第二章 物體承受的不同載荷形式及其應力分析(2014上課用)

第二章物體承受的不同載荷形式

及其應力分析主講教師：鐘磊廣西民族大學化學化工學院桿件變形的基本形式拉伸和壓縮

由大小相等、方向相反、作用線與桿件軸線重合的一對力所引起，表現(xiàn)為桿件長度的伸長或縮短。如托架的拉桿和壓桿受力后的變形。剪切由大小相等、方向相反、相互平行且非?？拷囊粚αλ穑憩F(xiàn)為受剪桿件的兩部分沿外力作用方向發(fā)生相對錯動。如連接件中的螺栓和銷釘受力后的變形。扭轉

由大小相等、轉向相反、作用面都垂直于桿軸的一對力偶所引起，表現(xiàn)為桿件的任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉動。如機器中的傳動軸受力后的變形。彎曲由垂直于桿件軸線的橫向力，或由作用于包含桿軸的縱向平面內的一對大小相等、方向相反的力偶所引起的，表現(xiàn)為桿件軸線由直線變?yōu)槭芰ζ矫鎯鹊那€。如單梁吊車的橫梁受力后的變形。拉壓時的內力計算

如圖所示受軸向拉力P的桿件上作任一橫截面m-m，取左段部分，并以內力的合力代替右段對左段的作用力。由平衡條件得

。N－P＝0由于P>0（拉力），則

N=P>0當外力沿著桿件的軸線作用時，桿件截面上只有一個與軸線重合的內力分量，該內力（分量）稱為軸力，一般用N表示。

知P－N＝0得N=P>0取右端該如何分析？材料力學中軸力的符號是由桿件的變形決定，而不是由所設坐標或內力方向決定的。習慣上將軸力N的正負號規(guī)定為：拉伸時，軸力N為正；壓縮時，軸力N為負。

軸向拉壓時的應力只根據(jù)內力并不能判斷桿件是否有足夠的強度，必須用橫截面上的應力來度量桿件的受力程度。根據(jù)平面假設得知,橫截面ab、cd變形后相應平移到a’b’、c’d’，橫截面上各點沿軸向的正應變相同，由此可推知橫截面上各點正應力也相同，即等于常量。拉應力為正，壓應力為負。

剪切應力計算

假定受剪面上各點處與剪力相平行的剪應力相等，于是受剪面上的剪應力為

式中：Q-剪力；A-剪切面積

擠壓與擠壓面

聯(lián)接和被聯(lián)接件接觸面相互壓緊的現(xiàn)象稱“擠壓”。剪切與擠壓往往同時發(fā)生，計算時要學會區(qū)分擠壓面與剪切面。擠壓面的分析如下圖所示。擠壓面積扭轉內力的計算傳遞軸外力偶矩的計算：截面法求扭矩：其中：P—功率，千瓦（kW）n—轉速，轉/分（rpm）mmmT

扭矩的符號規(guī)定：“T”的轉向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負。x例題：

已知一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入P1=500kW，從動輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4解：①計算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設）③繪制扭矩圖，BC段為危險截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––扭矩應力的分析與計算剪切胡克定律若在彈性范圍內加載，即剪應力小于某一極限值時，對于大多數(shù)各向同性材料，剪應力與剪應變之間存在線性關系

此即為剪切胡克定律（Hookelawinshearing），式中G為比例常數(shù)，稱為剪切彈性模量或切變模量(shearingmodulus)。扭轉時剪應力的分布特點橫截面上某點的剪應力的方向與扭矩方向相同，并垂直于該點與圓心的連線；剪應力的大小與其和圓心的距離成正比。Mnττ

如果橫截面是空心圓，剪應力分布規(guī)律一樣適用，但是，空心部分沒有應力存在。τmaxτmaxMtMt說明：圓軸扭轉時，其橫截面上任意點處的剪應變與該點至截面中心之間的距離成正比。結合剪切胡克定律可得以上結論。例題：由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別為G1和G2，且G1=2G2。圓軸尺寸如圖所示。圓軸受扭時，里、外層之間無相對滑動。關于橫截面上的切應力分布，有圖中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四種結論，請判斷哪一種是正確的。(A)(B)(C)(D)解：圓軸受扭時，里、外層之間無相對滑動，這表明二者形成一個整體，同時產(chǎn)生扭轉變形。根據(jù)平面假定，二者組成的組合截面，在軸受扭后依然保持平面，即其直徑保持為直線，但要相當于原來的位置轉過一角度。因此，在里、外層交界處二者具有相同的切應變。由于內層（實心軸）材料的剪切彈性模量大于外層（圓環(huán)截面）的剪切彈性模量（G1=2G2），所以內層在二者交界處的切應力一定大于外層在二者交界處的切應力。據(jù)此，答案（A）和（B）都是不正確的。在答案（D）中，外層在二者交界處的切應力等于零，這也是不正確的，因為外層在二者交界處的切應變不為零，根據(jù)剪切胡克定律，切應力也不可能等于零。

根據(jù)以上分析，正確答案是（C）最大切應力計算Wp扭轉截面系數(shù)發(fā)生在橫截面邊緣上的各點對于等截面軸，扭轉軸內最大剪應力發(fā)生在扭矩最大的截面的圓周上

截面的極慣性矩與扭轉截面系數(shù)=d/D

對于直徑為d的實心圓截面對于內、外直徑分別為d和D圓環(huán)截面已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切應力不得超過40MPa,空心圓軸的內外直徑之比=0.5。二軸長度相同。例題

求:實心軸的直徑d1和空心軸的外直徑D2；確定二軸的重量之比。彎曲內力的分析與計算梁的3種簡化類型簡支梁一端固定鉸支座一端活動鉸支座一端固定一端自由外伸梁一端固定鉸支座活動鉸支座位于梁中某個位置懸臂梁梁的剪力和彎矩的求解例題：懸臂梁在B、C二處分別承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl作用。梁的全長為2l。

試寫出：梁的剪力方程和彎矩方程。

FPllABCMO=2FPlBA解：1．確定控制面和分段

本例將通過考察截開截面的右邊部分平衡建立剪力方程和彎矩方程，因此可以不必確定左端的約束力。

2．建立Oxy坐標系以梁的左端A為坐標原點，建立Oxy坐標系，

由于梁在固定端A處作用有約束力、自由端B處作用有集中力、中點C處作用有集中力偶，所以，截面A、B、C均為控制面。因此，需要分為AC和CB兩段建立剪力和彎矩方程。

FPllABMO=2FPlCOyxBA解：3．建立剪力方程和彎矩方程FPllABMO=2FPlOyxCx1x2在AC和CB兩段分別以坐標為x1和x2的橫截面將截開，并在截開的橫截面上，假設剪力FQ(x1)、FQ(x2)和彎矩M(x1)、M(x2)都是正方向，然后考察截開的右邊部分梁的平衡，由平衡方程即可確定所需要的剪力方程和彎矩方程。

解：3．建立剪力方程和彎矩方程FQ(x)M(x)對于AC段梁的剪力和彎矩方程，在x1處截開后，考察右邊部分的平衡。FPllABMO=2FPlOyxCFPMO=2FPll2l－x1CB

根據(jù)平衡方程

x1考察右邊部分的平衡解：3．建立剪力方程和彎矩方程得到AC段的剪力方程與彎矩方程：

FQ(x1)M(x1)FPMO=2FPll2l－x1CBFQ(x2)M(x2)解：3．建立剪力方程和彎矩方程得到CB段的剪力方程與彎矩方程：

FPllABMO=2FPlOyxCFP2l－x2B對于CB段梁的剪力和彎矩方程，在x2處截開后，考察右邊部分的平衡。根據(jù)平衡方程x2彎曲應力的分析與計算中性層與中性軸

中性層對整個梁而言中性軸對梁的某個截面而言中性軸兩側(上下)分別承受拉壓,而中性軸上各點不受力彎曲正應力的分布規(guī)律Galileo(1564-1642)Mariotte(1620-1684)Coulomb(1736-1806)Navier(1785-1836)AAM

與中性軸距離相等的點，正應力相等；

正應力大小與其到中性軸距離成正比；

彎矩為正時，正應力以中性軸為界下拉上壓；

彎矩為負時，正應力上拉下壓；M

中性軸上，正應力等于零最大彎曲正應力公式

工程上最感興趣的是橫截面上的最大正應力，也就是橫截面上到中性軸最遠處點上的正應力。這些點的y坐標值最大，即y=ymax。將y=ymax代入正應力公式得到稱為橫截面對z軸的彎曲截面系數(shù)，單位是m3。

任一點彎曲正應力公式：yzbhzyd彎曲截面模量

zydD例題

矩形截面簡支梁承受均布載荷作用。已知：矩形的寬度b=20mm，高度h＝30mm；均布載荷集度q＝10kN/m；梁的長度l＝450mm。求：梁最大彎矩截面上1、2兩點處的正應力。

解：1.確定彎矩最大截面以及最大彎矩數(shù)值

根據(jù)靜力學平衡方程

MA＝0和MB＝0，可以求得支座A和B處的約束力分別為

FRAFRB

解：1.確定彎矩最大截面以及最大彎矩數(shù)值FRAFRB梁的中點處橫截面上彎矩最大，數(shù)值為

解：2.計算慣性矩FRAFRB

根據(jù)矩形截面慣性矩的公式,本例題中，矩形截面對z軸的慣性矩

解：3．求彎矩最大截面上1、2兩點的正應力FRAFRB

均布載荷作用在縱向對稱面內，因此橫截面的水平對稱軸(z)就是中性軸。根據(jù)彎矩最大截面上彎矩的方向，可以判斷：1點受拉應力，2點受壓應力。1、2兩點到中性軸的距離分別為

解：3．求彎矩最大截面上1、2兩點的正應力

FRAFRB于是彎矩最大截面上，1、2兩點的正應力分別為

壓拉應力狀態(tài)與強度準則應力狀態(tài)中的主應力與最大剪應力平面應力狀態(tài)的三個主應力一點的最大剪應力四個復雜應力狀態(tài)下的強度設計準則最大拉應力準則

無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內的最大拉應力達到了一個共同