?）理解能夠減輕學(xué)習(xí)者的記憶負(fù)擔(dān)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)越強(qiáng)，需要單獨(dú)記憶的就越少，相對(duì)而言組塊數(shù)量就越少。（3）理解有助于知識(shí)的靈活遷移和應(yīng)用案例：斜坐標(biāo)系3、理解的類(lèi)型與層次（1）“不知其然者”，全無(wú)理解，這是理解的零層次；（2）“知其然”，即知道結(jié)果、結(jié)論，相當(dāng)于第一層次理解；（3）“知其所以然”，即知道結(jié)論之因，即上升到理解的第二層次；（求根公式）（4）“何由以知其所以然”，即怎樣想到這樣定義、這個(gè)解法或證明的，這就涉及到思想方法，從而達(dá)到了理解的第三層次。案例：“老師，我忘了”（三）過(guò)程性數(shù)學(xué)教學(xué)思想1、什么是過(guò)程性結(jié)果是指教學(xué)活動(dòng)發(fā)展的最終產(chǎn)物，而過(guò)程則是指為獲得教學(xué)結(jié)果所必須經(jīng)歷的活動(dòng)程序。結(jié)果的價(jià)值在于它的“消費(fèi)”價(jià)值或使用價(jià)值。過(guò)程的價(jià)值在于它所具有的“生產(chǎn)性”或發(fā)展性。從科學(xué)角度來(lái)看過(guò)程與結(jié)果的辯證關(guān)系；從教學(xué)角度來(lái)看過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系。對(duì)“過(guò)程”與“結(jié)果”關(guān)系的認(rèn)識(shí)，有以下三種觀點(diǎn)：第一種觀點(diǎn):只要結(jié)果，不要過(guò)程；第二種觀點(diǎn):重視過(guò)程，但重視的目的，是為了更好地掌握知識(shí)與技能，過(guò)程本身的價(jià)值被忽略；第三種觀點(diǎn)：過(guò)程本身就是一個(gè)教學(xué)目標(biāo)。過(guò)程某種意義上也是一種結(jié)果。過(guò)程與結(jié)果是相互促進(jìn)的關(guān)系。2、“誰(shuí)”的過(guò)程性在以往的教學(xué)中，經(jīng)常用教師的過(guò)程性來(lái)代替學(xué)生的過(guò)程性。把教師的問(wèn)題當(dāng)成學(xué)生的問(wèn)題，用教師的演示來(lái)代替學(xué)生的動(dòng)手，用教師的講解來(lái)代替學(xué)生的活動(dòng)，用教師的分析來(lái)代替學(xué)生的思維。還經(jīng)常存在另外一種現(xiàn)象，即用一些學(xué)生的過(guò)程性來(lái)代替另一些學(xué)生的過(guò)程性。（病態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)）替代型的“過(guò)程性”，已不具有真實(shí)的過(guò)程性所具有的價(jià)值。真實(shí)的教學(xué)過(guò)程充滿著變數(shù)，充滿著無(wú)法預(yù)知的“附加價(jià)值”和有意義的“衍生物”，這正是過(guò)程性的價(jià)值之所在。教師教的過(guò)程就只是手段，學(xué)生應(yīng)然的思維過(guò)程才是目標(biāo)。3、怎樣的過(guò)程性？過(guò)程性經(jīng)常是全預(yù)設(shè)的，其過(guò)程在過(guò)程實(shí)施之前就已經(jīng)有了理性設(shè)計(jì)和程序規(guī)定，從而“過(guò)程”演變成了“流程”。預(yù)設(shè)的過(guò)程性，是作為結(jié)果的過(guò)程性，而不是作為過(guò)程的過(guò)程性。因?yàn)樵谶@種過(guò)程性中，一切都是現(xiàn)成的：現(xiàn)成的問(wèn)題，現(xiàn)成的論證，現(xiàn)成的說(shuō)明，現(xiàn)成的講解。它從源頭上就剝離了過(guò)程與結(jié)果的內(nèi)在聯(lián)系。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師需要重點(diǎn)考慮的是：通過(guò)怎樣的引導(dǎo)來(lái)幫助學(xué)生進(jìn)行探索性的思考，而不是通過(guò)精心預(yù)設(shè)的過(guò)程來(lái)代替學(xué)生的思考；通過(guò)搭建腳手架來(lái)協(xié)助個(gè)體知識(shí)的建構(gòu)與生成，而不是便捷地呈現(xiàn)結(jié)果性知識(shí)以期讓學(xué)生快速地吸收和接納。即使是暴露或呈現(xiàn)他人的過(guò)程性，為了使這種過(guò)程性契合或順應(yīng)學(xué)生的思維，使兩種過(guò)程性“合拍”，教師也需要設(shè)身處地的從學(xué)生實(shí)際出發(fā)來(lái)進(jìn)行教學(xué)。當(dāng)教師的思維帶上了學(xué)生的色彩，甚至達(dá)到“學(xué)生話”之后，教的過(guò)程就與學(xué)的過(guò)程融為一體。退位思考；換位心里；“稚化”思維。4、過(guò)程觀下對(duì)預(yù)習(xí)的審視對(duì)預(yù)習(xí)處理不當(dāng)，會(huì)帶來(lái)一些負(fù)面影響。沒(méi)有耐心退到思維的“零起點(diǎn)”去重新思考；遇到新鮮結(jié)論，總是滿足于結(jié)論而停滯不前；學(xué)生的思想全被課本提供的想法所束縛和限制。預(yù)習(xí)之后的教學(xué)，應(yīng)通過(guò)“追問(wèn)”等手段，引發(fā)更高層次的深入思考。應(yīng)提倡一種探究型的預(yù)習(xí)觀，為教學(xué)提供可貴的動(dòng)態(tài)生成的資源。5、過(guò)程觀下對(duì)備課的審視只備“課”不備“人”，只備“形”不備“神”，只備“結(jié)果”不備“過(guò)程”。教案過(guò)于精細(xì)和充分，危害性有時(shí)可能更大。蕭蔭堂:“有時(shí)教授備課不足，笨手笨腳地算錯(cuò)了數(shù)，從他搔著首、念念有詞的改正中，反而可以看出他的思路，真正學(xué)到些東西?！苯處熢趥湔n時(shí)需要注意以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）要挖掘和揭示其產(chǎn)生與形成的思維過(guò)程。（2）善于“稚化”自己的思維，通過(guò)“心理?yè)Q位”使教案中呈現(xiàn)的教學(xué)思路貼近學(xué)生的實(shí)際。（3）提倡教師寫(xiě)簡(jiǎn)案，使整個(gè)預(yù)設(shè)留有更大的包容度和自由度。（4）革新備課的形式。備課未必都形之于紙上，關(guān)鍵是要準(zhǔn)備在教師頭腦里。6、過(guò)程觀下對(duì)作業(yè)的審視對(duì)學(xué)生作業(yè)的評(píng)價(jià)，宜少些量化打分，多一些質(zhì)性評(píng)價(jià)。了解學(xué)生的真實(shí)思維過(guò)程，有兩種辦法值得嘗試：一是在作業(yè)中反對(duì)草稿紙的使用，倡導(dǎo)作業(yè)的“隨便”書(shū)寫(xiě)；二是對(duì)草稿紙的充分利用。“草稿紙是思考過(guò)程的履歷表”。（四）啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)思想1、啟發(fā)的重要性教師在教學(xué)中的主要任務(wù)是“引導(dǎo)”，而“啟發(fā)”則是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的基本方法。孔子:“吾有知乎哉？無(wú)知也。有鄙夫問(wèn)于我，空空如也。我叩其兩端而竭焉?！碧K格拉底：從來(lái)都沒(méi)有教給別人什么，只不過(guò)是象一個(gè)靈魂的接生婆那樣，幫助人們產(chǎn)生自己的思想、觀點(diǎn)。2、二重啟發(fā)原理解析從內(nèi)容的角度來(lái)看，這種啟發(fā)性的幫助應(yīng)由易到難，以符合認(rèn)知規(guī)律；從思維的角度來(lái)看，這種啟發(fā)性的幫助應(yīng)由遠(yuǎn)及近，以提高思維強(qiáng)度。簡(jiǎn)單、容易的內(nèi)容在啟發(fā)時(shí)，距離目標(biāo)的起點(diǎn)可遠(yuǎn)些，以提高思維強(qiáng)度；復(fù)雜、困難的內(nèi)容在啟發(fā)時(shí)，距離目標(biāo)的起點(diǎn)可近些，以節(jié)約學(xué)習(xí)的時(shí)間。3、啟發(fā)的適度性策略分析不能過(guò)于直白，也不能過(guò)于含蓄。言近而旨遠(yuǎn)，言有盡而意無(wú)窮，話里有話或弦外有音；舉一而寓三，一語(yǔ)而多關(guān)，或迂回設(shè)問(wèn)。語(yǔ)忌直，意忌淺，脈忌露，味忌短。啟發(fā)的主要作用在于給學(xué)生以暗示。暗示不成再明講。波利亞：“你能不能應(yīng)用勾股定理?。俊盿.如果學(xué)生已經(jīng)接近于問(wèn)題的解答，可是他已不需要這項(xiàng)幫助了。反之，他就很可能完全不明白這一提問(wèn)的作用。b.它把所有的奧秘都顯露出來(lái)，幾乎沒(méi)有留下什么可給學(xué)生做了。c.即使學(xué)生能應(yīng)用它來(lái)解決手頭的這個(gè)題目，但對(duì)以后會(huì)碰到的題目他們根本沒(méi)有學(xué)到什么。d.就算學(xué)生懂得這提問(wèn)的作用，可是他很難體會(huì)到教師憑什么會(huì)想到它的。4、啟發(fā)的適時(shí)性策略分析當(dāng)啟處啟，當(dāng)發(fā)處發(fā)，“啟”在關(guān)鍵處，“發(fā)”在要害處，防止超前啟發(fā)和滯后啟發(fā)?！笆紫仁遣皇窃摗?？”，“接下來(lái)是不是……呢？”，“然后是不是……呢？”啟發(fā)的時(shí)間等待理論。（五）問(wèn)題式數(shù)學(xué)教學(xué)思想1、什么是問(wèn)題？數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)思維目的性的體現(xiàn)；問(wèn)題性是思維的本質(zhì)屬性。問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)之間的障礙，現(xiàn)有水平與客觀需要之間的矛盾?！熬毩?xí)題”（Exercise）“問(wèn)題”（Problem）：接受性，障礙性，探究性2、問(wèn)題的特征與類(lèi)型（1）問(wèn)題的特征問(wèn)題的矛盾性：

“問(wèn)題”促進(jìn)著個(gè)體的成長(zhǎng)；問(wèn)題的相對(duì)性：x2+x-5=0,x3+x2-5x=0,x3+x2-5x=1（2）問(wèn)題的類(lèi)型數(shù)學(xué)題系統(tǒng)：條件、結(jié)論、求解過(guò)程，解題依據(jù)。數(shù)學(xué)問(wèn)題：集合（S,R）,其中R(Y,O,Z,P)。問(wèn)題型問(wèn)題；探索型問(wèn)題；訓(xùn)練型問(wèn)題；標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題.(量與質(zhì))3、什么是問(wèn)題解決？數(shù)學(xué)證明題的實(shí)質(zhì)；數(shù)學(xué)求解題的實(shí)質(zhì)。傳統(tǒng)意義的“解題”，注重結(jié)果、注重答案；現(xiàn)代意義的“問(wèn)題解決”，更注重解決問(wèn)題的過(guò)程、策略以及思維的方法。一個(gè)學(xué)生拿到一道習(xí)題之后，通過(guò)翻看習(xí)題集的答案得到了解決，但能否認(rèn)為他解決了問(wèn)題呢？一個(gè)教師講解一條幾何定理時(shí)，小黑板一掛，輔助線作好了，證明和盤(pán)托出了，也是一個(gè)不成功的“解題”。4、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)（1）注重非常規(guī)問(wèn)題解決的教學(xué)（2）數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中“問(wèn)題鏈”的構(gòu)建案例：函數(shù)零點(diǎn)定理的教學(xué)（六）情境式數(shù)學(xué)教學(xué)思想1、情境認(rèn)知理論知識(shí)視為個(gè)人和社會(huì)或物理情境之間聯(lián)系的屬性以及互動(dòng)的產(chǎn)物。在特定情境中獲得的知識(shí)比所謂的一般知識(shí)更有力和更有用。基于情境的行動(dòng)合法的邊緣參與實(shí)踐共同體的建構(gòu)2、什么是數(shù)學(xué)問(wèn)題情境從認(rèn)知的角度看，情境可被視為一種信息載體；能為數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出和解決提供信息和依據(jù)?？梢允牵汗适虑榫场D片情境、操作情境、活動(dòng)情境、利用多媒體創(chuàng)設(shè)的直觀情境，但：首先是有“問(wèn)題”，即認(rèn)知矛盾或沖突；其次才是“情境”，即數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生或應(yīng)用的環(huán)境。3、問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題（1）問(wèn)題情境應(yīng)具有“數(shù)學(xué)味”

二次根式；買(mǎi)白糖：小王與小李總是一起去買(mǎi)白糖。小李每次總是買(mǎi)一元錢(qián)的白糖，小王每次總是買(mǎi)一斤白糖。假設(shè)白糖價(jià)格經(jīng)常變動(dòng)。問(wèn)哪種買(mǎi)白糖更合算？（2）問(wèn)題情境應(yīng)具有“關(guān)聯(lián)性”為情境而情境的“標(biāo)簽”和“包裝”不可??；“三句不離本行”的數(shù)學(xué)眼光。（3）問(wèn)題情境應(yīng)具有“引領(lǐng)性”

敲門(mén)磚；激發(fā)、推動(dòng)、維持、強(qiáng)化和調(diào)整。

（4）問(wèn)題情境應(yīng)具有“真實(shí)性”“獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率”：“三個(gè)臭皮匠能頂上一個(gè)諸葛亮嗎”。（5）情境中問(wèn)題的難易應(yīng)適當(dāng)最近發(fā)展區(qū)理論（七）主體性數(shù)學(xué)教學(xué)思想1、誰(shuí)是教學(xué)的主體？教與學(xué)關(guān)系的認(rèn)識(shí)學(xué)生是主體，教師是主導(dǎo)2、主體性的三層含義主動(dòng)性，自主性，創(chuàng)造性3、數(shù)學(xué)教學(xué)的“二十四”字方針精力內(nèi)容，大作功夫；少占多讓?zhuān)俜龆喾牛唤^對(duì)主動(dòng)，相對(duì)自主。（八）生成性數(shù)學(xué)教學(xué)思想1、生成性教學(xué)的內(nèi)涵（1）什么是“生成”所謂“生”，指產(chǎn)生、出生；所謂“成”，為形成之“成”和成果之“成”；產(chǎn)生→生長(zhǎng)→形成→成果（2）什么是生成性教學(xué)教的意義上：靜態(tài)預(yù)設(shè)，動(dòng)態(tài)生成學(xué)的意義上：被動(dòng)接受，自主生成生成性教學(xué)是對(duì)“預(yù)設(shè)性”的補(bǔ)充和修正；生成性教學(xué)是對(duì)“接受性”的批判和超越。2、從教的意義上解讀生成（1）教學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜性“人—人”雙向系統(tǒng)（2）動(dòng)態(tài)生成資源引發(fā)教學(xué)目的、策略、方法等的生成性（3）彈性預(yù)設(shè)的重要性以解題為例，形成彈性化方案（4）動(dòng)態(tài)生成教學(xué)的特點(diǎn)動(dòng)態(tài)生成資源：生長(zhǎng)點(diǎn)或腳手架動(dòng)態(tài)生成資源：持續(xù)生成與利用靜態(tài)預(yù)設(shè)資源：參照和索引3、從學(xué)的意義上解讀生成（1）知識(shí)意義的生成過(guò)程①創(chuàng)造知識(shí)生成的“沃土”：夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，盤(pán)活已有經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生思維，調(diào)動(dòng)