第七章第一節(jié)抽樣推斷與抽樣分布

第七章抽樣與參數(shù)估計(jì)PowerPoint統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程樣本總體樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差第七章抽樣與參數(shù)估計(jì)第一節(jié)抽樣推斷與抽樣分布第二節(jié)參數(shù)估計(jì)與抽樣誤差第三節(jié)抽樣估計(jì)與推算第四節(jié)抽樣組織與設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解抽樣推斷和抽樣分布的基本概念理解抽樣分布與總體分布的關(guān)系了解點(diǎn)估計(jì)的概念和估計(jì)量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)掌握總體均值、總體比例和總體方差的區(qū)間估計(jì)第一節(jié)抽樣推斷與抽樣分布一、抽樣推斷的意義二、有關(guān)抽樣的基本概念三、抽樣分布一、抽樣推斷的意義隨機(jī)原則總體樣本總體參數(shù)統(tǒng)計(jì)量推斷估計(jì)參數(shù)估計(jì)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)抽樣分布一、抽樣推斷的意義（一）抽樣推斷的概念抽樣推斷是根據(jù)隨機(jī)原則從總體中抽取部分總體單位，以這一部分總體單位的實(shí)際數(shù)據(jù)推算總體相應(yīng)數(shù)量特征的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。隨機(jī)原則是指在抽樣調(diào)查中，使每一個(gè)單位被抽中的概率都相等且不等于0。

隨機(jī)抽樣的目的是使樣本與總體同分布。（二）抽樣推斷的特征是由部分推算整體的一種認(rèn)識(shí)方法；按隨機(jī)原則抽取樣本；運(yùn)用概率估計(jì)的方法；抽樣推斷的誤差可以事先計(jì)算并加以控制。（三）抽樣推斷的作用1、可以解決無(wú)法進(jìn)行全面調(diào)查或很難進(jìn)行全面調(diào)查的問(wèn)題。

例如，燈泡耐用時(shí)間試驗(yàn)，電視機(jī)抗震能力試驗(yàn)，罐頭食品的衛(wèi)生檢查，人體白血球數(shù)量的化驗(yàn)等等，都是有破壞性的，不可能進(jìn)行全面調(diào)查，只能使用抽樣調(diào)查。2、可以補(bǔ)充和修正全面調(diào)查數(shù)據(jù)。3、可以節(jié)省調(diào)查費(fèi)用和時(shí)間。（四）抽樣推斷的內(nèi)容1、隨機(jī)抽樣：

按隨即原則抽取部分單位組成樣本的過(guò)程。2、抽樣估計(jì)：

是通過(guò)以樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體某一未知數(shù)量特征進(jìn)行估計(jì)的一種統(tǒng)計(jì)分方法。3、假設(shè)檢驗(yàn)：是根據(jù)研究的目的和要求，先對(duì)總體某一未知的數(shù)量特征作某種假設(shè)，然后根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)這一假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，以判斷假設(shè)的真?zhèn)蔚囊环N統(tǒng)計(jì)分析方法。二、有關(guān)抽樣的基本概念（一）總體、個(gè)體和樣本（二）樣本容量和樣板個(gè)數(shù)（三）參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量（四）抽樣方法（一）總體、個(gè)體和樣本總體(Population)：它是指所要認(rèn)識(shí)的，具有某種共同性質(zhì)的許多單位的集合體，也就是研究對(duì)象的全體?？傮w單位數(shù)一般用“N”表示。個(gè)體(Itemunit)：組成總體的每個(gè)元素樣本(Sample)：從總體中所抽取的部分個(gè)體，樣本單位數(shù)一般用“n”表示。（二）樣本容量和樣本個(gè)數(shù)樣本容量(Samplesize)：樣本中所含個(gè)體的數(shù)量（所包含的單位數(shù)）。樣本個(gè)數(shù)樣本個(gè)數(shù)又稱(chēng)樣本可能數(shù)目，也就是從一個(gè)總體中可能抽取的樣本個(gè)數(shù)。

對(duì)于一次抽樣調(diào)查，總體是唯一確定的，而樣本卻是不確定的，一個(gè)全及總體可能抽出很多個(gè)樣本總體。（三）參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量參數(shù)

根據(jù)總體各單位的標(biāo)志值或標(biāo)志屬性計(jì)算的，反映總體數(shù)量特征的綜合指標(biāo)稱(chēng)為全及指標(biāo)。全及指標(biāo)是總體變量的函數(shù)，其數(shù)值是確定的、惟一的，因此稱(chēng)為參數(shù)。

統(tǒng)計(jì)量

根據(jù)樣本各單位標(biāo)志值或標(biāo)志屬性計(jì)算的，反映樣本數(shù)量特征的綜合指標(biāo)稱(chēng)為樣本指標(biāo)。樣本指標(biāo)是樣本變量的函數(shù)，用來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，因此也稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量，其值隨著樣本的不同而不同，因此統(tǒng)計(jì)量是個(gè)機(jī)變量。常用參數(shù)常用統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)方差平均數(shù)方差變量總體屬性總體常用的參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量（四）抽樣方法1、重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣從N個(gè)單位中每次抽取1個(gè)，抽取后將其號(hào)碼記下，再放回，一直抽取n個(gè)單位組成一個(gè)樣本，這樣的抽樣方法稱(chēng)為重復(fù)抽樣。不重復(fù)抽樣從N個(gè)單位中每次抽取1個(gè)，抽取后不放回，一直抽取n個(gè)單位組成一個(gè)樣本這樣的抽樣方法稱(chēng)為不重復(fù)抽樣。2、概率抽樣、非概率抽樣概率抽樣：根據(jù)已知的概率選取樣本

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：完全隨機(jī)地抽選樣本

分層抽樣：總體分成不同的“層”，然后在每一層內(nèi)進(jìn)行抽樣

整群抽樣：將一組被調(diào)查者（群）作為一個(gè)抽樣單位

等距抽樣：在樣本框中每隔一定距離抽選一個(gè)被調(diào)查者非概率抽樣：不是完全按隨機(jī)原則選取樣本

非隨機(jī)抽樣：由調(diào)查人員自由選取被調(diào)查者

判斷抽樣：通過(guò)某些條件過(guò)濾來(lái)選擇被調(diào)查者配額抽樣：選擇一群特定數(shù)目、滿(mǎn)足特定條件的被調(diào)查者三、抽樣分布（一）抽樣推斷的理論基礎(chǔ)1、大數(shù)定律2、中心極限定理（二）抽樣分布1、抽樣分布意義2、抽樣分布的種類(lèi)3、各種有關(guān)抽樣分布抽樣推斷的理論依據(jù)主要是概率論的極限定理中的大數(shù)定律與中心極限定理。（一）抽樣推斷的理論基礎(chǔ)1、大數(shù)定律

2、中心極限定理大數(shù)定律是指在隨機(jī)試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)的結(jié)果不同，但是大量重復(fù)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果的平均值卻幾乎總是接近于某個(gè)確定的值。

應(yīng)用于抽樣推斷，就會(huì)有如下結(jié)論：隨著樣本容量n的增加，樣本平均數(shù)將接近于總體平均數(shù)。從而為統(tǒng)計(jì)推斷中依據(jù)樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)提供了理論依據(jù)。貝努里大數(shù)定律對(duì)于獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，且事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P，則當(dāng)n足夠大時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻率將幾乎接近于其發(fā)生的概率，即頻率的穩(wěn)定性。抽樣推斷中，用樣本成數(shù)去估計(jì)總體成數(shù)，其理論依據(jù)即在于此。1、大數(shù)定律

大數(shù)定律揭示了大量隨機(jī)變量的平均結(jié)果，但沒(méi)有涉及到隨機(jī)變量的分布的問(wèn)題。

而中心極限定理說(shuō)明的是在一定條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量的平均數(shù)是以正態(tài)分布為極限的。中心極限定理也有若干個(gè)表現(xiàn)形式。下面介紹兩個(gè)基本形式：

2、中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量x1，x2…，xn相互獨(dú)立，服從同一分布且有有限的數(shù)學(xué)期望μ和方差σ2，則隨機(jī)變量，在n無(wú)限增大時(shí)，服從參數(shù)為μ和的正態(tài)分布即n→∞時(shí)，推論：如果抽樣總體的數(shù)學(xué)期望μ和方差σ2是有限的，無(wú)論總體服從什么分布，從中抽取容量為n的樣本時(shí)，只要n（一般大于30）足夠大，其樣本平均數(shù)的分布就趨于數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n的正態(tài)分布。（1）林德伯格—列維定理設(shè)隨機(jī)變量X

的各單位只有兩種取值A(chǔ)或非A（也叫是非標(biāo)志），且當(dāng)X取A的概率為p、取非A的概率為q=1-p，抽取n個(gè)單位組成樣本，則A出現(xiàn)的次數(shù)k組成的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且其平均數(shù)為np,方差為npq,當(dāng)樣本容量n無(wú)限增大時(shí)，即n→∞時(shí)，則A出現(xiàn)的次數(shù)k的標(biāo)準(zhǔn)化變量u服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布

（2）梯莫弗—拉普拉斯定理

（二）抽樣分布

1、抽樣分布意義2、幾種常用抽樣分布1、抽樣分布意義（1）抽樣分布概念：某一統(tǒng)計(jì)量（如：樣本均值、成數(shù)和方差）的所有可能樣本的取值和與之相對(duì)應(yīng)的概率所形成的分布。（2）性質(zhì)是一種理論分布0≤P（Xi）1∑P（Xi）=1（3）數(shù)字特征均值E(X)方差E[x-E(x)]2（一個(gè)例子）【例】設(shè)一個(gè)總體，含有4個(gè)元素（個(gè)體），即總體單位數(shù)N=4。4個(gè)個(gè)體分別為X1=1、X2=2、X3=3、X4=4。第一步：計(jì)算總體的均值、方差及分布：均值和方差總體分布14230.1.2.3

（一個(gè)例子）第二步：抽樣。從總體中抽取n＝2的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個(gè)樣本。所有樣本的結(jié)果如下表3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值所有可能的n=2的樣本（共16個(gè)）

（一個(gè)例子）第三步：計(jì)算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值16個(gè)樣本的均值（x）樣本均值的抽樣分布1.00.1.2.3P(x)1.53.04.03.52.02.5x第四步：計(jì)算所有樣本均值的均值和方差式中：M為樣本數(shù)目比較及結(jié)論：1.樣本均值的均值（數(shù)學(xué)期望）等于總體均值2.樣本均值的方差等于總體方差的1/n，即抽樣平均誤差樣本均值的分布與總體分布的比較抽樣分布=2.5σ2=1.25

總體分布N(,σ2)14230.1.2.3P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x2、幾種常用的抽樣分布A、樣本均值的抽樣分布——正態(tài)分布——t分布B、樣本方差的抽樣分布——卡方分布C、兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布——F分布A、樣本均值的抽樣分布抽樣總體樣本均值X,(N)均值μ=∑Xi/Nx,(n)樣本均值是樣本的函數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布稱(chēng)為樣本均值的抽樣分布。=50

=30X總體分布n=36抽樣分布xn=144當(dāng)總體服從正態(tài)分布N~(μ,σ2)時(shí)，來(lái)自該總體的所有容量為n（n≥30）的樣本的均值x也服從正態(tài)分布，x的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)從非正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布呢？大樣本均值的抽樣分布

-—來(lái)自正態(tài)分布總體

大樣本均值的抽樣分布

—來(lái)自任意分布的總體當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布根據(jù)中心極限定理：從均值為，方差為

2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個(gè)任意分布的總體X=50

=10X總體分布n=4抽樣分布xn=16當(dāng)總體服從正態(tài)分布N~(μ,σ2)時(shí)，來(lái)自該總體的所有容量為n（n

∠30，σ2已知）的樣本的均值x也服從正態(tài)分布，x的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)小樣本均值的抽樣分布

—來(lái)自正態(tài)分布總體均值分布的數(shù)學(xué)期望和方差抽樣方法 均值 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 （1）從無(wú)限總體抽樣和有限總體放回抽樣（2）從有限總體不放回抽樣抽樣誤差抽樣誤差小樣本均值的抽樣分布

—t分布設(shè)x1，x2，…，xn是從均值為，方差未知的正態(tài)總體中抽取的一個(gè)容量為n（n

∠30）的樣本，稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量,它服從自由度為(n-1)的t分布Xt

分布與正態(tài)分布的比較正態(tài)分布t分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)Z樣本成數(shù)（即比例）的抽樣分布（簡(jiǎn)稱(chēng)成數(shù)的分布）抽樣總體樣本成數(shù)X,(N)成數(shù)P=Ni/Nx,(n)所有可能的樣本的成數(shù)（）所形成的分布，稱(chēng)為樣本成數(shù)的抽樣分布。40成數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差抽樣方法 均值 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 （1）從無(wú)限總體抽樣和有限總體放回抽樣（2）從有限總體不放回抽樣根據(jù)中心極限定理，只要樣本足夠大，的分布就近似正態(tài)分布。（np和nq大于5時(shí)）抽樣誤差抽樣誤差41抽樣總體樣本若:從一個(gè)正態(tài)總體中抽樣所得到的樣本方差的分布n,S2則B、樣本方差的抽樣分布42B、樣本方差的分布設(shè)總體服從正態(tài)分布N~(μ,σ