山西省忻州市業(yè)余少體校2023年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

山西省忻州市業(yè)余少體校2023年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，，且，則向量與夾角的大小為

A.

B.

C.

D.參考答案：C2.如果命題“p且q”的否定為假命題，則（）A．p、q均為真命題 B．p、q均為假命題C．p、q中至少有一個(gè)為真命題 D．p、q中至多有一個(gè)為真命題參考答案：A【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題的真假．【分析】根據(jù)命題的否定求出”p且q”是真命題，從而判斷命題的真假．【解答】解：若“p且q”的否定是假命題，則“p且q”是真命題，故p，q均是真命題，故選：A．3.數(shù)列前項(xiàng)和為，已知，且對(duì)任意正整數(shù)，都有，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A.

B.

C.

D.4參考答案：C4.已知函數(shù)（其中），則函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）個(gè)A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：B【分析】求導(dǎo)得到得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，計(jì)算，得到答案.【詳解】（其中）.故或時(shí)，時(shí)，即在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.由于，而，所以，又，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是解題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第（13）~（21）題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答，第（22）~（23）題為選考題，考生根據(jù)要求做答.5.已知兩點(diǎn)A（﹣1，1），B（3，5），點(diǎn)C在曲線y=2x2上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣參考答案：D【分析】設(shè)C（x，2x2），得出關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出最小值．【解答】解：設(shè)C（x，2x2），則=（4，4），=（x+1，2x2﹣1），∴=4（x+1）+4（2x2﹣1）=8x2+4x=8（x+）2﹣．∴當(dāng)x=﹣時(shí)取得最小值﹣．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，函數(shù)最值得計(jì)算，屬于中檔題．6.若實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組則z=|x|+2y的最大值是（

）A．10 B．11 C．13 D．14參考答案：D【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題E5當(dāng)x時(shí)，2y=-x+z表示的是斜率為-1截距為z的平行直線系，當(dāng)過(guò)點(diǎn)（1,5）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大，=1+2=11，當(dāng)x<0時(shí)，2y=x+z表示的是斜率為-1截距為z的平行直線系,當(dāng)過(guò)點(diǎn)（-4,5）時(shí)，=4+2=14.

【思路點(diǎn)撥】利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求z的最大值．7.設(shè)函數(shù)，，給定下列命題：①若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則；②若方程恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則；③若，總有恒成立，則；④若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù).則正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C對(duì)于①，的定義域，，令有即，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，且當(dāng)時(shí)，又，從而要使得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，故①正確對(duì)于②，易知不是該方程的根，當(dāng)時(shí)，，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于和只有一個(gè)交點(diǎn)，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為。由大致圖像可知或，故②錯(cuò)對(duì)于③

當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，則，于是，故③正確.對(duì)于④

有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)不同的正根，即方程有兩個(gè)不同的正根，由③可知，，即，則④正確.故正確命題個(gè)數(shù)為3，故選.8.偶函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的值可以為（）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)圖像變換因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以得，

向右平移個(gè)單位得到，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。故答案為：B9.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．E5F3

【答案解析】B

解析：滿足約束條件的平面區(qū)域如下圖所示：將平面區(qū)域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別代入平面向量數(shù)量積公式當(dāng)x=1，y=1時(shí)，?=﹣1×1+1×1=0當(dāng)x=1，y=2時(shí)，?=﹣1×1+1×2=1當(dāng)x=0，y=2時(shí)，?=﹣1×0+1×2=2故和取值范圍為[0，2]故選B.【思路點(diǎn)撥】先畫(huà)出滿足約束條件的平面區(qū)域，求出平面區(qū)域的角點(diǎn)后，逐一代入分析比較后，即可得到?的取值范圍．10.已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4﹣2a72+3a8=0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7=a7，則b2b8b11等于(

) A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：D考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知方程結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解a7，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解答案．解答： 解：∵數(shù)列{an}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，由a4﹣2+3a8=0，得，，，∴，解得：a7=2．則b7=a7=2．又?jǐn)?shù)列{bn}是等比數(shù)列，則b2b8b11=．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在區(qū)間上的最大值是________________參考答案：略12.在數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)不等式恒成立時(shí)，的所有可能取值為

.參考答案：或或試題分析：由得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以，由，，所以即，當(dāng)時(shí)，該不等式不成立，當(dāng)時(shí)有恒成立，當(dāng)時(shí)，，，這時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，這時(shí)或，當(dāng)時(shí)，不成立，所以的所有可能取值為或或.考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推公式；2.等差數(shù)列的定義與求和公式；3.不等式恒成立問(wèn)題.【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式、等差數(shù)列的定義與求和公式、不等式恒成立問(wèn)題，屬難題；數(shù)列的遞推公式一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，本題給出的遞推公式非常復(fù)雜，很難看出其關(guān)系，但所要求的數(shù)列的和給出了我們解題思路，即在解題中強(qiáng)行構(gòu)造數(shù)列是解題的關(guān)鍵，然后根據(jù)不等式恒成立分類討論求解，體現(xiàn)的應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題的能力.13.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____________(用數(shù)字作答)

參考答案：24略14.已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，各項(xiàng)點(diǎn)都在同一球面上，若，，，，則此球的表面積等于

.

參考答案：略15.命題“,”的否定是

；參考答案：略16.若函數(shù)的最小正周期是π，則實(shí)數(shù)=__________．參考答案：±2函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）最小正周期是,即所以±2故答案為±2

17.歐陽(yáng)修在《賣油翁》中寫(xiě)到：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”，可見(jiàn)賣油翁的技藝之高超，若銅錢直徑4厘米，中間有邊長(zhǎng)為1厘米的正方形小孔，隨機(jī)向銅錢上滴一滴油（油滴大小忽略不計(jì)），則油恰好落入孔中的概率是

．參考答案：由幾何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案為：.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間及極值.（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】（Ⅰ）極小值為1+ln2，函數(shù)無(wú)極值.（2）（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

，當(dāng)a=0時(shí)，，則，∴的變化情況如下表x(0，)(，+∞)-0+極小值∴當(dāng)時(shí)，

的極小值為1+ln2，函數(shù)無(wú)極值.

（Ⅱ）由已知，得，

若,由得,顯然不合題意，

若∵函數(shù)區(qū)間是增函數(shù)，

∴對(duì)恒成立，即不等式對(duì)恒成立，

即

恒成立，

故，而當(dāng)，函數(shù)，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．

另解:∵函數(shù)區(qū)間是增函數(shù)，

對(duì)恒成立，即不等式對(duì)恒成立，

設(shè)，恒成立恒成立，

若，由得，顯然不符合題意；

若，由，無(wú)解，顯然不符合題意；

若，

，故，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）首先確定函數(shù)的定義域（此步容易忽視），把代入函數(shù)，再進(jìn)行求導(dǎo)，列的變化情況表，即可求函數(shù)的極值；（Ⅱ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，再對(duì)分和兩種情況討論（此處易忽視這種情況），由題意函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則對(duì)恒成立，即不等式對(duì)恒成立，從而再列出應(yīng)滿足的關(guān)系式，解出的取值范圍．19.如圖，現(xiàn)有一個(gè)以∠AOB為圓心角、湖岸OA與OB為半徑的扇形湖面AOB．現(xiàn)欲在弧AB上取不同于A，B的點(diǎn)C，用漁網(wǎng)沿著弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半徑OC和線段CD（其中CD∥OA），在該扇形湖面內(nèi)隔出兩個(gè)養(yǎng)殖區(qū)域﹣﹣養(yǎng)殖區(qū)域Ⅰ和養(yǎng)殖區(qū)域Ⅱ．若OA=1cm，，∠AOC=θ．（1）用θ表示CD的長(zhǎng)度；（2）求所需漁網(wǎng)長(zhǎng)度（即圖中弧AC、半徑OC和線段CD長(zhǎng)度之和）的取值范圍．參考答案：解：（1）由CD∥OA，∠AOB=，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=，∠COD=﹣θ．在△OCD中，由正弦定理，得CD=sin（），θ∈（0，）（2）設(shè)漁網(wǎng)的長(zhǎng)度為f（θ）．由（1）可知，f（θ）=θ+1+sin（）．所以f′（θ）=1﹣cos（），因?yàn)棣取剩?，），所以﹣θ∈（0，），令f′（θ）=0，得cos（）=，所以﹣θ=，所以θ=．θ（0，）（，）f′（θ）+0﹣f（θ）

極大值

所以f（θ）∈（2，]．故所需漁網(wǎng)長(zhǎng)度的取值范圍是（2，]．略20.（12分）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且．設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線方程，并設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）用、、表示m；

（Ⅱ）證明：當(dāng)，；（Ⅲ）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系．參考答案：解析：（Ⅰ）

……2分

（Ⅱ）證明：令

因?yàn)檫f減，所以遞增，因此，當(dāng)；當(dāng).所以是唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知的最小值為0，因此即

……6分

（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.

對(duì)任意成立的充要條件是

另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過(guò)點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為

于是的充要條件是

……10分

綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是

①

顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式

②

有解、解不等式②得

③

因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.

……12分

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.

對(duì)任意成立的充要條件是

……8分

令，于是對(duì)任意成立的充要條件是

由

當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.因此成立的充要條件是，即

………10分

綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是

①

顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式

②

有解、解不等式②得

因此