第二章 力系的等效與簡(jiǎn)化

第二章力系的等效與簡(jiǎn)化工程力學(xué)工程實(shí)例§2-1力偶及其性質(zhì)

日常生活中經(jīng)常遇到力偶，比如：汽車(chē)司機(jī)雙手轉(zhuǎn)動(dòng)駕駛盤(pán)等。力偶的概念:作用于剛體上大小相等、方向相反且不共線(xiàn)的兩個(gè)力組成的力系稱(chēng)為力偶。無(wú)法再簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)單力系之一。

力偶作用面：由一對(duì)力F

所組成的平面；力偶臂：構(gòu)成力偶的一對(duì)力的作用線(xiàn)間的距離，用d表示；度量轉(zhuǎn)動(dòng)作用效應(yīng)的物理量。單位為N·m或kN·m。

力偶系：作用于剛體上的一群力偶。使剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。作用效應(yīng):dF′F1、力偶矩矢概念根據(jù)力對(duì)點(diǎn)之矩，力偶對(duì)O之矩為：ABOMM稱(chēng)為力偶矩矢，用以衡量力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。有一對(duì)力偶

,將它們對(duì)O點(diǎn)取矩。有一對(duì)力偶

,將它們對(duì)O點(diǎn)取矩。2、力偶轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)三要素力偶轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)三要素大小轉(zhuǎn)向作用面方位4、平面力偶

規(guī)定：力偶使剛體在作用面內(nèi)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為負(fù)。

F￠rdFr3、力偶的等效條件和性質(zhì)兩個(gè)力偶的等效條件是它們的力偶矩矢相等。（兩個(gè)力偶矩矢相等的力偶等效。）1）力偶的等效條件2）力偶的性質(zhì)

（2）力偶不能與一個(gè)力等效（即力偶無(wú)合力），本身又不平衡，也不能與一個(gè)力平衡（力偶只能由力偶來(lái)平衡）。是一個(gè)基本的力學(xué)量。（1）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零。力偶矩因（3）力偶對(duì)任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變。

（4）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小與力偶臂的長(zhǎng)短，對(duì)剛體的作用效果不變。

Mr

F￠rd(a)

FrFra

Mr

F￠rad/a(c)

Fr

Mr

F￠rd(b)Fr（5）只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面平行的任一平面，對(duì)剛體的作用效果不變。一、平面任意力系的概念

各個(gè)力的作用線(xiàn)在同一平面內(nèi)，但不匯交于一點(diǎn)，也不都平行的力系稱(chēng)為平面任意力系。FnF3F2F1yTPQEQDxBAECDFAyFAxα§2-2平面任意力系的簡(jiǎn)化FAOdFAOdMAO==力線(xiàn)平移定理:作用于剛體上任一點(diǎn)的力可平移到剛體上任一點(diǎn)而不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)，但需增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力對(duì)新的作用點(diǎn)之矩矢。二、力的平移定理—附加力偶力線(xiàn)平移的幾個(gè)性質(zhì)：1、當(dāng)力線(xiàn)平移時(shí)，力的大小、方向都不改變，但附加力偶矩的大小與正負(fù)一般要隨指定O點(diǎn)的位置的不同而不同。2、力線(xiàn)平移的過(guò)程是可逆的，即作用在同一平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶，總可以歸納為一個(gè)和原力大小相等的平行力。3、力線(xiàn)平移定理是把剛體上平面任意力系分解為一個(gè)平面共點(diǎn)力系和一個(gè)平面力偶系的依據(jù)。FAOdFAOdMAO

A3OA2A1F1F3F2M1OM2M3==

應(yīng)用力線(xiàn)平移定理，可將剛體上平面任意力系中各個(gè)力的作用線(xiàn)全部平行移到作用面內(nèi)某一給定點(diǎn)O

。從而這力系被分解為平面共點(diǎn)力系和平面力偶系。這種變換的方法稱(chēng)為力系向給定點(diǎn)O

的簡(jiǎn)化。點(diǎn)O

稱(chēng)為簡(jiǎn)化中心。三、平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化MOO

共點(diǎn)力系F1、F2、F3的合成結(jié)果為一作用點(diǎn)在點(diǎn)O

的力FR。這個(gè)力矢FR稱(chēng)為原平面任意力系的主矢。

附加力偶系的合成結(jié)果是作用在同平面內(nèi)的力偶，這力偶的矩用MO

代表，稱(chēng)為原平面任意力系對(duì)簡(jiǎn)化中心

O

的主矩。結(jié)論：

平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)的簡(jiǎn)化結(jié)果，是一個(gè)作用在簡(jiǎn)化中心的主矢和一個(gè)對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。推廣：平面任意力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的簡(jiǎn)化結(jié)果主矩：主矢：討論:主矢大小:方向:主矩：

說(shuō)明1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。2、平面任意力系的主矩與簡(jiǎn)化中心O的位置有關(guān)。因此，在說(shuō)到力系的主矩時(shí)，一定要指明簡(jiǎn)化中心。主矢：例：在長(zhǎng)方形平板的O、A、B、C

點(diǎn)上分別作用著有四個(gè)力：F1=1kN，F(xiàn)2=2kN，F(xiàn)3=F4=3kN（如圖），試求以上四個(gè)力構(gòu)成的力系對(duì)點(diǎn)O

的簡(jiǎn)化結(jié)果，以及該力系的最后的合成結(jié)果。OABC

xy2m3m30°60°解：取坐標(biāo)系Oxy。（1）求向O點(diǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果：①求主矢：yOABC

x主矢的大小主矢的方向②求主矩：（2）求合成結(jié)果：合成為一個(gè)合力FR，F(xiàn)R的大小、方向與FR’相同。其作用線(xiàn)與O點(diǎn)的垂直距離為：yOABC

xdOABC

xy2m3m30°60°

情況向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果分類(lèi) 主矢FR'

主矩MO

（與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)）平面一般力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果3 FR0MO=0合力FR=FR，作用線(xiàn)過(guò)O點(diǎn)。2 FR'=0MO0 一個(gè)合力偶，M=MO。

1 FR’=0MO=0 平衡狀態(tài)（力系對(duì)物體的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)作用效果均為零）。4FR‘0MO0一個(gè)合力，其大小為FR=FR，作用線(xiàn)到O點(diǎn)的距離為h=MO/FR'FR在O點(diǎn)哪一邊?平面力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，只有三種可能：一個(gè)力；一個(gè)力偶；或?yàn)槠胶饬ο怠?/p>

空間力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化得到一空間匯交力系和一空間力偶系，如圖。FnF1F2yzxOF'1F'nF'2MnM2M1zyxOMOF'ROxyz＝＝一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化，，，，，，，§2-3空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化空間匯交力系可合成一合力F'R：力系中各力的矢量和稱(chēng)為空間力系的主矢。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。MOF'ROxyz空間力偶系可合成為一合力偶，其矩矢MO：力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩矢的矢量和稱(chēng)為力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。主矩與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。例：圖中所示的空間力系，試求力系的主矢及力系對(duì)O、A、E三點(diǎn)的主矩。解：力系中的二力可以寫(xiě)成則力系的主矢為力系對(duì)O、A、E三點(diǎn)的主矩分別為：例：空間力系如圖所示，其中力偶作用在Oxy平面內(nèi)，力偶矩M=24N.m。試求此力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化的主矢與主矩。解：將已知量都表示成矢量的形式力系的主矢為：力系的主矩為：二、空間任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果分析空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果可能出現(xiàn)四種情況：

(1)F'R＝0，MO

＝

0

(2)F'R＝0，MO≠0;(3)F'R≠

0，MO

＝

0;(4)F'R≠

0，MO≠0;1)空間任意力系簡(jiǎn)化為平衡的情形當(dāng)空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化時(shí)出現(xiàn)主矢F'R＝0，主矩MO＝

0，這是空間任意力系平衡的情形。2)空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力偶的情形F'R＝0，MO≠0簡(jiǎn)化結(jié)果為一個(gè)與原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。F'R≠

0，MO＝

0這時(shí)得一與原力系等效的合力，合力的作用線(xiàn)過(guò)簡(jiǎn)化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。3)空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力的情形3)空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力的情形

F'R≠

0，MO≠0，且F'R⊥MOMOF'ROF'RF"RFROO'dFROO'＝＝這時(shí)亦得一與原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，合力的作用線(xiàn)離簡(jiǎn)化中心O的距離為F'R≠

0，MO≠0，且F'R∥MO此時(shí)無(wú)法進(jìn)一步合成，這就是簡(jiǎn)化的最后結(jié)果。這種力與力偶作用面垂直的情形稱(chēng)為力螺旋。F'R與MO同方向時(shí)，稱(chēng)為右手螺旋；F'R與MO反向時(shí)，稱(chēng)為左手螺旋。圖示為一右手螺旋。4)空間任意力系簡(jiǎn)化為力螺旋的情形＝MOF