第三講 期望效用理論

第三講期望效用理論

本講重點(diǎn)：VNM期望效用函數(shù)一、基本概念

1.關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)與不確定性奈特（Knight.F）《風(fēng)險(xiǎn)、不確定性和利潤(rùn)》中關(guān)于確定性、風(fēng)險(xiǎn)和不確定性的解釋：

確定性：是指自然狀態(tài)如何出現(xiàn)已知，并且行動(dòng)所產(chǎn)生的結(jié)果已知。它排除了任何隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。

風(fēng)險(xiǎn)：是指那些涉及以概率或可能性形式出現(xiàn)的隨機(jī)問(wèn)題，但排除了未數(shù)量化的不確定性問(wèn)題。即對(duì)于未來(lái)可能發(fā)生的所有事件，以及每一事件發(fā)生的概率有準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。但對(duì)于哪一種事件會(huì)發(fā)生卻事先一無(wú)所知。

不確定性：是指發(fā)生結(jié)果尚為不知的所有情形，也即那些決策的結(jié)果明顯地依賴于不能由決策者控制的事件，并且僅在做出決策后，決策者才知道其決策結(jié)果的一類問(wèn)題。即知道未來(lái)世界的可能狀態(tài)（結(jié)果），但對(duì)于每一種狀態(tài)發(fā)生的概率不清楚。

由于對(duì)有些事件的客觀概率難以得到，人們?cè)趯?shí)際中常常根據(jù)主觀概率或者設(shè)定一個(gè)概率分布來(lái)推測(cè)未來(lái)的結(jié)果發(fā)生的可能性，因此學(xué)術(shù)界常常把具有主觀概率或設(shè)定概率分布的不同結(jié)果的事件和具有客觀概率的不同結(jié)果的事件同時(shí)視為風(fēng)險(xiǎn)。即風(fēng)險(xiǎn)與不確定性有區(qū)別，但在操作上，我們引入主觀概率或設(shè)定概率分布的概念，其二者的界線就模糊了，幾乎成為一個(gè)等同概念。不確定性選擇的事例例1彩票(lottery)

發(fā)行彩票是一種常見(jiàn)的低成本籌資手段。購(gòu)買彩票有可能獲得獎(jiǎng)品，甚至可能獲得大獎(jiǎng)。彩票種類很多，面對(duì)眾多彩票，消費(fèi)者究竟依據(jù)怎樣的行為準(zhǔn)則進(jìn)行選擇？這是我們關(guān)心的問(wèn)題。例2賭博(gamble)

賭博是一種典型的靠隨機(jī)因素決定收入的現(xiàn)象，用它可區(qū)別一個(gè)人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。我們關(guān)心的問(wèn)題是，當(dāng)消費(fèi)者面對(duì)一種賭博的時(shí)候，他是依據(jù)什么準(zhǔn)則來(lái)決定是參加還是拒絕賭博的？例3擇業(yè)(job-choice)

職業(yè)各種各樣，有些職業(yè)具有穩(wěn)定的收入，而有些職業(yè)的收入不穩(wěn)定，與績(jī)效掛鉤。因此，擇業(yè)也是一種不確定選擇問(wèn)題。2.預(yù)期值（數(shù)學(xué)期望值）假如抽獎(jiǎng)提供幾個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)（有一些可能是0），贏得這些獎(jiǎng)項(xiàng)的概率是，

如果假定每個(gè)參與者只能得到一個(gè)獎(jiǎng)，那么為了給這種抽獎(jiǎng)的平均報(bào)償提供一種測(cè)量方法，我們將其定義為預(yù)期值：抽獎(jiǎng)的預(yù)期值是獎(jiǎng)的加權(quán)之和，此權(quán)是各自的概率。例如，發(fā)500張彩票，一等獎(jiǎng)：200元概率1/500

二等獎(jiǎng)：50元概率1/100

三等獎(jiǎng)：10元概率1/20

四等獎(jiǎng)：0元概率469/5003.公平游戲（博彩）期望值為0的游戲如果期望值不為0,那么就有一玩家為此游戲支付成本.二、不確定性下的理性決策原則

A.數(shù)學(xué)期望最大化原則

數(shù)學(xué)期望收益最大化準(zhǔn)則是指使用不確定性下各種可能行為結(jié)果的預(yù)期值比較各種行動(dòng)方案優(yōu)劣。這一準(zhǔn)則有其合理性，它可以對(duì)各種行為方案進(jìn)行準(zhǔn)確的優(yōu)劣比較，同時(shí)這一準(zhǔn)則還是收益最大化準(zhǔn)則在不確定情形下的推廣。

問(wèn)題：數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)則是否是一最優(yōu)的不確定性下的行為決策準(zhǔn)則？圣·彼得堡悖論（St·petersburgparadox）

1713年，數(shù)學(xué)家尼古拉·貝努利向他的一位法國(guó)朋友蒙莫爾提出，到1738年其堂弟丹尼爾·貝努利在《圣彼得堡科學(xué)院評(píng)論》上發(fā)表論文解決了這一問(wèn)題，從此，這一問(wèn)題就開(kāi)始以“圣·彼得堡悖論”而著稱。圣·彼得堡悖論是關(guān)于一個(gè)猜硬幣正反面的賭博問(wèn)題。假設(shè)第一次猜對(duì)，賭徒可得2元；第一次猜錯(cuò)，第二次猜對(duì)，賭徒可得4元，…，一般地，如果前n-1次都猜錯(cuò)，第n次猜對(duì)，賭徒可得元，任何一次猜對(duì)，游戲即結(jié)束?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：要使賭徒有權(quán)參加這樣的賭博，他應(yīng)該先交多少錢才合理？B.期望效用原則丹尼爾·貝努利在1738年發(fā)表《對(duì)機(jī)遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險(xiǎn)度量新理論”。指出人們?cè)谕顿Y決策時(shí)不是用“錢的數(shù)學(xué)期望”來(lái)作為決策準(zhǔn)則，而是用“道德期望”來(lái)行動(dòng)的。而道德期望并不與得利多少成正比，而與初始財(cái)富有關(guān)。窮人與富人對(duì)于財(cái)富增加的邊際效用是不一樣的。如果假設(shè)收入的邊際效用隨收入的增加而遞減，那么這個(gè)游戲也許能夠達(dá)到某個(gè)有限的預(yù)期效用值，也許會(huì)有某個(gè)玩家愿意為玩這個(gè)游戲而支付這一效用值。貝努利假設(shè)，每個(gè)獎(jiǎng)金的效用為：則其預(yù)期效用=C.后期望效用理論：

由阿萊斯悖論等各種試驗(yàn)引發(fā)的新的期望效用理論，如前景理論、遺憾理論、加權(quán)的期望效用理論、非線性的期望效用理論等等行為金融學(xué)和非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)期望效用的新的解釋。三、VNM期望效用函數(shù)

期望效用理論是不確定性選擇理論中最為重要的價(jià)值判斷標(biāo)準(zhǔn)。期望效用函數(shù)作為對(duì)不確定性條件下經(jīng)濟(jì)主體決策者偏好結(jié)構(gòu)的刻畫(huà)，具有廣泛的用途。如果某個(gè)隨機(jī)變量X以概率取值，i=1,2,…,n，而某人在確定地得到時(shí)的效用為，那么，該隨機(jī)變量給他的效用便是：

其中，E表示關(guān)于隨機(jī)變量X的期望效用。因此U(X)稱為期望效用函數(shù)，又叫做馮·諾依曼—摩根斯坦效用函數(shù)（VNM函數(shù)）。

u(x)u(x2)u(p1·x1+p2·x2)p1·u(x1)+p2·u(x2)u(x1)ABu=u(x)x1p1·x1+p2·x2x2x期望效用與期望值的效用四、風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度1.問(wèn)題的提出

現(xiàn)實(shí)觀察：經(jīng)濟(jì)行為主體對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度是存在差異的。熱衷冒險(xiǎn)的人會(huì)在等待不確定性結(jié)果中獲得刺激而興奮不已；大多數(shù)的行為主體則認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)是一種折磨，盡可能地回避風(fēng)險(xiǎn)；而另一些人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)可能采取一種無(wú)所謂的態(tài)度。如何通過(guò)效用函數(shù)描述不同經(jīng)濟(jì)主體對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度？通?？梢詮膬蓚€(gè)方面來(lái)刻畫(huà)：（1）觀察經(jīng)濟(jì)行為主體面對(duì)公平游戲時(shí)的行為選擇，即是愿意確定性地接受一個(gè)公平游戲的期望價(jià)值還是寧愿接受這個(gè)游戲本身及其不確定性的結(jié)果。（2）經(jīng)濟(jì)行為主體愿意付出多少價(jià)值來(lái)避免蘊(yùn)含在這個(gè)游戲中的風(fēng)險(xiǎn)。或者說(shuō)，讓經(jīng)濟(jì)行為主體參與這個(gè)游戲行為需要多少風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)補(bǔ)償。2.風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的描述公平游戲不改變個(gè)體原來(lái)的期望收益，但它提供了個(gè)體增加或減少原來(lái)收入的機(jī)會(huì)。風(fēng)險(xiǎn)厭惡者：如果經(jīng)濟(jì)主體拒絕接受公平游戲，這說(shuō)明該個(gè)體在確定性收益和游戲之間更偏好確定性收益，我們稱該主體為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者。風(fēng)險(xiǎn)偏好者：如果一個(gè)經(jīng)濟(jì)主體在任何時(shí)候都愿意接受公平游戲，則稱該主體為風(fēng)險(xiǎn)偏好者。風(fēng)險(xiǎn)中性者：如果一個(gè)經(jīng)濟(jì)主體對(duì)公平游戲持無(wú)所謂的態(tài)度，則稱該主體為風(fēng)險(xiǎn)中性者。

定義：是經(jīng)濟(jì)主體的VNM效用函數(shù)，W為個(gè)體的初始稟賦，如果對(duì)于任何滿足的隨機(jī)變量，有則稱個(gè)體是（嚴(yán)格）風(fēng)險(xiǎn)厭惡的（riskaversion）；如果上述不等號(hào)方向相反，則稱個(gè)體是風(fēng)險(xiǎn)偏好的（riskloving）；如果兩邊相等，則稱個(gè)體是風(fēng)險(xiǎn)中性的（neutral）。

對(duì)于一個(gè)具有效用函數(shù)為和初始稟賦為W的經(jīng)濟(jì)主體，如果他不參加博彩，則其效用為。如果他愿意參加博彩，則他有p的概率獲得，1-p的概率獲得，（）。因此，他的期望效用為

根據(jù)我們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的定義，對(duì)于一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的經(jīng)濟(jì)主體而言，我們有：

由于所以，上述不等式可改寫為：即：

這表明，風(fēng)險(xiǎn)厭惡的經(jīng)濟(jì)主體偏好未來(lái)收益分布的期望值，而不是未來(lái)收益分布本身。即對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡的經(jīng)濟(jì)主體而言，確定性收益（數(shù)學(xué)期望值）的效用大于效用的期望值。基于這一性質(zhì)，我們認(rèn)為，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的效用函數(shù)為凹函數(shù)。

U(x)xABC風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的效用函數(shù)

同樣地，我們可以得到風(fēng)險(xiǎn)偏好者和風(fēng)險(xiǎn)中性者的效用函數(shù)的特征。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好者而言，我們有：且其效用函數(shù)為凸函數(shù)。

x風(fēng)險(xiǎn)偏好者的效用函數(shù)BACU(x)

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)中性者而言，我們有其效用函數(shù)為線性效用函數(shù)。xU(x)3.效用函數(shù)的凸凹性的局部性質(zhì)經(jīng)濟(jì)行為主體效用函數(shù)的凸凹性實(shí)際上是一種局部性質(zhì)。即一個(gè)經(jīng)濟(jì)主體可以在某些情況下是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，在另一種情況下是風(fēng)險(xiǎn)偏好者。弗里德曼-薩維奇（1948）解釋了這種現(xiàn)象。他們認(rèn)為，效用函數(shù)是幾個(gè)不同的部分組成。在人們財(cái)富較少時(shí)，部分投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的；隨著財(cái)富的增加，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)有些漠不關(guān)心；而在較高財(cái)富水平階段，投資者則顯示出風(fēng)險(xiǎn)偏好。五、風(fēng)險(xiǎn)厭惡的度量1.確定性等值與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)確定性等值（certaintyequivalence）是指經(jīng)濟(jì)行為主體對(duì)于某一博彩行為的支付意愿。即與某一博彩行為的期望效用所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望值（財(cái)富價(jià)值）。風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（riskpremium）是指風(fēng)險(xiǎn)厭惡者為避免承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)而愿意放棄的投資收益。或讓一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者參與一項(xiàng)博彩所必需獲得的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。

即如果個(gè)體為回避一項(xiàng)公平博彩而愿意放棄的收益為ρ，則我們有：這里，ε為公平博彩的隨機(jī)收益（即報(bào)酬的微小增量），W為初始稟賦，ρ被稱之為馬科維茲風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。其值越大表明經(jīng)濟(jì)主體風(fēng)險(xiǎn)厭惡的程度越高。而W-ρ為確定性等價(jià)收益。

ρ即為風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，或稱風(fēng)險(xiǎn)貼水（升水）。u(x)u(x2)p1·u(x1)+p2·u(x2)u(x1)u=u(x)x1p1·x1+p2·x2x2xρ例：有一種彩票，獲得900元的概率是20%，獲得100元的概率是80%。如某人的效用函數(shù)形式為U=，問(wèn)該消費(fèi)者愿出多少錢去買這種彩票？風(fēng)險(xiǎn)貼水ρ的值是多少？解：∵U（CE）=0.2U(900)+0.8U(100)=14∴=14CE=196故他對(duì)彩票的最高出價(jià)是196元，風(fēng)險(xiǎn)貼水ρ：

0.2×900+0.8×100-ρ=196∴ρ=642.風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)

對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)很小的公平博彩行為，也即預(yù)期收益為0且預(yù)期收益的方差很小的博彩行為，如果效用函數(shù)是二次連續(xù)可微的，我們可對(duì)等式的兩邊在W做泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi):

這里，Re為高階余項(xiàng)，由于是風(fēng)險(xiǎn)很小的公平博彩，所以，Re可省略。由此，我們可以得到

可得：

上式的右邊由兩個(gè)部分構(gòu)成：是體現(xiàn)個(gè)體偏好的因素，而Var(ε)則是公平博彩隨機(jī)收益的方差，體現(xiàn)不確定性風(fēng)險(xiǎn)。I3I2I1ONBHA

將隨具體博彩的ε因素除去，留下僅反映個(gè)體主觀因素的部分，我們可以得到一個(gè)比風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)更為一般的風(fēng)險(xiǎn)厭惡測(cè)度指標(biāo)：

經(jīng)濟(jì)學(xué)家普拉特（Pratt,1964）和阿羅（Arrow,1970）分別證明了在一定的假設(shè)條件下，反映經(jīng)濟(jì)主體的效用函數(shù)特征的可以用來(lái)度量經(jīng)濟(jì)主體的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。因此，我們將稱為經(jīng)濟(jì)主體的阿羅-普拉特絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)（Arrow-Prattabsoluteaversion）。在金融理論中，我們時(shí)常需要相對(duì)測(cè)度量，如證券投資者關(guān)心的一般不是以多大的概率獲得多少絕對(duì)收益，而是以多大概率獲得百分之幾的收益。相應(yīng)地，我們可以推導(dǎo)出個(gè)體的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度。事實(shí)上，要得到相對(duì)意義上的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，只需要將絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的兩邊除以個(gè)體的初始稟賦即可：

Var（ε/W）是公平博彩相對(duì)收益的方差，另一部分稱為個(gè)體的阿羅-普拉特相對(duì)風(fēng)