2021屆中考數(shù)學(xué)壓軸題提升訓(xùn)練折疊與落點(diǎn)有跡性

2021屆中考數(shù)學(xué)壓軸題提升訓(xùn)練：折疊與落點(diǎn)有跡性【含答案】【例題圖ABCABC=5=8點(diǎn)P射線(xiàn)BC上動(dòng)接AP，沿折，當(dāng)點(diǎn)B的應(yīng)點(diǎn)’落在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上時(shí)，則的等于AB

B'PC【答案】或.【解析解點(diǎn)的動(dòng)軌跡是以點(diǎn)A為圓心以AB的為半徑的圓圓BC的直平分線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求的落點(diǎn)’，如圖作出圖形，B'ABB

分兩種情況計(jì)算：eq\o\ac(△,)接’，過(guò)B’’eq\o\ac(△,)于E，下圖所示，ABBPE

由題意知，’=B’C，=’=EC=4，’eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)BBCeq\o\ac(△,=)’CB，eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)BCeq\o\ac(△,+)，eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)CBeq\o\ac(△,+)’E，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,=)’，eq\o\ac(△,)CBEeq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)APB，△

ABBPBP,即，CE'EBE

設(shè)BP=x則Px，=4x，’=x，在B，由勾股定理得：x

x

，解得x=10（）或=，即BP；eq\o\ac(△,)作于，如圖所示，MB'A

HB

G

CNeq\o\ac(△,)=AB，AH，=5,eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)’=3B，設(shè)BP=x則Px，=－，在PGB中由勾股定理得：x

，解得：=10，BP=10;綜上所述，答案為：或.【變式】如圖，在邊長(zhǎng)為3的邊三角形ABC中點(diǎn)D為AC上點(diǎn)=1，點(diǎn)E為邊上與A，重的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE以DE為稱(chēng)軸折，A的應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)F落等邊三角形ABC邊上時(shí)的長(zhǎng)為．【答案】或－13.【解析】解：第一步：確定落點(diǎn)，點(diǎn)在為心，以線(xiàn)段AD長(zhǎng)為半徑的弧上，如下圖所示，

F

D

F

C第二步，根據(jù)落點(diǎn)確定折痕（對(duì)稱(chēng)軸）（DF，eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)ADF是邊三角形，eq\o\ac(△,)平ADF，eq\o\ac(△,)=EF；（）下圖所示，

D

F由對(duì)稱(chēng)知eq\o\ac(△,=)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,+)=120°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)DFCeq\o\ac(△,+)=120°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,=)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)Beq\o\ac(△,=)=60°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)CFD，△

BEBF,CFDFCD設(shè)AE=x則－，即

BF,CFeq\o\ac(△,)=，=，xeq\o\ac(△,)+=3，

即，解得：=5+

13

（舍）或－

，綜上所述，答案為：或－13.1.如圖是邊長(zhǎng)為3的的邊AB上動(dòng)點(diǎn)沿點(diǎn)P的線(xiàn)折點(diǎn)B落上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕交于E，點(diǎn)D是的個(gè)三等分點(diǎn)的長(zhǎng)為．【答案】或－13.【解析】解：第一步確定落點(diǎn)，的等分點(diǎn)有兩個(gè)，所以有兩種情況；第二步根據(jù)落點(diǎn)確定折痕，方法：作的直平分線(xiàn)即為折痕所在的直線(xiàn)；（）下圖所示，ADPB

EC由折疊性質(zhì)得eq\o\ac(△,=)=60°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)CDEeq\o\ac(△,+)=120°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)Aeq\o\ac(△,=)=60°ADPeq\o\ac(△,+)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)APDeq\o\ac(△,=)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)CEDeq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)ADP△

CEDE，AP設(shè)BP=DPx則－，△

CE2DE，3

eq\o\ac(△,)=

x，，3eq\o\ac(△,)=BE，eq\o\ac(△,)DE+=3，即

2+=3，解得：=；（）下圖所示，當(dāng)CD=1時(shí)APB同理可得：

EC△

CEDE，AP設(shè)BP=DPx則－，△

DE，eq\o\ac(△,)=

，，3△

x+=3，解得：=；綜上所述，的長(zhǎng)為或.2.如圖在形ABCD中AB=2ADF分是線(xiàn)段上點(diǎn)連使四邊形為正方形，若點(diǎn)G是AD上動(dòng)點(diǎn)，連接，矩形沿折使得點(diǎn)C落在正方ABFE的角線(xiàn)所在的直線(xiàn)上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則線(xiàn)段AP長(zhǎng)為．【答案】或﹣

．

【解析】解：如圖1所：由翻折的性質(zhì)可知PFCF，△為正方形，邊長(zhǎng)為2，eq\o\ac(△,)

．eq\o\ac(△,)﹣

．如圖2所：由翻折的性質(zhì)可知PFFC．△為正方形，eq\o\ac(△,)為的直平分線(xiàn)．eq\o\ac(△,)=PF．故答案為：或﹣2．3.如圖，在矩形ABCD中AB=8，AD，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)AE=2，點(diǎn)F在上，將△沿疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰落在BC的直平分線(xiàn)上時(shí)，折痕EF長(zhǎng)為．【答案】或4

．

【解析】解：第一步，確定落點(diǎn)，以E為心的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與的直平分線(xiàn)的交點(diǎn)即為A’，A'AE

A'第二步，作出折痕，求解(1)如圖所示，由折疊性質(zhì)知：EAE

，F(xiàn)，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,=)=90°，AMAD=3過(guò)E作于，則四邊形AEHM矩形，eq\o\ac(△,)=2

，由勾股定理得：=eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)=3由MF+A2=A2，

3

，得（3﹣）+（3

）=2解得：=2在，由勾股定理得=4；（）下圖所示，

可得：EAE=23，=F，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,=)=90°過(guò)A作交于G，CD于H，四邊形是矩形，eq\o\ac(△,)AG，==6，′H=AG，在AEG中，由勾股定理得EG，eq\o\ac(△,)AG=3

，在AHF中，由勾股定理得AF=6，在，由勾股定理得=4

3

；故答案為：或

3

．4.在矩形ABCD中，＝，＝，點(diǎn)E在上且BE＝，矩沿過(guò)點(diǎn)的線(xiàn)折疊，點(diǎn)C，的應(yīng)點(diǎn)分為C，，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，點(diǎn)B，，′恰好在同一直線(xiàn)上時(shí)的為．【答案】3

，3

．【解析】解：由折疊的性質(zhì)得D＝eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)＝90°，＝，eq\o\ac(△,)、、在同一直線(xiàn)上，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)BCE＝eq\o\ac(△,)＝，＝，eq\o\ac(△,)＝，E＝＝，在BC中eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)＝30°，eq\o\ac(△,)點(diǎn)C在B、’之時(shí)，過(guò)E作于，長(zhǎng)交AD于，四邊形是形，

eq\o\ac(△,)＝AB6，AG＝＝，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)BE＝30°eq\o\ac(△,)＝，△△BEC＝，由折疊的性質(zhì)得＝CEFeq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)EF＝△CEF＝，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)HFE＝CEF＝，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)EFH是邊三角形，eq\o\ac(△,)EFG中，EG＝，2

，eq\o\ac(△,)═8+2

；eq\o\ac(△,)點(diǎn)D在B、’之間時(shí)，過(guò)F作于，F(xiàn)交BE，同理可得：＝﹣3，故答案為：3或8

．5.如圖形ABCD中5＝E為線(xiàn)一動(dòng)點(diǎn)AE折EB恰落在射線(xiàn)，則BE的為．

【答案】或.【解析】解：第一步：確定落點(diǎn)，以為心的為半徑畫(huà)弧，交射線(xiàn)CD于B，分兩種情況討論；DB'

A第二步，根據(jù)落點(diǎn)作出折痕，求解；（）下圖所示，B'

CEA由折疊知：＝＝，E＝，eq\o\ac(△,)＝﹣，eq\o\ac(△,)＝，eq\o\ac(△,)＝，＝，由勾股定理知：E

＝+BC，eq\o\ac(△,)2

＝（﹣）+1

，eq\o\ac(△,)＝；（）下圖所示，AB＝＝，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)，

eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)垂平分，eq\o\ac(△,)＝＝，eq\o\ac(△,)＝，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)CEFeq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)ABECF△，AB即，eq\o\ac(△,)＝，eq\o\ac(△,)＝，故答案為：或15．6.如圖，在等邊三角形ABC中＝

，M為BC的點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A合關(guān)于直線(xiàn)MN的稱(chēng)點(diǎn)B恰落在等邊三角形ABC的上BN的為

．【答案】

32

或.【解析】解不重，eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)落點(diǎn)不會(huì)在BC上分兩種情況討論：（）關(guān)于直線(xiàn)MN的稱(chēng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，此時(shí)，eq\o\ac(△,)，△=90°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)ABC是邊三角形，AB＝

，是BC中，

eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)B，=3,3eq\o\ac(△,)=BM=；2（）點(diǎn)關(guān)直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在邊AC上，則可：四邊形N是形，eq\o\ac(△,)＝＝BC＝，故答案為：

32

或

．7.在矩形ABCD中＝，＝，P在AB上．若沿DP折疊，使點(diǎn)落矩形對(duì)角線(xiàn)上的A處則AP的為．【答案】

3或.24【解析解矩形對(duì)角線(xiàn)有兩條BD所以先以D為心以AD的為半徑作弧與角線(xiàn)AC、BD交點(diǎn)即為A’點(diǎn)；再作出’的直平分線(xiàn)即折痕；（）落在矩形對(duì)角線(xiàn)BD上，由AB＝，＝，：＝，根據(jù)折疊的性質(zhì)ADD＝3，AP＝P，eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)＝eq\o\ac(△,)D＝90°，eq\o\ac(△,)＝，設(shè)AP＝，＝﹣，由勾股定理得：2＝2

+2，（﹣）

＝2+2

，解得x＝

32

，eq\o\ac(△,)＝

32

；eq\o\ac(△,)落在矩形對(duì)角線(xiàn)AC上

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：易證ACBeq\o\ac(△,=)，△△ACBtan△APDeq\o\ac(△,)＝

BC=．AB故答案為：

39或.248.如圖，中＝，AB＝，＝，、分邊B、上的動(dòng)點(diǎn)，將該四邊形沿折痕E翻折，使點(diǎn)落邊BC的等分點(diǎn)處，A的為．【答案】

3或.24【解析】解：第一步確定落點(diǎn)，因?yàn)锽C三等分點(diǎn)有兩個(gè)，所以分兩種情況討論，第二步，確定落點(diǎn)后，畫(huà)出折痕EF求解(1)如下圖所示F

CA

EH過(guò)點(diǎn)作AHeq\o\ac(△,)交AB的長(zhǎng)線(xiàn)于H，則eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)’BH=60°，eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)’，

22eq\o\ac(△,)=1，H,設(shè)AE=’E=，則－，=9，在AEH中，由勾股定理得：x2;即AE

，解得：=

，（）下圖所示，F(xiàn)

A'A

EB

過(guò)點(diǎn)作AHeq\o\ac(△,)交AB的長(zhǎng)線(xiàn)于H，則eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△