第八章 彎曲剛度

§8-1

彎曲變形與位移彎曲變形研究范圍：等直梁在對(duì)稱彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究目的：①對(duì)梁作剛度校核；②解超靜定梁（為變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。第八章彎曲剛度1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用ω表示。與f

同向?yàn)檎?，反之為?fù)。

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。

3、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：ω

=f(x)4、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：彎曲變形小變形PxvCqC1f式（2）就是撓曲線近似微分方程。彎曲變形小變形fxM>0fxM<0(1)§8-2小撓度曲線微分方程曲線f(x)上任一點(diǎn)的曲率為：一、微分方程對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式：彎曲變形注意：如果取f(x)向上為正，則f’’與M符號(hào)相同，上式可不帶負(fù)號(hào)。1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD二、用積分法求梁的變形討論：

①適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲。

②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。

③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。

④優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。支點(diǎn)位移條件：連續(xù)條件：光滑條件：彎曲變形[例1]求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形解：PLxf寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形xfPL解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分彎曲變形xfPLa[例2]求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形PLaxf寫出彈性曲線方程并畫出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角彎曲變形PLaxf彎曲變形

[例3]試用積分法求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求C截面撓度和A截面轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。

解：1．外力分析：求支座約束反力。研究梁ABC，受力分析如圖，列平衡方程：彎曲變形

2．內(nèi)力分析：分區(qū)段列出梁的彎矩方程：3．變形分析：AB段：由于積分后得：彎曲變形BC段：由于，積分后得：邊界條件：當(dāng)連續(xù)光滑條件：代入以上積分公式中，解得：

彎曲變形故撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程分別為：

由此可知：

1、載荷疊加

多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。2、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）彎曲變形§8-3疊加法結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說明=+彎曲變形PL1L2ABCBCPL2f1f2等價(jià)等價(jià)xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf

[例4]按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。解：①載荷分解如圖②由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa彎曲變形qqPP=+AAABBB

Caa③

疊加彎曲變形

[例5]

試用疊加法求圖示梁C截面撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。（已知AB=BC=l/2）

(a)(b)

+

解：將原圖分解成圖(a)和圖(b)所示情況。

查表，對(duì)于圖(a)有：彎曲變形于是有：對(duì)于圖(b)有：故梁C截面撓度為：轉(zhuǎn)角為：(順時(shí)針)

說明：對(duì)于圖(a)：BC段無內(nèi)力，因而BC段不變形，BC段為直線?！?-4

簡(jiǎn)單靜不定梁1、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解：建立靜定基確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)—靜定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf彎曲變形幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）彎曲變形幾何方程

——變形協(xié)調(diào)方程：解：建立靜定基=[例6]

結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBC彎曲變形xfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB=LBCxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程—變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）彎曲變形其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[f/L]稱為許用撓跨比。、校核剛度：

、設(shè)計(jì)截面尺寸：、設(shè)計(jì)載荷：彎曲變形(對(duì)于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）§8-5彎曲剛度條件一、剛度條件及計(jì)算舉例彎曲變形

[例7]

圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。已知梁的橫截面為邊長a=200mm的正方形，均布載荷集度，彈性模量E1=10GPa，鋼拉桿的橫截面面積A=250mm2，彈性模量E2=210GPa，試求拉桿的伸長量及梁跨中點(diǎn)D處沿鉛垂方向的位移。解：靜力分析，求出支座A點(diǎn)的約束反力及拉桿BC所受的力。列平衡方程：彎曲變形本題既可用積分法，也可用疊加法求圖示梁D截面的撓度。積分法：拉桿BC的伸長為梁AB的彎矩方程為撓曲線的近似微分方程積分得：

彎曲變形邊界條件：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，代入上式得故當(dāng)時(shí)，。疊加法：

說明：AB梁不變形，BC桿變形后引起AB梁中點(diǎn)的位移，與BC不變形，AB梁變形后引起AB梁中點(diǎn)的位移疊加。

PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB

[例8]

下圖為一空心圓截面梁，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的[f/L]=0.00001,B點(diǎn)的[]=0.001弧度,試校核此梁的剛度。=++=彎曲變形P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單載荷變形。彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=++圖1圖2圖3彎曲變形PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf疊加求復(fù)雜載荷下的變形校核剛度彎曲變形彎曲變形通過以上討論可知，梁的變形與梁的抗彎剛度EI、跨度l、支座情況、載荷形式及其作用位置有關(guān)。根據(jù)這些因素對(duì)彎曲變形的作用，可通過下列措施來提高梁的剛度。

(1)增大抗彎剛度：主要是采用合理的截面形狀，在面積基本不變的情況下，使慣性矩I盡可能增大，可有效地減小梁的變形。為此，工程上的受彎構(gòu)件多采用空心圓形、工字形、箱形等薄壁截面。材料的彈性模量E值愈大，梁的抗彎剛度也會(huì)愈大。但對(duì)鋼材來說，各類鋼的E值非常接近，故選用優(yōu)質(zhì)鋼對(duì)提高梁的抗彎剛度意義并不大。

二、提高梁的剛度的措施

(2)調(diào)整跨度和改善結(jié)構(gòu)：靜定梁的撓度與跨度的n次方成正比。在可能的條件下，減小跨度可明顯地減小梁的變形。但減小跨度往往和改變梁的結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起。如圖a)所示受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁，若將兩端支座向內(nèi)移動(dòng)2l/9變?yōu)橥馍炝?圖

b)，則其跨中截面的撓度明顯下降。

彎曲變形彎曲變形（3）合理布置外力（包括支座）,使M

max

盡可能小PL/2L/2Mx+PL/4P=qLL/54L/5對(duì)稱PL/43L/4Mx3PL/16+MxqL2/10+彎曲變形qLL/5qL/5qL/2L/2Mx+402qL50