第一章信號(hào)與系統(tǒng)

信號(hào)與線性系統(tǒng)分析

--第四版吳大正主編課程介紹一、課程名稱：信號(hào)與系統(tǒng)

教材：

《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》吳大正等編.北京：高等教育出版社，第4版參考書(shū)：

[1]《信號(hào)與系統(tǒng)》（第二版）鄭君里等編.高等教育出版社[2]《信號(hào)與系統(tǒng)》（第二版）陳生譚等編.西安電子科技大學(xué)出版社二、課程性質(zhì)：專業(yè)必修課,專業(yè)選修課，（信息，通信，電子，控制）三、先修課程：高等數(shù)學(xué)、電路分析、復(fù)變函數(shù)四、課程學(xué)分與總學(xué)時(shí)：4學(xué)分/72學(xué)時(shí),3學(xué)分/54學(xué)時(shí)（18周）五、期末成績(jī)考核：平時(shí)成績(jī)（10~40%）+期末試卷成績(jī)（60~90%）基本概念及基本分析方法

學(xué)習(xí)目的一掌握基本概念及分析方法二培養(yǎng)邏輯分析能力主要問(wèn)題：

一基本信號(hào)及其響應(yīng)二信號(hào)的分解三線性時(shí)不變（LinearTime-Invariant）LTI系統(tǒng)

LTI系統(tǒng)的描述及分析方法目錄第一章信號(hào)系統(tǒng)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域第五章連續(xù)系統(tǒng)的S域分析第六章離散系統(tǒng)的Z域分析第七章系統(tǒng)函數(shù)第八章系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析先連續(xù)，后離散本章主要內(nèi)容1.1緒言一、信號(hào)的概念二、系統(tǒng)的概念1.2信號(hào)的描述與分類一、信號(hào)的描述二、信號(hào)的分類1.3信號(hào)的基本運(yùn)算一、加法和乘法二、時(shí)間變換第一章信號(hào)與系統(tǒng)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)一、階躍和沖激函數(shù)的概念二、沖激函數(shù)的性質(zhì)1.5系統(tǒng)的描述一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二、系統(tǒng)的框圖表示1.6系統(tǒng)的特性和分析方法一、系統(tǒng)的特性二、LTI系統(tǒng)分析方法概述理解沖激信號(hào)的特性第一章信號(hào)與系統(tǒng)認(rèn)識(shí)本課程領(lǐng)域的一些名詞、術(shù)語(yǔ)

學(xué)習(xí)信號(hào)運(yùn)算規(guī)律、熟悉表達(dá)式與波形的對(duì)應(yīng)關(guān)系了解本課程研究范圍、學(xué)習(xí)目標(biāo)

初步了解本課程用到的主要方法和手段學(xué)習(xí)的主要要求：1.1緒論一、基本術(shù)語(yǔ)1.消息人們常常把來(lái)自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱為消息。2.信息（內(nèi)容）代表知識(shí)狀態(tài)的改變通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。本課程中對(duì)“信息”和“消息”兩詞不加嚴(yán)格區(qū)分。信號(hào)是信息的載體，通過(guò)信號(hào)傳遞信息。如鈴聲表示該上課了—聲信號(hào)；十字路口的紅綠燈指揮交通—光信號(hào)；電視機(jī)天線接受的電視信息—電信號(hào)；廣告牌上的文字-圖象信號(hào)等等。為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號(hào)。信號(hào)理論：信號(hào)分析，信號(hào)傳輸，信號(hào)處理1.信號(hào)分析：主要討論信號(hào)的表示及其性質(zhì)。3.信號(hào)（形式）為傳送消息而裝設(shè)的全套技術(shù)設(shè)備（包括傳輸信道）。發(fā)送設(shè)備信息源發(fā)送端接收端消息信號(hào)信號(hào)消息信宿信道接收設(shè)備噪聲源2.信號(hào)傳輸對(duì)信號(hào)進(jìn)行某種加工或變換。目的：消除信號(hào)中的多余內(nèi)容；濾除混雜的噪聲和干擾；將信號(hào)變換成容易分析與識(shí)別的形式，便于估計(jì)和選擇它的特征參量。信號(hào)處理的應(yīng)用已遍及許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。3.信號(hào)處理系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。如：控制、通信、電系統(tǒng)（狹義）系統(tǒng)是信號(hào)產(chǎn)生，傳輸和處理所需要的物理裝置。

如手機(jī)、電視機(jī)、通信網(wǎng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語(yǔ)音、音樂(lè)、圖象、文字等都可以看成信號(hào)。4.

系統(tǒng)的概念5.信號(hào)與系統(tǒng)理論1.信號(hào)理論：分析—傳輸—處理2.系統(tǒng)理論：（1）系統(tǒng)分析：給定系統(tǒng)，研究在輸入信號(hào)的作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)。（2）系統(tǒng)綜合：按某種需要提出對(duì)于給定激勵(lì)的響應(yīng)，據(jù)此要求設(shè)計(jì)系統(tǒng)。

信號(hào)的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。信號(hào)在系統(tǒng)中按照一定規(guī)律變化的；系統(tǒng)是在輸入信號(hào)的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行工作的進(jìn)行加工和處理，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號(hào)。系統(tǒng)的基本作用是對(duì)信號(hào)進(jìn)行傳輸和處理。一、信號(hào)的描述信號(hào)是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時(shí)間或位置變化的物理量。信號(hào)按物理屬性分：電信號(hào)和非電信號(hào)。它們可以相互轉(zhuǎn)換。電信號(hào)容易產(chǎn)生，便于控制，易于處理。

本課程討論電信號(hào)---簡(jiǎn)稱“信號(hào)”。電信號(hào)的基本形式：隨時(shí)間變化的電壓或電流。描述信號(hào)的常用方法：（1）表示為時(shí)間的函數(shù)（或序列）（2）信號(hào)的圖形表示--波形“信號(hào)”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。1.2信號(hào)信號(hào)的描述典型示例描述信號(hào)的基本方法----數(shù)學(xué)表示數(shù)學(xué)表達(dá)式:時(shí)域（時(shí)間的函數(shù)）f(t)；頻域(角頻率的函數(shù)）F(ω)；復(fù)頻域F(s)s=σ+jω；Z域F(z)z=est波形圖頻譜圖

二、信號(hào)的分類1.確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，稱為確定信號(hào)或規(guī)則信號(hào)。如正弦信號(hào)。若信號(hào)不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時(shí)刻的取值都具有不確定性，（事先有不可預(yù)知性）只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性，如在某時(shí)刻取某一數(shù)值的概率，這類信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)或不確定信號(hào)。如電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號(hào)。研究確定信號(hào)是研究隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ)。本課程只討論確定信號(hào)。確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)波形

在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi)(-∞<t<∞）有定義的信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱連續(xù)信號(hào)。這里的“連續(xù)”指函數(shù)的定義域—時(shí)間是連續(xù)的，但可含間斷點(diǎn)，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。2.連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)根據(jù)信號(hào)定義域的特點(diǎn)可分為連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)。1連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)注：時(shí)間和幅值都為連續(xù)的信號(hào)稱為模擬信號(hào)。單位階躍信號(hào)通常以符號(hào)ε(t)表示

在跳變點(diǎn)t=0處不連續(xù),對(duì)于間斷點(diǎn)處的信號(hào)值一般不作定義,這樣做不會(huì)影響分析結(jié)果。如有必要也可定義信號(hào)f(t)在間斷點(diǎn)t0處的信號(hào)值等于其左極限f(t0-)與右極限f(t0+)的算術(shù)平均值即在t=0處規(guī)定函數(shù)ε(0)=1/2。

1t02離散時(shí)間信號(hào)僅在一些離散的瞬間才有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱離散信號(hào)。這里的“離散”指信號(hào)的定義域--時(shí)間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余無(wú)定義。如右圖的f(t)僅在一些離散時(shí)刻tk(k=0,±1,±2,…)才有定義，其余時(shí)間無(wú)定義。注：相鄰離散點(diǎn)的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號(hào)可表示為f(kT)，簡(jiǎn)寫(xiě)為f(k)，這種等間隔的離散信號(hào)也常稱為序列。其中k稱為序號(hào)。離散信號(hào)注：時(shí)間和幅值都離散的信號(hào)為-數(shù)字信號(hào)上述離散信號(hào)可簡(jiǎn)畫(huà)為用表達(dá)式可寫(xiě)為或?qū)憺閒(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}通常將對(duì)應(yīng)某序號(hào)m的序列值稱為第m個(gè)樣點(diǎn)的“樣值”。模擬信號(hào)、抽樣信號(hào)、數(shù)字信號(hào)（A/D）數(shù)字信號(hào)：模擬信號(hào)：抽樣信號(hào)：量化抽樣連續(xù)信號(hào)幅值時(shí)間均連續(xù)時(shí)間幅值離散連續(xù)時(shí)間幅值均離散離散信號(hào)模擬信號(hào)數(shù)字信號(hào)3.周期信號(hào)和非周期信號(hào)周期信號(hào)是定義在(-∞，∞)區(qū)間，每隔一定時(shí)間T(或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿足f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…離散周期信號(hào)f(k)滿足f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號(hào)的周期。不具有周期性的信號(hào)稱為非周期信號(hào)。周期信號(hào)三種非周期信號(hào)f(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…正弦序列f(k)=sin(βk)是周期信號(hào)的條件式中β稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見(jiàn)：當(dāng)2π/β為整數(shù)時(shí)，正弦序列周期N=2π/β。當(dāng)2π/β為有理數(shù)時(shí)，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N=M(2π/β)，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當(dāng)2π/β為無(wú)理數(shù)時(shí)，正弦序列為非周期序列。P51.2-1f(k)=f(k+mN)解（1）sin(2k)的數(shù)字角頻率為β1=2rad；由于2π/β1=π為無(wú)理數(shù)，故f2(k)=sin(2k)為非周期序列。（2）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的數(shù)字角頻率分別為β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4為有理數(shù)，故它們的周期分別為N1=8，N2=4，故f1(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。例1判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f2(k)=sin(2k)

（2）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)解：兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T(mén)1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T(mén)1和T2的最小公倍數(shù)。（1）sin2t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號(hào)，其周期為T(mén)1和T2的最小公倍數(shù)2π。

（2）

cos2t和sinπt的周期分別為T(mén)1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無(wú)理數(shù)，故f2(t)為非周期信號(hào)。例2

判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt由上面幾例可看出：①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。練習(xí)P33-1.5總結(jié)和函數(shù)（序列）判斷周期1.求分函數(shù)周期2.周期比值有理式---取最小公倍數(shù)無(wú)理式---非周期4．能量信號(hào)與功率信號(hào)將信號(hào)f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時(shí)功率為|f(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（1）信號(hào)的能量（2）信號(hào)的平均功率若信號(hào)f(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。此時(shí)P=0若信號(hào)f(t)的功率有界，即P<∞,則稱其為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)。此時(shí)E=∞相應(yīng)地，對(duì)于離散信號(hào)，也有能量信號(hào)、功率信號(hào)之分?？偨Y(jié)：時(shí)限信號(hào)(僅在有限時(shí)間區(qū)間不為零的信號(hào))為能量信號(hào);周期信號(hào)屬于功率信號(hào)，非周期信號(hào)可能是能量信號(hào)，也可能是功率信號(hào)。有些信號(hào)既不是屬于能量信號(hào)也不屬于功率信號(hào)，如

f(t)=e-t。（一）正弦信號(hào)（正弦、余弦）K:振幅ω：角頻率ω==2πfθ：初相位借助復(fù)指數(shù)信號(hào),由歐拉公式

重要特性：正弦信號(hào)對(duì)時(shí)間t的微分與積分是同頻率的正弦波1.實(shí)信號(hào)：物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)，函數(shù)（序列）值為實(shí)數(shù)，如正弦信號(hào)或單邊指數(shù)信號(hào)等。5．實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)（二）指數(shù)信號(hào)重要特性：其對(duì)時(shí)間的連續(xù)微分和積分仍然是指數(shù)形式。表示信號(hào)衰減速率，

越大，信號(hào)衰減的越快稱為指數(shù)信號(hào)的時(shí)間常數(shù)，l

指數(shù)衰減,隨t衰減l

直流(常數(shù))Ol

指數(shù)增長(zhǎng)，隨t增長(zhǎng)K單邊指數(shù)信號(hào)---衰減----f（t)*ε(t)

ε(t)具有很好的接入性質(zhì)，表現(xiàn)單邊特性單邊指數(shù)信號(hào)越大衰減的越慢（三）抽樣信號(hào)(SamplingSignal)性質(zhì)①②③④

討論①不能產(chǎn)生②用來(lái)描述各種信號(hào)③信號(hào)分析及運(yùn)算簡(jiǎn)化ejωt=cos(ωt)+jsin(ω)=實(shí)部+虛部=正弦分量+余弦分量2.復(fù)信號(hào)

函數(shù)（序列）值為復(fù)數(shù)的信號(hào)，如復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào)(指數(shù)信號(hào)的指數(shù)因子為一復(fù)數(shù))重要特性：可利用它描述各種基本信號(hào)6．因果信號(hào)與反因果信號(hào)將t=0時(shí)接入系統(tǒng)的信號(hào)g(t)[即在t<0，g(t)=0]稱為因果信號(hào)或有始信號(hào)。典型的例子階躍信號(hào)而將t≥0，g(t)=0的信號(hào)稱為反因果信號(hào)。以參考點(diǎn)為界

從數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)看，信號(hào)可以表示為一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)，稱為一維或多維函數(shù)。例：（語(yǔ)音信號(hào)，1維信號(hào)）（黑白圖像，2維信號(hào)）（視頻，3維信號(hào)）

語(yǔ)音信號(hào)為聲壓隨時(shí)間變化的函數(shù)，一維信號(hào)。黑白圖像每個(gè)點(diǎn)(像素)具有不同的光強(qiáng)度，任一點(diǎn)又是二維平面坐標(biāo)中兩個(gè)變量的函數(shù)是二維信號(hào)。本課程只研究一維信號(hào)，且自變量多為時(shí)間。7．一維信號(hào)與多維信號(hào)1.3信號(hào)的基本運(yùn)算一、信號(hào)的＋、－、×運(yùn)算兩信號(hào)f1(·)和f2(·)的相+、－、×指同一時(shí)刻兩信號(hào)之值對(duì)應(yīng)相加減乘。信號(hào)的加法運(yùn)算，如電視廣播的調(diào)音臺(tái)，多路信號(hào)混合信號(hào)的乘法運(yùn)算，如調(diào)制信號(hào)，AM收音機(jī)載波調(diào)制信號(hào)的加法和乘法同一瞬時(shí)兩信號(hào)對(duì)應(yīng)值相加（相乘）。二、信號(hào)的時(shí)間變換運(yùn)算1.反轉(zhuǎn)將f(t)→f(–t)，f(k)→f(–k)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如2.平移將f(t)→f(t–t0)，f(k)→f(t–k0)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，則將f(·)右移；否則左移。如平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合已知f(t)如下圖所示，請(qǐng)畫(huà)出f(2-t)①先平移f(t)→f(t+2),法一：先平移，再反轉(zhuǎn)②再反轉(zhuǎn)f(t+2)→f(–t+2)法二：先反轉(zhuǎn)，后平移①先反轉(zhuǎn)f(t)→f(–t)②再平移f(–t)→f(–t+2)=f[–(t–2)]實(shí)際中雷達(dá)測(cè)距通過(guò)雷達(dá)接收到的目標(biāo)回波信號(hào)（延遲時(shí)間t）和發(fā)射的信號(hào)來(lái)計(jì)算目標(biāo)和雷達(dá)的距離f(t)→f(2-t)3.尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）將f(t)→f(at)，稱為對(duì)信號(hào)f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0<a<1，則展開(kāi)。如信號(hào)的尺度變換在實(shí)際生活中的例子注：對(duì)于離散信號(hào)，由于f(ak)僅在為ak為整數(shù)時(shí)才有意義，進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換。例：P11-圖1.3-5如果f(t)已經(jīng)錄制好的聲音信號(hào)，f(-t)倒轉(zhuǎn)播放f(2t)快放f(1/2t)慢放三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對(duì)時(shí)間t進(jìn)行。例：已知f(t)，畫(huà)出f(–4–2t)。平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)（一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)因變量），稱為奇異函數(shù)（不滿足普通函數(shù)的對(duì)應(yīng)的要求），反映某些物理量在空間或坐標(biāo)軸上集中一點(diǎn)的物理現(xiàn)象一、奇異函數(shù)（或奇異信號(hào))：函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)(跳變點(diǎn))或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)的一類函數(shù)。

斜坡（升）信號(hào)單位階躍信號(hào)符號(hào)函數(shù)門(mén)函數(shù)單位沖激沖激偶信號(hào)

1單位斜坡（升）信號(hào)

從某一時(shí)刻開(kāi)始隨時(shí)間正比例增長(zhǎng)的信號(hào)，如變化率為1，則為單位斜變信號(hào)。其表達(dá)式為：0t0

t0+1t01tr(t)r(t-t0)研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)的理論。首先直觀地引出幾類奇異函數(shù)11切平的斜變?nèi)切弊?<t<t0

f(t)=Kt/t0t>t0

f(t)=K0<t<t0

f(t)=Kt/t0t>t0

f(t)=00t0tkkt0t02階躍函數(shù)下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)。選定一個(gè)函數(shù)序列γn(t)如圖所示電路如圖：持續(xù)下去。定義波形圖如上圖：注意：在t=0處，發(fā)生跳變,未定義或1/2。單位階躍函數(shù)且無(wú)限延遲單位階躍信號(hào)用階躍表示矩形脈沖g(t)g(t-t0)t0問(wèn)：如何用階躍函數(shù)表示如下信號(hào)階躍函數(shù)性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號(hào)f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分（4）信號(hào)加窗或取單邊f(xié)(t)t0t03門(mén)函數(shù)下圖所示矩形脈沖g(t)常稱為門(mén)函數(shù)。g(t)1-/2/20t特點(diǎn):寬度為，幅度為1利用移位階躍函數(shù)，門(mén)函數(shù)可表示為：4符號(hào)函數(shù)

sgn(0)無(wú)意義或?yàn)?

可用階躍表示Sgn(t)t01-15沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由狄拉克最早提出）可采用下列直觀定義：對(duì)γn(t)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn(t)定義單位沖擊函數(shù)：高度無(wú)窮大，寬度無(wú)窮小，面積為1的對(duì)稱窄脈沖。求導(dǎo)沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系可見(jiàn)，引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在。如f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)δ(t)與ε(t)的關(guān)系求導(dǎo)積分6沖激偶信號(hào)對(duì)沖激信號(hào)δ(t)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到一個(gè)新的奇異信號(hào)，即沖激偶信號(hào)，其表示式為

見(jiàn)書(shū)p14，圖1.4-30奇函數(shù)，（定義域）xyfφ(t)N[g(t),(t)]N[g(t),*)]廣義函數(shù)一維實(shí)數(shù)空間推廣函數(shù)集----------------------------函數(shù)空間檢驗(yàn)函數(shù)空間普通函數(shù)y=f(x)看成是對(duì)定義域中的每個(gè)自變量x，按一定的運(yùn)算規(guī)則f生成一個(gè)因變量y的過(guò)程廣義函數(shù)g(t)是對(duì)檢驗(yàn)函數(shù)集{φ(t)}中的每個(gè)函數(shù)φ(t)，按一定運(yùn)算規(guī)則N分配一個(gè)數(shù)值N[g(t),(t)]］二、廣義函數(shù)注：上式，是一個(gè)作用的形式，當(dāng)g(t)是可積函數(shù)可看成是積分一個(gè)廣義函數(shù)g(t)作用在(t)，得到一個(gè)數(shù)值N[g(t),(t)]或者Ng[(t)]廣義函數(shù)定義函數(shù)空間y=sinx函數(shù)值確定不了滿足上式中的檢驗(yàn)函數(shù)φ(t)是連續(xù)的，是具有任意階導(dǎo)數(shù)，且本身及其各階導(dǎo)數(shù)在無(wú)限遠(yuǎn)處的急劇下降的普通函數(shù)

檢驗(yàn)函數(shù)空間---------急降函數(shù)空間（φ）

廣義函數(shù)為-----------緩增廣義函數(shù)（φ’）表1.1廣義函數(shù)與普通函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系廣義函數(shù)的基本運(yùn)算包括：（1）相等若則定義（2）相加若沖激函數(shù)的廣義定義

作為常規(guī)函數(shù)，在間斷點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是不存在的。除間斷點(diǎn)外，自變量t在定義域內(nèi)取某值時(shí)，函數(shù)有確定的值。單位階躍信號(hào)ε(t)在間斷點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是單位沖激信號(hào)，δ函數(shù)在其惟一不等于零的點(diǎn)t=0處的函數(shù)值為無(wú)限大。顯然，這些結(jié)論是與常規(guī)函數(shù)的定義相違背的,故對(duì)這類函數(shù)的定義和運(yùn)算都不能按通常的意義去理解。人們將這類非常規(guī)函數(shù)稱為奇異函數(shù)或廣義函數(shù)。1.沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義移位篩選性能從檢驗(yàn)函數(shù)中篩選出函數(shù)值的廣義函數(shù)叫做沖激函數(shù)沖激函數(shù)作用于檢驗(yàn)函數(shù)的效果是給他賦予t00t廣義極限n∞(,),

同樣的，雙邊指數(shù)信號(hào)、鐘形信號(hào)、Sa(t)信號(hào)取極限定義單位沖激函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)的極限鐘形信號(hào)的極限抽樣信號(hào)的極限2.廣義函數(shù)定義階躍函數(shù)廣義極限三、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分δ’(t)也稱沖激偶定義：移位證明P17（分布積分）1.沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義：例題??推廣2.階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

r(t)=t(t),斜升（斜坡）函數(shù)01tr(t)1積分

帶有突變的信號(hào)可用階躍函數(shù)表示，其導(dǎo)數(shù)必能引起沖激函數(shù)

任意信號(hào)x(t)的求導(dǎo)：

分段連續(xù)部分：普通意義上的導(dǎo)數(shù)跳變點(diǎn)：強(qiáng)度為跳變幅度的沖激函數(shù)帶有跳變的信號(hào)的導(dǎo)數(shù)

沖激函數(shù)的性質(zhì)

取樣性

沖擊偶

尺度變換奇偶性

復(fù)合函數(shù)形式的沖擊函數(shù)1.與普通函數(shù)f(t)的乘積——取樣性質(zhì)（圖）若f(t)在t=0、t=a處存在，則式1.4-23式1.4-24？

2.沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（沖激偶）

f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)證明：[f(t)δ(t)]’=f(t)δ’(t)+f’(t)δ(t)f(t)δ’(t)=[f(t)δ(t)]’–f’(t)δ(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)δ’(t)的定義：δ(n)(t)的定義：式1.4-25

3.δ(t)的尺度變換設(shè)有常數(shù)a（a≠0）證明見(jiàn)教材P21,變量替換推論:(1)例δ(2t)=0.5δ(t)當(dāng)a=–1時(shí)，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，δn(–t)=δn(t)為t偶函數(shù)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)δn(–t)=–δn(t)為t奇函數(shù)

4.奇偶性已知f(t)，畫(huà)出g(t)=f’(t)和g(2t)求導(dǎo)，得g(t)壓縮，得g(2t)4.復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)δ[f(t)]實(shí)際中有時(shí)會(huì)遇到形如δ[f(t)]的沖激函數(shù)，其中f(t)是普通函數(shù)。并且f(t)=0有n個(gè)互不相等的實(shí)根ti

(i=1，2，…，n)ε[f(t)]圖示說(shuō)明：例f(t)=t2–4ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)一般地，這表明，δ[f(t)]是位于各ti處，強(qiáng)度為的n個(gè)沖激函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]無(wú)意義?！?.5系統(tǒng)的描述系統(tǒng)分類：按數(shù)學(xué)模型的不同,系統(tǒng)可分為:即時(shí)系統(tǒng)與動(dòng)態(tài)系統(tǒng);連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng);線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng);時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變(非時(shí)變)系統(tǒng)等等.

1.即時(shí)系統(tǒng)：在任意時(shí)刻的響應(yīng)(輸出信號(hào))僅決定與該時(shí)刻的激勵(lì)(輸入信號(hào)),而與它過(guò)去的歷史狀況無(wú)關(guān)的系統(tǒng)（電阻串并聯(lián)）2.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：系統(tǒng)在任意時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)而且與它過(guò)去的歷史狀況有關(guān)的系統(tǒng)（有記憶元件(電容、電感等的電路）3.連續(xù)(時(shí)間)系統(tǒng)：系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)均為連續(xù)信號(hào)；4.離散(時(shí)間)系統(tǒng)：系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)均為離散信號(hào)；連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)常組合使用,可稱為混合系統(tǒng)1、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型:系統(tǒng)基本特性的數(shù)學(xué)抽象,是以數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表征系統(tǒng)的特性.

描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程,

而描述離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。系統(tǒng)的描述?系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

?系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)分析的基本思想：1.根據(jù)工程實(shí)際應(yīng)用，對(duì)系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。

通常表現(xiàn)為描述輸入－輸出關(guān)系的方程。2.建立求解這些數(shù)學(xué)模型的方法。1.連續(xù)系統(tǒng)的解析描述

圖示RLC電路，以u(píng)S(t)作激勵(lì)，以u(píng)C(t)作為響應(yīng)，由KVL和VAR列方程，并整理得二階常系數(shù)線性微分方程抽去具有的物理含義，微分方程寫(xiě)成解：根據(jù)KVL有2.離散系統(tǒng)的解析描述y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即：y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若設(shè)開(kāi)始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為β元/月，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月初的存款為f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為βy(k-1),則2.系統(tǒng)的框圖表示

連續(xù)系統(tǒng)的基本單元離散系統(tǒng)的基本單元系統(tǒng)模擬系統(tǒng)的模型（微分方程、差分方程）：微分差分運(yùn)算包含表示單元符號(hào)并連接成系統(tǒng)加法乘法用一些理想部件符號(hào)表示出來(lái)并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系畫(huà)出的圖稱為模擬框圖，簡(jiǎn)稱框圖。1.連續(xù)系統(tǒng)的基本單元延時(shí)器加法器積分器數(shù)乘器乘法器注意：沒(méi)有微分器？實(shí)際：用積分單元代替積分器的抗干擾特性比微分器的好。2.離散系統(tǒng)的基本單元加法器遲延單元數(shù)乘器3.系統(tǒng)模擬實(shí)際系統(tǒng)→方程→模擬框圖例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫(huà)框圖。解：將方程寫(xiě)為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)→實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)→指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)已知方程畫(huà)框圖例二（見(jiàn)書(shū)p25）已知某連續(xù)系統(tǒng)如下圖所示，寫(xiě)出該系統(tǒng)的微分方程。x(t)x’(t)x’’(t)a0b2解：圖中有兩個(gè)積分器，因而系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。設(shè)右端積分器的輸出為x(t)，那么各積分器的輸入分別是x’(t),x’’(t)。左方加法器的輸出為y(t)++++f(t)--a1b1b0已知框圖寫(xiě)方程為了得到系統(tǒng)的微分方程，要消去x(t)及其導(dǎo)數(shù)。右方加法器的輸出為以上三式相加并整理得：左方加法器的輸出y(t)++++f(t)--x(t)x’(t)x’’(t)a0a1b2b1b0解：設(shè)輔助變量x(t)如圖所示。由左端加法器得例：已知框圖如下圖所示，寫(xiě)出系統(tǒng)的微分方程。

x(t)

x’(t)

x’’(t)y(t)+++f(t)--3245由（2）式可知，響應(yīng)y(t)是x(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，因而以y(t)為未知變量的微分方程左端的系數(shù)應(yīng)與式（1）相同。由（2）式得由右端加法器得y(t)+++f(t)--3245由左端加法器得例：已知框圖，寫(xiě)出系統(tǒng)的差分方程。左邊加法器：x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)右邊加法器：y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去中間變量x(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)2y(k-1)=8x(k-2)+10x(k-3)3y(k-2)=12x(k-3)+15x(k-4)得y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)解：設(shè)輔助變量x(k)如圖根據(jù)框圖求系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟：(1)選中間變量x(·)。對(duì)于連續(xù)系統(tǒng),設(shè)其最右端積分器的輸出x(t);對(duì)于離散系統(tǒng)，設(shè)其最左端延遲單元的輸入為x(k)；（2）寫(xiě)出各加法器輸出信號(hào)的方程；（3）消去中間變量x(·)1.6系統(tǒng)的特性和分析方法連續(xù)的或離散的系統(tǒng)可分為：1、線性的和非線性的；2、時(shí)變的和時(shí)不變的；3、因果的和非因果的；4、穩(wěn)定的和非穩(wěn)定的。本書(shū)主要討論線性時(shí)不變系統(tǒng)

y(t):系統(tǒng)的響應(yīng)、f(t):系統(tǒng)的激勵(lì)線性性質(zhì)包括齊次性和可加性可加性：齊次性：f(·)→y(·)

y(·)

=T[f(·)]f(·)→y(·)

af(·)→a

y(·)

f1(·)→y1(·)

f2(·)→y2(·)

f1(·)+f2(·)→y1(·)+y2(·)

af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)

綜合，線性性質(zhì)：1線性系統(tǒng)：滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)1）線性性質(zhì)直觀判斷系統(tǒng)方法

方程中輸入輸出項(xiàng)都為一次項(xiàng)2）線性系統(tǒng)的條件⑴

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)不僅與激勵(lì){f

(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān),初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”可分解性零狀態(tài)線性完全響應(yīng)為：y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]零輸入響應(yīng)：yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]，零狀態(tài)響應(yīng)：yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]零輸入線性⑵動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，要滿足下面3個(gè)條件：當(dāng)初始狀態(tài)x(0)=0時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)滿足線性齊次和疊加，若x(0)不為零則要將外加激勵(lì)和初始狀態(tài)的作用分開(kāi)討論。

當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：①可分解性：

y(·)=yzs(·)+yzi(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]②零狀態(tài)線性：T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}](齊次性)T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}](可加性)或T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(·)},{0}]+bT[{f2(·)},{0}]T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}](齊次性)T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}](可加性)或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]注：三個(gè)條件缺一不可③零輸入線性：判斷線性系統(tǒng)舉例解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1顯然，y(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不滿足可分解性，故為非線性。（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)滿足可分解性；由于T[{af(t)},{0}]=|af(t)|≠ayzs(t)=a|f(t)|不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t)

yzs(t)=2f(t),yzi(t)=x2(0)，顯然滿足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2

≠ayzi(t)=a[x(0)]2

不滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。（3）

y(t)=x2(0)+2f(t)例2--1.23（1）：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：y

(t)=yzi(t)+yzs(t)，滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。2時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。（1）時(shí)不變性質(zhì)若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時(shí)間，即若T[{0}，f(t)]=yzs(t)則有T[{0}，f(t-td)]=yzs(t-td)系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時(shí)不變性或(移位不變性）時(shí)不變系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變化，零狀態(tài)響應(yīng)形式與激勵(lì)接入時(shí)間無(wú)關(guān)解(1)令g(k)=f(k–kd)T[{0}，g(k)]=g(k)g(k–1)=f(k–kd)f(k–kd–1)而yzs(k–kd)=f(k–kd)f(k–kd–1)

顯然T[{0}，f(k–kd)]=y

(k–kd)故該系統(tǒng)是時(shí)不變的.(2)令g(t)=f(t–td)T[{0}，g(t)]=tg(t)=tf(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠y(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）y

(k)=f(k)f(k–1)（2）y

(t)=tf(t)（3）y(t)=f(–t)即若T[{0}，f(t)]=yzs(t)則有T[{0}，f(t-td)]=yzs(t-td)令g(t)=f(t–td),T[{0}，g(t)]=f(–t–td)而y

zs(t–td)=f[–(t–td)]，顯然T[{0}，f(t–td)]≠y(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。直觀判斷方法：若f(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。（3）y(t)=f(–t)即若T[{0}，f(t)]=yzs(t)則有T[{0}，f(t-td)]=yzs(t-td)例：下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時(shí)不變？并寫(xiě)出方程的階數(shù)。（1）y(k)+(k–1)y(k–1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k–1)=f2(k)判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項(xiàng)，則是線性的。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無(wú)反轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時(shí)不變的。一階，線性、時(shí)變二階，非線性、時(shí)不變練習(xí)：P38-1.24（2）LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性①微分特性：若f(t)→yzs(t)，則f’(t)→y’zs(