第一章信號與系統(tǒng)

信號與線性系統(tǒng)分析

--第四版吳大正主編課程介紹一、課程名稱：信號與系統(tǒng)

教材：

《信號與線性系統(tǒng)分析》吳大正等編.北京：高等教育出版社，第4版參考書：

[1]《信號與系統(tǒng)》（第二版）鄭君里等編.高等教育出版社[2]《信號與系統(tǒng)》（第二版）陳生譚等編.西安電子科技大學(xué)出版社二、課程性質(zhì)：專業(yè)必修課,專業(yè)選修課，（信息，通信，電子，控制）三、先修課程：高等數(shù)學(xué)、電路分析、復(fù)變函數(shù)四、課程學(xué)分與總學(xué)時：4學(xué)分/72學(xué)時,3學(xué)分/54學(xué)時（18周）五、期末成績考核：平時成績（10~40%）+期末試卷成績（60~90%）基本概念及基本分析方法

學(xué)習(xí)目的一掌握基本概念及分析方法二培養(yǎng)邏輯分析能力主要問題：

一基本信號及其響應(yīng)二信號的分解三線性時不變（LinearTime-Invariant）LTI系統(tǒng)

LTI系統(tǒng)的描述及分析方法目錄第一章信號系統(tǒng)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析第三章離散系統(tǒng)的時域分析第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域第五章連續(xù)系統(tǒng)的S域分析第六章離散系統(tǒng)的Z域分析第七章系統(tǒng)函數(shù)第八章系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析先連續(xù)，后離散本章主要內(nèi)容1.1緒言一、信號的概念二、系統(tǒng)的概念1.2信號的描述與分類一、信號的描述二、信號的分類1.3信號的基本運算一、加法和乘法二、時間變換第一章信號與系統(tǒng)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)一、階躍和沖激函數(shù)的概念二、沖激函數(shù)的性質(zhì)1.5系統(tǒng)的描述一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二、系統(tǒng)的框圖表示1.6系統(tǒng)的特性和分析方法一、系統(tǒng)的特性二、LTI系統(tǒng)分析方法概述理解沖激信號的特性第一章信號與系統(tǒng)認(rèn)識本課程領(lǐng)域的一些名詞、術(shù)語

學(xué)習(xí)信號運算規(guī)律、熟悉表達式與波形的對應(yīng)關(guān)系了解本課程研究范圍、學(xué)習(xí)目標(biāo)

初步了解本課程用到的主要方法和手段學(xué)習(xí)的主要要求：1.1緒論一、基本術(shù)語1.消息人們常常把來自外界的各種報道統(tǒng)稱為消息。2.信息（內(nèi)容）代表知識狀態(tài)的改變通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。本課程中對“信息”和“消息”兩詞不加嚴(yán)格區(qū)分。信號是信息的載體，通過信號傳遞信息。如鈴聲表示該上課了—聲信號；十字路口的紅綠燈指揮交通—光信號；電視機天線接受的電視信息—電信號；廣告牌上的文字-圖象信號等等。為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號。信號理論：信號分析，信號傳輸，信號處理1.信號分析：主要討論信號的表示及其性質(zhì)。3.信號（形式）為傳送消息而裝設(shè)的全套技術(shù)設(shè)備（包括傳輸信道）。發(fā)送設(shè)備信息源發(fā)送端接收端消息信號信號消息信宿信道接收設(shè)備噪聲源2.信號傳輸對信號進行某種加工或變換。目的：消除信號中的多余內(nèi)容；濾除混雜的噪聲和干擾；將信號變換成容易分析與識別的形式，便于估計和選擇它的特征參量。信號處理的應(yīng)用已遍及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。3.信號處理系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。如：控制、通信、電系統(tǒng)（狹義）系統(tǒng)是信號產(chǎn)生，傳輸和處理所需要的物理裝置。

如手機、電視機、通信網(wǎng)、計算機網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號。4.

系統(tǒng)的概念5.信號與系統(tǒng)理論1.信號理論：分析—傳輸—處理2.系統(tǒng)理論：（1）系統(tǒng)分析：給定系統(tǒng)，研究在輸入信號的作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)。（2）系統(tǒng)綜合：按某種需要提出對于給定激勵的響應(yīng)，據(jù)此要求設(shè)計系統(tǒng)。

信號的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。信號在系統(tǒng)中按照一定規(guī)律變化的；系統(tǒng)是在輸入信號的驅(qū)動下進行工作的進行加工和處理，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號。系統(tǒng)的基本作用是對信號進行傳輸和處理。一、信號的描述信號是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時間或位置變化的物理量。信號按物理屬性分：電信號和非電信號。它們可以相互轉(zhuǎn)換。電信號容易產(chǎn)生，便于控制，易于處理。

本課程討論電信號---簡稱“信號”。電信號的基本形式：隨時間變化的電壓或電流。描述信號的常用方法：（1）表示為時間的函數(shù)（或序列）（2）信號的圖形表示--波形“信號”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。1.2信號信號的描述典型示例描述信號的基本方法----數(shù)學(xué)表示數(shù)學(xué)表達式:時域（時間的函數(shù)）f(t)；頻域(角頻率的函數(shù)）F(ω)；復(fù)頻域F(s)s=σ+jω；Z域F(z)z=est波形圖頻譜圖

二、信號的分類1.確定信號和隨機信號可以用確定時間函數(shù)表示的信號，稱為確定信號或規(guī)則信號。如正弦信號。若信號不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時刻的取值都具有不確定性，（事先有不可預(yù)知性）只可能知道它的統(tǒng)計特性，如在某時刻取某一數(shù)值的概率，這類信號稱為隨機信號或不確定信號。如電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號。研究確定信號是研究隨機信號的基礎(chǔ)。本課程只討論確定信號。確定信號與隨機信號波形

在連續(xù)的時間范圍內(nèi)(-∞<t<∞）有定義的信號稱為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。這里的“連續(xù)”指函數(shù)的定義域—時間是連續(xù)的，但可含間斷點，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。2.連續(xù)信號和離散信號根據(jù)信號定義域的特點可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。1連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號注：時間和幅值都為連續(xù)的信號稱為模擬信號。單位階躍信號通常以符號ε(t)表示

在跳變點t=0處不連續(xù),對于間斷點處的信號值一般不作定義,這樣做不會影響分析結(jié)果。如有必要也可定義信號f(t)在間斷點t0處的信號值等于其左極限f(t0-)與右極限f(t0+)的算術(shù)平均值即在t=0處規(guī)定函數(shù)ε(0)=1/2。

1t02離散時間信號僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。這里的“離散”指信號的定義域--時間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余無定義。如右圖的f(t)僅在一些離散時刻tk(k=0,±1,±2,…)才有定義，其余時間無定義。注：相鄰離散點的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號可表示為f(kT)，簡寫為f(k)，這種等間隔的離散信號也常稱為序列。其中k稱為序號。離散信號注：時間和幅值都離散的信號為-數(shù)字信號上述離散信號可簡畫為用表達式可寫為或?qū)憺閒(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}通常將對應(yīng)某序號m的序列值稱為第m個樣點的“樣值”。模擬信號、抽樣信號、數(shù)字信號（A/D）數(shù)字信號：模擬信號：抽樣信號：量化抽樣連續(xù)信號幅值時間均連續(xù)時間幅值離散連續(xù)時間幅值均離散離散信號模擬信號數(shù)字信號3.周期信號和非周期信號周期信號是定義在(-∞，∞)區(qū)間，每隔一定時間T(或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。連續(xù)周期信號f(t)滿足f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…離散周期信號f(k)滿足f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號的周期。不具有周期性的信號稱為非周期信號。周期信號三種非周期信號f(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…正弦序列f(k)=sin(βk)是周期信號的條件式中β稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見：當(dāng)2π/β為整數(shù)時，正弦序列周期N=2π/β。當(dāng)2π/β為有理數(shù)時，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N=M(2π/β)，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當(dāng)2π/β為無理數(shù)時，正弦序列為非周期序列。P51.2-1f(k)=f(k+mN)解（1）sin(2k)的數(shù)字角頻率為β1=2rad；由于2π/β1=π為無理數(shù)，故f2(k)=sin(2k)為非周期序列。（2）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的數(shù)字角頻率分別為β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4為有理數(shù)，故它們的周期分別為N1=8，N2=4，故f1(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。例1判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f2(k)=sin(2k)

（2）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)解：兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2π。

（2）

cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號。例2

判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt由上面幾例可看出：①連續(xù)正弦信號一定是周期信號而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。練習(xí)P33-1.5總結(jié)和函數(shù)（序列）判斷周期1.求分函數(shù)周期2.周期比值有理式---取最小公倍數(shù)無理式---非周期4．能量信號與功率信號將信號f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時功率為|f(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（1）信號的能量（2）信號的平均功率若信號f(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號，簡稱能量信號。此時P=0若信號f(t)的功率有界，即P<∞,則稱其為功率有限信號，簡稱功率信號。此時E=∞相應(yīng)地，對于離散信號，也有能量信號、功率信號之分?？偨Y(jié)：時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的信號)為能量信號;周期信號屬于功率信號，非周期信號可能是能量信號，也可能是功率信號。有些信號既不是屬于能量信號也不屬于功率信號，如

f(t)=e-t。（一）正弦信號（正弦、余弦）K:振幅ω：角頻率ω==2πfθ：初相位借助復(fù)指數(shù)信號,由歐拉公式

重要特性：正弦信號對時間t的微分與積分是同頻率的正弦波1.實信號：物理可實現(xiàn)信號，函數(shù)（序列）值為實數(shù)，如正弦信號或單邊指數(shù)信號等。5．實信號與復(fù)信號（二）指數(shù)信號重要特性：其對時間的連續(xù)微分和積分仍然是指數(shù)形式。表示信號衰減速率，

越大，信號衰減的越快稱為指數(shù)信號的時間常數(shù)，l

指數(shù)衰減,隨t衰減l

直流(常數(shù))Ol

指數(shù)增長，隨t增長K單邊指數(shù)信號---衰減----f（t)*ε(t)

ε(t)具有很好的接入性質(zhì)，表現(xiàn)單邊特性單邊指數(shù)信號越大衰減的越慢（三）抽樣信號(SamplingSignal)性質(zhì)①②③④

討論①不能產(chǎn)生②用來描述各種信號③信號分析及運算簡化ejωt=cos(ωt)+jsin(ω)=實部+虛部=正弦分量+余弦分量2.復(fù)信號

函數(shù)（序列）值為復(fù)數(shù)的信號，如復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號(指數(shù)信號的指數(shù)因子為一復(fù)數(shù))重要特性：可利用它描述各種基本信號6．因果信號與反因果信號將t=0時接入系統(tǒng)的信號g(t)[即在t<0，g(t)=0]稱為因果信號或有始信號。典型的例子階躍信號而將t≥0，g(t)=0的信號稱為反因果信號。以參考點為界

從數(shù)學(xué)表達式來看，信號可以表示為一個或多個變量的函數(shù)，稱為一維或多維函數(shù)。例：（語音信號，1維信號）（黑白圖像，2維信號）（視頻，3維信號）

語音信號為聲壓隨時間變化的函數(shù)，一維信號。黑白圖像每個點(像素)具有不同的光強度，任一點又是二維平面坐標(biāo)中兩個變量的函數(shù)是二維信號。本課程只研究一維信號，且自變量多為時間。7．一維信號與多維信號1.3信號的基本運算一、信號的＋、－、×運算兩信號f1(·)和f2(·)的相+、－、×指同一時刻兩信號之值對應(yīng)相加減乘。信號的加法運算，如電視廣播的調(diào)音臺，多路信號混合信號的乘法運算，如調(diào)制信號，AM收音機載波調(diào)制信號的加法和乘法同一瞬時兩信號對應(yīng)值相加（相乘）。二、信號的時間變換運算1.反轉(zhuǎn)將f(t)→f(–t)，f(k)→f(–k)稱為對信號f(·)的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如2.平移將f(t)→f(t–t0)，f(k)→f(t–k0)稱為對信號f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，則將f(·)右移；否則左移。如平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合已知f(t)如下圖所示，請畫出f(2-t)①先平移f(t)→f(t+2),法一：先平移，再反轉(zhuǎn)②再反轉(zhuǎn)f(t+2)→f(–t+2)法二：先反轉(zhuǎn)，后平移①先反轉(zhuǎn)f(t)→f(–t)②再平移f(–t)→f(–t+2)=f[–(t–2)]實際中雷達測距通過雷達接收到的目標(biāo)回波信號（延遲時間t）和發(fā)射的信號來計算目標(biāo)和雷達的距離f(t)→f(2-t)3.尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）將f(t)→f(at)，稱為對信號f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0<a<1，則展開。如信號的尺度變換在實際生活中的例子注：對于離散信號，由于f(ak)僅在為ak為整數(shù)時才有意義，進行尺度變換時可能會使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。例：P11-圖1.3-5如果f(t)已經(jīng)錄制好的聲音信號，f(-t)倒轉(zhuǎn)播放f(2t)快放f(1/2t)慢放三種運算的次序可任意。但一定要注意始終對時間t進行。例：已知f(t)，畫出f(–4–2t)。平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)（一個自變量對應(yīng)一個因變量），稱為奇異函數(shù)（不滿足普通函數(shù)的對應(yīng)的要求），反映某些物理量在空間或坐標(biāo)軸上集中一點的物理現(xiàn)象一、奇異函數(shù)（或奇異信號)：函數(shù)本身有不連續(xù)點(跳變點)或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點的一類函數(shù)。

斜坡（升）信號單位階躍信號符號函數(shù)門函數(shù)單位沖激沖激偶信號

1單位斜坡（升）信號

從某一時刻開始隨時間正比例增長的信號，如變化率為1，則為單位斜變信號。其表達式為：0t0

t0+1t01tr(t)r(t-t0)研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)的理論。首先直觀地引出幾類奇異函數(shù)11切平的斜變?nèi)切弊?<t<t0

f(t)=Kt/t0t>t0

f(t)=K0<t<t0

f(t)=Kt/t0t>t0

f(t)=00t0tkkt0t02階躍函數(shù)下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)。選定一個函數(shù)序列γn(t)如圖所示電路如圖：持續(xù)下去。定義波形圖如上圖：注意：在t=0處，發(fā)生跳變,未定義或1/2。單位階躍函數(shù)且無限延遲單位階躍信號用階躍表示矩形脈沖g(t)g(t-t0)t0問：如何用階躍函數(shù)表示如下信號階躍函數(shù)性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用階躍函數(shù)表示信號的作用區(qū)間（3）積分（4）信號加窗或取單邊f(xié)(t)t0t03門函數(shù)下圖所示矩形脈沖g(t)常稱為門函數(shù)。g(t)1-/2/20t特點:寬度為，幅度為1利用移位階躍函數(shù)，門函數(shù)可表示為：4符號函數(shù)

sgn(0)無意義或為0

可用階躍表示Sgn(t)t01-15沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)是個奇異函數(shù)，它是對強度極大，作用時間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由狄拉克最早提出）可采用下列直觀定義：對γn(t)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn(t)定義單位沖擊函數(shù)：高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對稱窄脈沖。求導(dǎo)沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點的導(dǎo)數(shù)也存在。如f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)δ(t)與ε(t)的關(guān)系求導(dǎo)積分6沖激偶信號對沖激信號δ(t)求時間導(dǎo)數(shù)，得到一個新的奇異信號，即沖激偶信號，其表示式為

見書p14，圖1.4-30奇函數(shù)，（定義域）xyfφ(t)N[g(t),(t)]N[g(t),*)]廣義函數(shù)一維實數(shù)空間推廣函數(shù)集----------------------------函數(shù)空間檢驗函數(shù)空間普通函數(shù)y=f(x)看成是對定義域中的每個自變量x，按一定的運算規(guī)則f生成一個因變量y的過程廣義函數(shù)g(t)是對檢驗函數(shù)集{φ(t)}中的每個函數(shù)φ(t)，按一定運算規(guī)則N分配一個數(shù)值N[g(t),(t)]］二、廣義函數(shù)注：上式，是一個作用的形式，當(dāng)g(t)是可積函數(shù)可看成是積分一個廣義函數(shù)g(t)作用在(t)，得到一個數(shù)值N[g(t),(t)]或者Ng[(t)]廣義函數(shù)定義函數(shù)空間y=sinx函數(shù)值確定不了滿足上式中的檢驗函數(shù)φ(t)是連續(xù)的，是具有任意階導(dǎo)數(shù)，且本身及其各階導(dǎo)數(shù)在無限遠(yuǎn)處的急劇下降的普通函數(shù)

檢驗函數(shù)空間---------急降函數(shù)空間（φ）

廣義函數(shù)為-----------緩增廣義函數(shù)（φ’）表1.1廣義函數(shù)與普通函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系廣義函數(shù)的基本運算包括：（1）相等若則定義（2）相加若沖激函數(shù)的廣義定義

作為常規(guī)函數(shù)，在間斷點處的導(dǎo)數(shù)是不存在的。除間斷點外，自變量t在定義域內(nèi)取某值時，函數(shù)有確定的值。單位階躍信號ε(t)在間斷點處的導(dǎo)數(shù)是單位沖激信號，δ函數(shù)在其惟一不等于零的點t=0處的函數(shù)值為無限大。顯然，這些結(jié)論是與常規(guī)函數(shù)的定義相違背的,故對這類函數(shù)的定義和運算都不能按通常的意義去理解。人們將這類非常規(guī)函數(shù)稱為奇異函數(shù)或廣義函數(shù)。1.沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義移位篩選性能從檢驗函數(shù)中篩選出函數(shù)值的廣義函數(shù)叫做沖激函數(shù)沖激函數(shù)作用于檢驗函數(shù)的效果是給他賦予t00t廣義極限n∞(,),

同樣的，雙邊指數(shù)信號、鐘形信號、Sa(t)信號取極限定義單位沖激函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)的極限鐘形信號的極限抽樣信號的極限2.廣義函數(shù)定義階躍函數(shù)廣義極限三、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分δ’(t)也稱沖激偶定義：移位證明P17（分布積分）1.沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義：例題??推廣2.階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

r(t)=t(t),斜升（斜坡）函數(shù)01tr(t)1積分

帶有突變的信號可用階躍函數(shù)表示，其導(dǎo)數(shù)必能引起沖激函數(shù)

任意信號x(t)的求導(dǎo)：

分段連續(xù)部分：普通意義上的導(dǎo)數(shù)跳變點：強度為跳變幅度的沖激函數(shù)帶有跳變的信號的導(dǎo)數(shù)

沖激函數(shù)的性質(zhì)

取樣性

沖擊偶

尺度變換奇偶性

復(fù)合函數(shù)形式的沖擊函數(shù)1.與普通函數(shù)f(t)的乘積——取樣性質(zhì)（圖）若f(t)在t=0、t=a處存在，則式1.4-23式1.4-24？

2.沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（沖激偶）

f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)證明：[f(t)δ(t)]’=f(t)δ’(t)+f’(t)δ(t)f(t)δ’(t)=[f(t)δ(t)]’–f’(t)δ(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)δ’(t)的定義：δ(n)(t)的定義：式1.4-25

3.δ(t)的尺度變換設(shè)有常數(shù)a（a≠0）證明見教材P21,變量替換推論:(1)例δ(2t)=0.5δ(t)當(dāng)a=–1時，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時，δn(–t)=δn(t)為t偶函數(shù)，

當(dāng)n為奇數(shù)時δn(–t)=–δn(t)為t奇函數(shù)

4.奇偶性已知f(t)，畫出g(t)=f’(t)和g(2t)求導(dǎo)，得g(t)壓縮，得g(2t)4.復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)δ[f(t)]實際中有時會遇到形如δ[f(t)]的沖激函數(shù)，其中f(t)是普通函數(shù)。并且f(t)=0有n個互不相等的實根ti

(i=1，2，…，n)ε[f(t)]圖示說明：例f(t)=t2–4ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)一般地，這表明，δ[f(t)]是位于各ti處，強度為的n個沖激函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]無意義?！?.5系統(tǒng)的描述系統(tǒng)分類：按數(shù)學(xué)模型的不同,系統(tǒng)可分為:即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng);連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng);線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng);時變系統(tǒng)與時不變(非時變)系統(tǒng)等等.

1.即時系統(tǒng)：在任意時刻的響應(yīng)(輸出信號)僅決定與該時刻的激勵(輸入信號),而與它過去的歷史狀況無關(guān)的系統(tǒng)（電阻串并聯(lián)）2.動態(tài)系統(tǒng)：系統(tǒng)在任意時刻的響應(yīng)不僅與該時刻的激勵有關(guān)而且與它過去的歷史狀況有關(guān)的系統(tǒng)（有記憶元件(電容、電感等的電路）3.連續(xù)(時間)系統(tǒng)：系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)均為連續(xù)信號；4.離散(時間)系統(tǒng)：系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)均為離散信號；連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)常組合使用,可稱為混合系統(tǒng)1、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型:系統(tǒng)基本特性的數(shù)學(xué)抽象,是以數(shù)學(xué)表達式來表征系統(tǒng)的特性.

描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程,

而描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。系統(tǒng)的描述?系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

?系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)分析的基本思想：1.根據(jù)工程實際應(yīng)用，對系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。

通常表現(xiàn)為描述輸入－輸出關(guān)系的方程。2.建立求解這些數(shù)學(xué)模型的方法。1.連續(xù)系統(tǒng)的解析描述

圖示RLC電路，以uS(t)作激勵，以uC(t)作為響應(yīng)，由KVL和VAR列方程，并整理得二階常系數(shù)線性微分方程抽去具有的物理含義，微分方程寫成解：根據(jù)KVL有2.離散系統(tǒng)的解析描述y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即：y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若設(shè)開始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項與輸入序列項構(gòu)成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為β元/月，求第k個月初存折上的款數(shù)。設(shè)第k個月初的款數(shù)為y(k),這個月初的存款為f(k),上個月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為βy(k-1),則2.系統(tǒng)的框圖表示

連續(xù)系統(tǒng)的基本單元離散系統(tǒng)的基本單元系統(tǒng)模擬系統(tǒng)的模型（微分方程、差分方程）：微分差分運算包含表示單元符號并連接成系統(tǒng)加法乘法用一些理想部件符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運算關(guān)系畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。1.連續(xù)系統(tǒng)的基本單元延時器加法器積分器數(shù)乘器乘法器注意：沒有微分器？實際：用積分單元代替積分器的抗干擾特性比微分器的好。2.離散系統(tǒng)的基本單元加法器遲延單元數(shù)乘器3.系統(tǒng)模擬實際系統(tǒng)→方程→模擬框圖例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫框圖。解：將方程寫為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)→實驗室實現(xiàn)→指導(dǎo)實際系統(tǒng)設(shè)計已知方程畫框圖例二（見書p25）已知某連續(xù)系統(tǒng)如下圖所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。x(t)x’(t)x’’(t)a0b2解：圖中有兩個積分器，因而系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。設(shè)右端積分器的輸出為x(t)，那么各積分器的輸入分別是x’(t),x’’(t)。左方加法器的輸出為y(t)++++f(t)--a1b1b0已知框圖寫方程為了得到系統(tǒng)的微分方程，要消去x(t)及其導(dǎo)數(shù)。右方加法器的輸出為以上三式相加并整理得：左方加法器的輸出y(t)++++f(t)--x(t)x’(t)x’’(t)a0a1b2b1b0解：設(shè)輔助變量x(t)如圖所示。由左端加法器得例：已知框圖如下圖所示，寫出系統(tǒng)的微分方程。

x(t)

x’(t)

x’’(t)y(t)+++f(t)--3245由（2）式可知，響應(yīng)y(t)是x(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，因而以y(t)為未知變量的微分方程左端的系數(shù)應(yīng)與式（1）相同。由（2）式得由右端加法器得y(t)+++f(t)--3245由左端加法器得例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。左邊加法器：x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)右邊加法器：y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去中間變量x(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)2y(k-1)=8x(k-2)+10x(k-3)3y(k-2)=12x(k-3)+15x(k-4)得y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)解：設(shè)輔助變量x(k)如圖根據(jù)框圖求系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟：(1)選中間變量x(·)。對于連續(xù)系統(tǒng),設(shè)其最右端積分器的輸出x(t);對于離散系統(tǒng)，設(shè)其最左端延遲單元的輸入為x(k)；（2）寫出各加法器輸出信號的方程；（3）消去中間變量x(·)1.6系統(tǒng)的特性和分析方法連續(xù)的或離散的系統(tǒng)可分為：1、線性的和非線性的；2、時變的和時不變的；3、因果的和非因果的；4、穩(wěn)定的和非穩(wěn)定的。本書主要討論線性時不變系統(tǒng)

y(t):系統(tǒng)的響應(yīng)、f(t):系統(tǒng)的激勵線性性質(zhì)包括齊次性和可加性可加性：齊次性：f(·)→y(·)

y(·)

=T[f(·)]f(·)→y(·)

af(·)→a

y(·)

f1(·)→y1(·)

f2(·)→y2(·)

f1(·)+f2(·)→y1(·)+y2(·)

af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)

綜合，線性性質(zhì)：1線性系統(tǒng)：滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)1）線性性質(zhì)直觀判斷系統(tǒng)方法

方程中輸入輸出項都為一次項2）線性系統(tǒng)的條件⑴

動態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)不僅與激勵{f

(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān),初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵”可分解性零狀態(tài)線性完全響應(yīng)為：y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]零輸入響應(yīng)：yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]，零狀態(tài)響應(yīng)：yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]零輸入線性⑵動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，要滿足下面3個條件：當(dāng)初始狀態(tài)x(0)=0時，零狀態(tài)響應(yīng)滿足線性齊次和疊加，若x(0)不為零則要將外加激勵和初始狀態(tài)的作用分開討論。

當(dāng)動態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個條件時該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：①可分解性：

y(·)=yzs(·)+yzi(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]②零狀態(tài)線性：T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}](齊次性)T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}](可加性)或T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(·)},{0}]+bT[{f2(·)},{0}]T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}](齊次性)T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}](可加性)或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]注：三個條件缺一不可③零輸入線性：判斷線性系統(tǒng)舉例解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1顯然，y(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不滿足可分解性，故為非線性。（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)滿足可分解性；由于T[{af(t)},{0}]=|af(t)|≠ayzs(t)=a|f(t)|不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t)

yzs(t)=2f(t),yzi(t)=x2(0)，顯然滿足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2

≠ayzi(t)=a[x(0)]2

不滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。（3）

y(t)=x2(0)+2f(t)例2--1.23（1）：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：y

(t)=yzi(t)+yzs(t)，滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。2時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)滿足時不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。（1）時不變性質(zhì)若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時間，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時間，即若T[{0}，f(t)]=yzs(t)則有T[{0}，f(t-td)]=yzs(t-td)系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時不變性或(移位不變性）時不變系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化，零狀態(tài)響應(yīng)形式與激勵接入時間無關(guān)解(1)令g(k)=f(k–kd)T[{0}，g(k)]=g(k)g(k–1)=f(k–kd)f(k–kd–1)而yzs(k–kd)=f(k–kd)f(k–kd–1)

顯然T[{0}，f(k–kd)]=y

(k–kd)故該系統(tǒng)是時不變的.(2)令g(t)=f(t–td)T[{0}，g(t)]=tg(t)=tf(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠y(t–td)故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。例：判斷下列系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)？（1）y

(k)=f(k)f(k–1)（2）y

(t)=tf(t)（3）y(t)=f(–t)即若T[{0}，f(t)]=yzs(t)則有T[{0}，f(t-td)]=yzs(t-td)令g(t)=f(t–td),T[{0}，g(t)]=f(–t–td)而y

zs(t–td)=f[–(t–td)]，顯然T[{0}，f(t–td)]≠y(t–td)故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。直觀判斷方法：若f(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。（3）y(t)=f(–t)即若T[{0}，f(t)]=yzs(t)則有T[{0}，f(t-td)]=yzs(t-td)例：下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時不變？并寫出方程的階數(shù)。（1）y(k)+(k–1)y(k–1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k–1)=f2(k)判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項，則是線性的。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無反轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時不變的。一階，線性、時變二階，非線性、時不變練習(xí)：P38-1.24（2）LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性①微分特性：若f(t)→yzs(t)，則f’(t)→y’zs(