中學數(shù)學解題方法(第二章數(shù)學問題發(fā)現(xiàn)與解決的基本方法)

第二章數(shù)學問題發(fā)現(xiàn)與解決的基本方法數(shù)學的真正組成部分是問題和解．數(shù)學研究主要的就是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題．

——Halmos（美國）數(shù)學發(fā)現(xiàn)與解決的基本方法包括：觀察與聯(lián)想、嘗試與實驗、猜想與歸納、類比與推廣．

第一節(jié)觀察與聯(lián)想1.1觀察的意義和作用觀察，就是“仔細察看”

從心理學的角度看，觀察是一種有目的、有計劃、有步驟的、主動的、對思維起積極作用的感知活動．包括感覺和知覺．

從信息論的角度看，觀察是外部環(huán)境的信息通過感官輸送到大腦皮層，經(jīng)過加工處理，感知外部世界的過程．包括信息的輸入和信息的初步加工．

從認識論的角度看，觀察是人類科學認識的一種重要實踐活動，是獲取感性經(jīng)驗的科學事實的根本途徑．

從方法論的角度看，觀察是人們通過感官，或借助于一定的科學儀器，對客觀對象在自然條件下，有目的、有計劃、有步驟地進行考察和描述的一種方法．

觀察是認識主體通過感官對客體的認識（活動）過程．

觀察是人類科學認識中最重要的實踐活動，是搜索、獲取經(jīng)驗材料和科學事實的基本途徑；觀察是進行科學研究的基點，是一切發(fā)明創(chuàng)造的源頭；同時，觀察還是檢驗科學認識真理性的標尺．1.2聯(lián)想的意義和作用

聯(lián)想——“舉一反三”、“由此及彼”和“觸類旁通”1．接近聯(lián)想

接近聯(lián)想指的是由概念、原理、法則的接近而產(chǎn)生的聯(lián)想，也稱為形似聯(lián)想．它是由數(shù)學問題的已知條件和結論的呈現(xiàn)狀態(tài)與結構特征，聯(lián)想到相關或相似的定義、定理、公式和圖形等，是一種由此及彼、由表及里的聯(lián)想．2．類比聯(lián)想

類比聯(lián)想指的是根據(jù)數(shù)學問題的總體特征，從具有類似或相似特征的數(shù)、式、圖形以及詳盡內容或性質等角度進行的聯(lián)想，也稱為對比聯(lián)想．3．關系聯(lián)想

關系聯(lián)想指的是根據(jù)知識之間的從屬關系、一般關系、因果關系以及其內在聯(lián)系進行的聯(lián)想．4．逆向聯(lián)想

逆向聯(lián)想指的是從問題的正面想到其反面時進行的聯(lián)想．逆向聯(lián)想在解題方法上表現(xiàn)為間接法，如反證法、同一法等．逆向聯(lián)想通常在從正面解題難于實現(xiàn)時運用．5．橫向聯(lián)想

橫向聯(lián)想指的是借助存在于數(shù)學知識各分支之間，乃至數(shù)學知識與其他學科知識之間的相互聯(lián)系而進行的聯(lián)想．1.3觀察與聯(lián)想在數(shù)學解題中的應用舉例

例3求證：正四面體內任意一點到四面體各面的距離之和為定值．

第二節(jié)嘗試與轉換

2.1嘗試的意義和作用

嘗試即試探性解題．

嘗試是探索性思維的重要表現(xiàn)形式之一，它在數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)與解決過程中通常是與數(shù)學問題的等價轉換共同發(fā)揮作用的．2.2轉換的意義和作用

數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)與解決過程，究其實質，就是問題的連續(xù)等價轉換、連續(xù)化簡的過程．轉換的基本方法（1）簡單化轉換

考慮符合題意的最簡單情形，嘗試解決，而后將解題策略遷移到一般情形．（2）特殊化轉換

將不易發(fā)現(xiàn)解題策略的問題作特殊化轉換是一種常用而且重要的方法．在進行特殊化轉換時，借助特殊點、特殊值、特殊情形最為常用．（3）極端化轉換

數(shù)學問題的極端情形的求解策略與一般情形的求解策略往往存有共性，極端情形的求解策略往往能為一般情形的求解策略提供啟示．（4）分解式轉換

從問題的整體結構入手，將問題分解還原為若干個小問題，使問題分解轉換為容易解決的小問題，而后各個擊破，從而完成問題的求解．（5）逆行式轉換

順推受阻，嘗試逆推；直接求解受阻，嘗試間接求解；正面入手困難，嘗試反面入手．（6）變焦式轉換

轉換觀察問題的視角，或變換論題，或跨越知識分支審視問題，或數(shù)形互換，從而發(fā)現(xiàn)最容易突破解題障礙的方向與方案．2.3嘗試與轉換在數(shù)學解題中的應用舉例

第三節(jié)猜想與歸納

3.1猜想的意義和作用

猜想指的是在數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)與解決過程中，通過對特殊情形下數(shù)學問題的觀察、聯(lián)想，捕捉其本質屬性，進而大膽猜想，得出一般情形下的數(shù)學結論或方法．

沒有大膽的猜測，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)．

——牛頓3.2歸納的意義和作用

以對特殊情形下數(shù)學問題的觀察、聯(lián)想為基礎，以大膽猜想為前提，得出歸納判斷，而后對歸納判斷加以論證，確定其真實性，這一方法的思維基礎便是歸納思想．

歸納思想在數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)與解決過程中具體體現(xiàn)為歸納推理，歸納推理的方法稱為歸納法．

數(shù)學問題發(fā)現(xiàn)與解決過程中的歸納法，指的是通過對同一類數(shù)學問題的特殊情形的研究，進而得出一般結論的方法．3.3猜想與歸納在數(shù)學解題中的應用舉例

第四節(jié)類比與推廣

4.1類比的意義和作用

類比指的是通過對一個事物的認識來認識與之相似的另一事物的認識方式．

相似的系統(tǒng)在某個方面彼此一致，類比的系統(tǒng)則其相應部分在某些關系上相似；如果兩個系統(tǒng)各自的部分之間在其可以清楚定義的一些關系上一致的話，那么這兩個系統(tǒng)就可作類比．——波利亞

在數(shù)學里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比．

——拉普拉斯

我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它是最不容忽視的．

——開普勒

類比是一種“合情”的“似然”推理，其結論的正確性必須經(jīng)過進一步的論證．這是因為，類比的推理過程中使用的“相似”本身就是不確定的．4.2推廣的意義和作用

推廣是一種“合情”的“似然”推理，其前提與結論之間的因果關系不是必然、而是或然的．因此，數(shù)學問題推廣所得結論的正確性必須經(jīng)過進一步的論證．

數(shù)