第八章 組合變形

第八章組合變形Chapter8Combineddeformation材料力學(xué)Mechanics

ofMaterials

第八章組合變形

組合變形§8-1

組合變形和疊加原理§8-2

拉伸（壓縮）與彎曲的組合§8-3

偏心拉（壓)?截面核心§8-4

扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合

一、組合變形的概念

構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形,

則構(gòu)件的變形稱為組合變形。二、解決組合變形問題的基本方法－疊加法疊加原理的成立要求：內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變，變形等與外力之間成線性關(guān)系。§8-1

組合變形和疊加原理三、工程實(shí)例(Engineeringexamples)

Fhg1、外力分析

將外力簡化并沿主慣性軸分解，將組合變形分解為基本變形,使之每個(gè)力(或力偶)對(duì)應(yīng)一種基本變形3、應(yīng)力分析

畫出危險(xiǎn)截面的應(yīng)力分布圖，利用疊加原理將基本變形下的應(yīng)力和變形疊加,建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件

四、處理組合變形的基本方法

2、內(nèi)力分析

求每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)截截面。分別計(jì)算在每一種基本變形下構(gòu)件的應(yīng)力和變形=++=+一、受力特點(diǎn)桿件將發(fā)生拉伸(壓縮)與彎曲組合變形作用在桿件上的外力既有軸向拉(壓)力，還有橫向力二、變形特點(diǎn)§8-2

拉伸(或壓縮)與彎曲的組合FF1F2F2F1

產(chǎn)生彎曲變形F2

產(chǎn)生拉伸變形FyFxFy

產(chǎn)生彎曲變形Fx

產(chǎn)生拉伸變形示例1示例2三、內(nèi)力分析xy0zMZFN橫截面上內(nèi)力2、彎曲1、拉(壓)：軸力FN彎矩

MZ剪力FS因?yàn)橐鸬募魬?yīng)力較小，故一般不考慮。

橫截面上任意一點(diǎn)(z,y)處的正應(yīng)力計(jì)算公式為四、應(yīng)力分析1、拉伸正應(yīng)力

2、彎曲正應(yīng)力xy0zMZFN(z,y)軸力所以跨中截面是桿的危險(xiǎn)截面F1F2F2l/2l/23、危險(xiǎn)截面的確定作內(nèi)力圖彎矩xxFN圖M圖F2F1l/4拉伸正應(yīng)力最大彎曲正應(yīng)力桿危險(xiǎn)截面下邊緣各點(diǎn)處上的拉應(yīng)力為4、計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力F1F2F2l/2l/2-

當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時(shí)，應(yīng)分別建立桿件的抗拉、抗壓強(qiáng)度條件。五、強(qiáng)度條件由于危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)仍為單向應(yīng)力狀態(tài)，故其強(qiáng)度條件為例題1懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。其抗彎剛度Wz

=237cm3,橫截面面積A=35.5cm2，總荷載F=34kN，橫梁材料的許用應(yīng)力為[]=125MPa。校核橫梁AB的強(qiáng)度。FACD1.2m1.2mB30°AB桿為平面彎曲與軸向壓縮組合變形中間截面為危險(xiǎn)截面。最大壓應(yīng)力發(fā)生在該截面的上邊緣解：(1)分析AB的受力情況BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°FACD1.2m1.2m30°B(2)壓縮正應(yīng)力(3)最大彎曲正應(yīng)力(4)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°FACD1.2m1.2m30°B例題2小型壓力機(jī)的鑄鐵框架如圖所示。已知材料的許用拉應(yīng)力[t]=30MPa，許用壓應(yīng)力[c]=160MPa。試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的許可壓力F。yzz0z1350FF5050150150解：(1)確定形心位置A=1510-3m2Z0=7.5cmIy

=5310cm4計(jì)算截面對(duì)中性軸y

的慣性矩yzz0z1350FF5050150150FnnFNMy(2)分析立柱橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力在n—n

截面上有軸力FN及彎矩Mynn350FFyzz0軸力FN產(chǎn)生的拉伸正應(yīng)力為FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150由彎矩My產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）疊加在截面內(nèi)側(cè)有最大拉應(yīng)力[F]45.1kN5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy在截面外側(cè)有最大壓應(yīng)力[F]171.3kN[F]45.1kN所以取5050150150yzz0z1拉壓nn350FFFnnFNMy例題3正方形截面立柱的中間處開一個(gè)槽，使截面面積為原來截面面積的一半。求開槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來不開槽的幾倍。FFaaaa11FFa/2未開槽前立柱為軸向壓縮解：Faa開槽后1-1是危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面為偏心壓縮將力F

向1-1形心簡化未開槽前立柱的最大壓應(yīng)力開槽后立柱的最大壓應(yīng)力例題4矩形截面柱如圖所示，F(xiàn)1的作用線與桿軸線重合，F(xiàn)2作用在y

軸上。已知:F1=F2=80kN，b=24cm,h=30cm。如要使柱的m—m

截面只出現(xiàn)壓應(yīng)力，求F2的偏心距e。yzebhF1F2mm解：(1)外力分析將力F2向截面形心簡化后，梁上的外力有軸向壓力力偶矩yzebhF1mmF2mz(2)m--m

橫截面上的內(nèi)力有軸力彎矩軸力產(chǎn)生壓應(yīng)力彎矩產(chǎn)生的最大正應(yīng)力(3)依題的要求,整個(gè)截面只有壓應(yīng)力得yzebhF1mmF2mz

§8-3

偏心拉（壓）?截面核心1、定義當(dāng)外力作用線與桿的軸線平行但不重合時(shí)，將引起軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲兩種基本變形。O1yzF一、偏心拉（壓）A(yF,zF)xyzFeF2、以橫截面具有兩對(duì)稱軸的等直桿承受偏心拉力F

為例

(1)將外力向截面形心簡化，使每個(gè)力(或力偶)只產(chǎn)生一種基本變形形式O1yzA(yF,zF)FFe軸向拉力

F力偶矩

m=Fe，將m

向y軸和z軸分解F

使桿發(fā)生拉伸變形My

使桿發(fā)生xz

平面內(nèi)的彎曲變形（y為中性軸）Mz

使桿發(fā)生

xy

平面內(nèi)的彎曲變形（z

為中性軸）yzO1FxMyMz

二、任意橫截面n-n上的內(nèi)力分析軸力FN=FFyO1MyMznnyzMyMzFN彎矩

三、任意橫截面n-n

上C

點(diǎn)的應(yīng)力分析yzMyMzFN(y,z)由F產(chǎn)生的正應(yīng)力由My

產(chǎn)生的正應(yīng)力由Mz

產(chǎn)生的正應(yīng)力由于C

點(diǎn)在第一象限內(nèi),根據(jù)桿件的變形可知,由疊加原理，得C點(diǎn)處的正應(yīng)力為

均為拉應(yīng)力yzMyMzFN(y,z)式中A為橫截面面積;

Iy

,Iz

分別為橫截面對(duì)

y軸和z

軸的慣性矩;

(zF，yF

)為力F

作用點(diǎn)的坐標(biāo);(z，y)為所求應(yīng)力點(diǎn)的坐標(biāo).上式是一個(gè)平面方程。表明正應(yīng)力在橫截面上按線性規(guī)律變化。應(yīng)力平面與橫截面的交線（直線=0）就是中性軸。四、中性軸的位置令

y0,z0代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，即得中性軸方程討論

(1)在偏心拉伸(壓縮)情況下，中性軸是一條不通過截面形心的直線Oz中性軸yyz中性軸O(2)用ay和az

記中性軸在y,z

兩軸上的截距，則有(yF

,zF

)ayaz(3)中性軸與外力作用點(diǎn)分別處于截面形心的相對(duì)兩側(cè)y0z中性軸外力作用點(diǎn)yz中性軸（4）中性軸將橫截面上的應(yīng)力區(qū)域分為拉伸區(qū)和壓縮區(qū)橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為D1,D2兩切點(diǎn)D1(y1,z1)D2(y2,z2)(a)(b)(c)yyzz(5)對(duì)于周邊具有棱角的截面，其危險(xiǎn)點(diǎn)必定在截面的棱角處，并可根據(jù)桿件的變形來確定NMzyzFyF/WzMyFzF/WyyzD1D2中性軸最大拉應(yīng)力tmax

和最大壓應(yīng)力cmin

分別在截面的棱角D1

D2

處.無需先確定中性軸的位置,直接觀察確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置即可五、強(qiáng)度條件由于危險(xiǎn)點(diǎn)處仍為單向應(yīng)力狀態(tài)，因此，求得最大正應(yīng)力后，建立的強(qiáng)度條件為yz六、截面核心中性軸（yF，zF）為外力作用點(diǎn)的坐標(biāo)ay，az為中性軸在y軸和z軸上的截距(yF,zF)當(dāng)中性軸與圖形相切或遠(yuǎn)離圖形時(shí)，整個(gè)圖形上將只有拉應(yīng)力或只有壓應(yīng)力yz中性軸yz中性軸中性軸yz(yF,zF)(yF,zF)(yF,zF)yz截面核心1、定義當(dāng)外力作用點(diǎn)位于包括截面形心的一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)，就可以保證中性軸不穿過橫截面（整個(gè)截面上只有拉應(yīng)力或壓應(yīng)力，這個(gè)區(qū)域就稱為截面核心yz當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時(shí)，與此相應(yīng)的中性軸正好與截面的周邊相切。截面核心的邊界就由此關(guān)系確定。中性軸2、截面核心的確定(yF,zF)截面核心

例5求圓形截面的截面核心yzOdA1作切線為中性軸

,在兩個(gè)形心主慣性軸上的截距分別為圓截面的慣性半徑1d/8

由于圓截面對(duì)于圓心O是對(duì)稱的,因而,截面核心的邊界對(duì)于圓也應(yīng)是對(duì)稱的,從而可知,截面核心邊界是一個(gè)以O(shè)為圓心,以d/8為半徑的圓2hbABCDyzO例6求矩形截面的截面核心

作切線為中性軸，得兩截距分別為1

矩形截面的1hbABCDyz01234

同理,分別作切線、、，可求得對(duì)應(yīng)的核心邊界上點(diǎn)的坐標(biāo)依次為2

矩形截面核心形狀分析3直線繞頂點(diǎn)B

旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，將得到一系列通過

B點(diǎn)但斜率不同的中性軸，而

B點(diǎn)坐標(biāo)yB

,zB

是這一系列中性軸上所共有的。hbABCDyz02341

這些中性軸方程為上式可以看作是表示外力作用點(diǎn)坐標(biāo)間關(guān)系的直線方程。故外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡是直線。

這些中性軸方程為hbABCDyz01234

(1)對(duì)于具有棱角的截面，均可按上述方法確定截面核心

(2)對(duì)于周邊有凹進(jìn)部分的截面（如T字形截面），能取與凹進(jìn)部分的周邊相切的直線作為中性軸，因?yàn)檫@種直線穿過橫截面。

4、討論(Discussion)LaABCF研究對(duì)象圓截面桿受力特點(diǎn)

桿件同時(shí)承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用變形特點(diǎn)

發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形§8-4

扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合一、內(nèi)力分析

設(shè)一直徑為

d

的等直圓桿AB,B端具有與AB成直角的剛臂。研究AB桿的內(nèi)力。將力F

向AB

桿右端截面的形心B簡化得橫向力F

（引起平面彎曲）力偶矩m=Fa

（引起扭轉(zhuǎn)）AB

桿為彎、扭組合變形BAFmxlaABCF畫內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面固定端A截面為危險(xiǎn)截面AAFmmFlA截面

C3C4TC3C4C2C1二、應(yīng)力分析危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)為C1

和C2

點(diǎn)最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力

發(fā)生在截面周邊上的各點(diǎn)處。

C2C1危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力

發(fā)生在C1

、C2處A截面

對(duì)于許用拉、壓應(yīng)力相等的塑性材料制成的桿，這兩點(diǎn)的危險(xiǎn)程度是相同的?？扇∪我恻c(diǎn)C1

來研究。C1點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài),該點(diǎn)的單元體如圖示C1C3C4

C2C1TC3C4C2C1三、強(qiáng)度分析1、主應(yīng)力計(jì)算

C12、相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算

第三強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)力

第四強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力3、強(qiáng)度校核C11該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài)。是危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力，是危險(xiǎn)點(diǎn)的切應(yīng)力。且橫截面不限于圓形截面討論C1該公式適用于彎，扭

組合變形；拉（壓）與扭轉(zhuǎn)的組合變形;以及拉（壓），扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形彎、扭組合變形時(shí)，相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式可改寫為對(duì)于圓形截面桿有2C1式中W為桿的抗彎截面系數(shù)。M，T分別為危險(xiǎn)截面的彎矩和扭矩.以上兩式只適用于彎，扭組合變形下的圓截面桿。例題7空心圓桿AB和CD桿焊接成整體結(jié)構(gòu)，受力如圖。AB桿的外徑D=140mm，內(nèi)、外徑之比α=d/D=0.8，材料的許用應(yīng)力[]=160MPa。試用第三強(qiáng)度理論校核AB桿的強(qiáng)度ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABFm解：(1)外力分析將力向AB桿的B截面形心簡化得AB桿為扭轉(zhuǎn)和平面彎曲的組合變形ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABFm+15kN·m-(2)內(nèi)力分析--畫扭矩圖和彎矩圖固定端截面為危險(xiǎn)截面20kN·m例題8傳動(dòng)軸如圖所示。在A處作用一個(gè)外力偶矩

m=1kN·m，皮帶輪直徑D=300mm，皮帶輪緊邊拉力為F1，松邊拉力為F2。且F1=2F2，L=200mm，軸的許用應(yīng)力[]=160MPa。試用第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑zF1F2xyABl/2l/2m解：將力向軸的形心簡化軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和垂直縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面彎曲mmF=3F2zF1F2xyABl/2l/2m+T=1kN·m+中間截面為危險(xiǎn)截面1kN·mmmF=3F2例題9

圖示一鋼制實(shí)心圓軸，軸上的齒輪C

上作用有鉛垂切向力5kN，徑向力1.82kN；齒輪D上作用有水平切向力10kN，徑向力3.64

kN

。齒輪

C

的節(jié)圓直徑d1=400mm,齒輪

D

的節(jié)圓直徑d2=200mm。設(shè)許用應(yīng)力=100MPa

,試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN解：(1)外力的簡化將每個(gè)齒輪上的外力向該軸的截面形心簡化BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kNxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN.m1kN·m

使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)

5kN

，3.64kN

使軸在xz

縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲

1.82kN，10kN使軸在xy

縱對(duì)稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲

(2)軸的變形分析