專題03從算術(shù)到代數(shù)

閱讀與思考算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門不同的分科，它們之間聯(lián)系緊密，代數(shù)是在算術(shù)中“數(shù)”和“運(yùn)算”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個(gè)重要特征， 也是代數(shù)與算術(shù)的最顯著的區(qū)別 .在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，從確定的數(shù)過渡到用字母表示數(shù)經(jīng)歷了一個(gè)漫長的過程，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)飛躍 .用字母表示數(shù)有如下特點(diǎn)：1.任意性即字母可以表示任意的數(shù) .2.限制性即雖然字母表示任意的數(shù)，但字母的取值必須使代數(shù)式或?qū)嶋H問題有意義 .3.確定性即在用字母表示的數(shù)中，如果字母取定某值，那么代數(shù)式的值也隨之確定 .4.抽象性即與具體的數(shù)值相比，用字母表示數(shù)具有更抽象的意義 .例題與求解【例1】研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律：21×3＋1＝4＝22×4＋1＝9＝3223×5＋1＝16＝4?請將你找到的規(guī)律用代數(shù)式表示出來： ___________________________________(山東菏澤地區(qū)中考試題 )解題思路：觀察給定的幾個(gè)簡單的、特殊的算式，尋找數(shù)字間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，然后用代數(shù)式表示.【例2】下列四個(gè)數(shù)中可以寫成 100個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的是（ ）A.1627384950 B.2345678910 C.3579111300 D.4692581470（江蘇省競賽試題）解題思路：設(shè)自然數(shù)從a＋1開始，這100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為（a＋1）＋(a＋2)＋?＋(a＋100)＝100a＋5050，從揭示和的特征入手.【例3】設(shè)A＝12+22+22+32+32+42＋?＋10032+10042＋10042+10052，求A的整數(shù)部1′22′33′41003′10041004′1005分.（北京市競賽試題）2 2解題思路：從分析 A中第n項(xiàng)n +(n+1)的特征入手.n?(n 1)【例

4】現(xiàn)有

a根長度相同的火柴棒，按如圖①擺放時(shí)可擺成

m個(gè)正方形，按如圖②擺放時(shí)可擺成2n個(gè)正方形

.(1)用含

n的代數(shù)式表示 m；(2)當(dāng)這

a根火柴棒還能擺成如圖③所示的形狀時(shí)，求

a的最小值

.（浙江省競賽試題）解題思路：由圖①中有 m個(gè)正方形、圖②中有 2n個(gè)正方形，可設(shè)圖③中有擺放，火柴棒的總數(shù)相同，可建立含 m，n，p的等式.

3p個(gè)正方形，無論怎樣【例5】化簡9999991999.n個(gè)n個(gè)n個(gè)（江蘇省競賽試題）解題思路：先考察 n＝1，2，3時(shí)的簡單情形，然后作出猜想，這樣，化簡的目標(biāo)更明確 .【例6】觀察按下列規(guī)律排成的一列數(shù)：，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，2，3，4，5，1，?，（*）1213214321543216（1）在（*）中，從左起第m個(gè)數(shù)記為F(m)＝2時(shí)，求m的值和這m個(gè)數(shù)的積.2001（2）在（*）中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c，它后面的一個(gè)數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個(gè)數(shù)c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，請說明理由.解題思路：解答此題，需先找到數(shù)列的規(guī)律，該數(shù)列可分組為（1），（1，2），（1，2，3），（1，2，3，4），（1，2，3，4，5），?.121321432154321能力訓(xùn)練級1.已知等式：2＋2＝22×2，3＋3＝32×3，4＋4＝42×4，?，，10＋a＝102×a（a，b33881515bb均為正整數(shù)），則a＋b＝___________________.(湖北省武漢市競賽試題 )2.下面每個(gè)圖案都是若干個(gè)棋子圍成的正方形圖案，它的每邊（包括頂點(diǎn)）都有 n（n≥2）個(gè)棋子，每個(gè)圖案棋子總數(shù)為 s，按此規(guī)律推斷 s與n之間的關(guān)系是 ______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山東省青島市中考試題 )3.規(guī)定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)對（a，b）和（c，d），當(dāng)且僅當(dāng)a＝c且b＝d時(shí)，（a，b）＝（c，d）．定義運(yùn)算“?”：（a，b）?（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）?（p，q）＝（5，0），則p＋q＝________．(浙江省湖州市數(shù)學(xué)競賽試題 )4.用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板， 則第（3）個(gè)圖形中有黑色瓷磚 ______塊，第n個(gè)圖形中需要黑色瓷磚 ______塊（含n代數(shù)式表示）．（廣東省中考試題）-=5.如果a是一個(gè)三位數(shù)，現(xiàn)在把1放在它的右邊得到一個(gè)四位數(shù)是（）A.1000a＋1B.100a＋1C.10a＋1D.a＋1(重慶市競賽試題)6.一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：233547）a＋b，a—b，a＋b，a—b，?，其中第十個(gè)式子是（A.a10＋b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21(四川省眉山市競賽試題)7.有三組數(shù)x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它們的平均數(shù)分別是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均數(shù)是（）a+b+ca+b-cC.a＋b－cD.3(a＋b－c)A.B.3 3(希望杯邀請賽試題 )8.為了綠化環(huán)境，美化城市，在某居民小區(qū)鋪設(shè)了正方形和圓形兩塊草坪，如果兩塊草坪的周長相同，那么它們的面積S1、S2的大小關(guān)系是（）（東方航空杯競賽試題）A.S1＞S2B．Sl＜S2C．S1＝S2D．無法比較9.一個(gè)圓形紙板，根據(jù)以下操作把它剪成若干個(gè)扇形面：第一次將圓紙等分為4個(gè)扇形面；第二次將上次得到的一個(gè)扇形面再等分成4個(gè)小扇形；以后按第二次剪裁法進(jìn)行下去．（1）請通過操作，猜想將第3、第4次，?，第n次剪裁后扇形面的總個(gè)數(shù)填入下表；剪裁次數(shù)1234?n所得的總數(shù)47?（2）請你推斷，能否按上述操作剪裁出33個(gè)扇形面？為什么？（山東省濟(jì)南市中考試題）10.某玩具工廠有四個(gè)車間，某周是質(zhì)量檢查周，現(xiàn)每個(gè)都原a（a＞0）個(gè)成品，且每個(gè)每天都生產(chǎn)b（b＞0）個(gè)成品，質(zhì)檢科派出若干名檢驗(yàn)員星期一、星期二檢驗(yàn)其中兩個(gè)原的和這兩天生產(chǎn)的所成品，然后，星期三至星期五檢驗(yàn)另兩個(gè)原的和本生產(chǎn)的所成品，假定每個(gè)檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同．（1）這若干名檢驗(yàn)員1天檢驗(yàn)多少個(gè)成品（用含a、b的代數(shù)式表示）；（2）試求出用 b表示a的關(guān)系式；4（3）若1名質(zhì)檢員 1天能檢驗(yàn) b個(gè)成品，則質(zhì)檢科至少要派出多少名檢驗(yàn)員？5（廣東省廣州市中考試題）級你能很快算出19952嗎？為了解決這個(gè)問題，我們考察個(gè)位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個(gè)個(gè)位數(shù)為5的自然數(shù)可寫成（10·n＋5）（n為自然數(shù)），即求（10·n＋5）2的值（n為自然數(shù)），分析n＝1，n＝2，n＝3，?這些簡單情況，從中探索其規(guī)律，并歸納猜想出結(jié)論（在下面的空格內(nèi)填上你的探索結(jié)果）.（1）通過計(jì)算，探索規(guī)律.152＝225可寫成100×1×（1＋1）＋25；252＝625可寫成100×2×（2＋1）＋25；352＝1225可寫成100×3×（3＋1）＋25；452＝2025可寫成100×4×（4＋1）＋25；...752＝5625可寫成______；852＝7225可寫成______；（2）從第（1）題的結(jié)果，歸納猜想得（10n＋5）2＝______；（3）根據(jù)上面的歸納猜想，請算出2＝______.1995（福建省三明市中考試題）2.已知12＋22＋32＋?＋n2＝1n(n＋1)(2n＋1)，計(jì)算：61）112＋122＋?＋192＝_____________________；(2)22＋42＋?＋502＝__________________.3.已知n是正整數(shù)，an＝1×2×3×4×?×n，則a1＋a2＋?＋a2010＋a2011＝_______________.a3a4a2012a2013(“希望杯”邀請賽訓(xùn)練題 )4.已知17個(gè)連續(xù)整數(shù)的和是 306，那么，緊接著這 17個(gè)數(shù)后面的那 17個(gè)整數(shù)的和為__________.（重慶市競賽試題）5.A，B兩地相距 S千米，甲、乙的速度分別為 a千米/時(shí)、b千米/時(shí)（a＞b），甲、乙都從

A地到

B地去開會(huì)，如果甲比乙先出發(fā) 1小時(shí)，那么乙比甲晚到 B地的小時(shí)數(shù)是（ ）A．s-(s+1)B．s-(s+1)C．s-(s-1)D．s-(s-1)abbaabba6.某商店經(jīng)銷一批襯衣，進(jìn)價(jià)為每件m元，零售價(jià)比高a%，后因市場的變化，該店把零售價(jià)調(diào)整原來零售價(jià)的b%出售，那么調(diào)價(jià)后的零售價(jià)是（）A．m（1＋a%）（1－b%）元B．ma%（1－b%）元C．m（1＋a%）b%元D．m（1＋a%b%）元（山東省競賽試題）7.如果用a名同學(xué)在b小時(shí)內(nèi)共搬運(yùn)c塊磚，那么個(gè)以同樣速度所需要的數(shù)是（）c2c2aba2bA．B．C．D．a(chǎn)2babc2c2(“希望杯”邀請賽試題 )8.甲、乙兩班的人數(shù)相等，各有一些同學(xué)參加課外天文小組，其中甲班參加天文小組的人數(shù)是乙班未參加人數(shù)的

1，乙班參加天文小組的人數(shù)是甲班未參加人數(shù)的

1．問甲班未參加的人數(shù)是乙班未參加3

5人數(shù)的幾分之幾？9.將自然數(shù)1，2，3，?，21這21個(gè)數(shù)，任意地放在一個(gè)圓周上，證明：一定有相鄰的三個(gè)數(shù)，它們的和不小于33.（重慶市競賽試題）有四個(gè)互不相同的正整數(shù)，從中任取兩個(gè)數(shù)組成一組，并在同一組中用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，再將各組所得的數(shù)相加，其和恰好等于18.若這四個(gè)數(shù)的乘積是23100，求這四個(gè)數(shù).（天津市競賽試題）專題03從算術(shù)到代數(shù)例1n(n2)1(n21)例2A例3原式=2(1111112(1111)2()2())2()223341003100410041005=21004(11)故其整數(shù)部分為20081005例4設(shè)圖③中含有3p個(gè)正方形.(1)由3m15n2,得5n1m3(2)由a3m15n27p3m25n1,因m,n,p均是正整數(shù),所以當(dāng)m17,n103,得p77時(shí),p7,此時(shí)a317152例5解法1:n1時(shí),99198119100102;n2時(shí),9999199(1001)9919999009919910000410,猜想:9999991999102n個(gè),計(jì)算過程類似于n2n個(gè)n個(gè)n個(gè)9999991999(10n1)99919999990009991999102nn個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)解法2:n1時(shí),991999109(999)10910101010102n2時(shí),9999199999910099(999999)10099100100100100104猜想:原式102n驗(yàn)證如下:9999991999999999100099999999999910nn個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)n個(gè)999nn10n2n101010n個(gè)反思結(jié)論必為一個(gè)數(shù)的平方形式,不妨設(shè)999a,得另一種解法n個(gè)解法3:原式a2(a1)aa22a1(a1)2(10n)2102n例6(1)(※)可分組為(1),(1,2),(1,2,3),(1,2,3,4),(1,2,3,4,5),,可知各組數(shù)的個(gè)數(shù)依次為1213214321543211,2,3,.按其規(guī)律2應(yīng)在第2002組(1,2,3,,2002)中,該組前面共有20012002200120001123420012003001個(gè)數(shù).故當(dāng)F(m)2時(shí),m200300122003003.又因各組的數(shù)2001積為1,故這2003003個(gè)數(shù)的積為121200220012003001(2)依題意,c為每組倒數(shù)第2個(gè)數(shù),d為每組最后一個(gè)數(shù),設(shè)它們在第n組,別cn1,dn,n(n1)2001000.即n(n1)400200020012000,n2001,212得c20011200020012,d12級1.100提示:10a102a中,根據(jù)規(guī)律可得a10,b102199,故ab1099109bb2.s4(n1)(n2)3.1提示:根據(jù)題中定義的運(yùn)算可列代數(shù)式p2q5,q2p0,可得p1,q2,故pq14.103n1CBBB9.(1)10 13 3n 1 (2)不能,33不符合3n 110.(1)a2b或2(a5b)或3b23(2)由2(a2b)2(a5b),得a4b23(3)2(a2b)47.582b5級1.(1)100 7 (7 1) 25, 100 8 (8 1) 25100n(n1)253980025(1)2085(2)22100提示:原式4(1222252)3.2011提示:由an1234n可得,4026原式1111123344520112012201220131111111120112334201220132201340264.595提示:設(shè)17個(gè)連續(xù)整數(shù)為m,m1,,m16,且m(m1)(m16)306,它后面緊接的17個(gè)連續(xù)自然數(shù)應(yīng)為m17,m18,m19,,m33,可得它們之和為5955.D6.C7.D提示:每一名同學(xué)每小時(shí)所搬磚頭為c塊,c名同學(xué)按此速度每小時(shí)所搬磚頭為c2塊.abab8．用a，b分別表示甲、乙兩班