例析圓中的幾何變換

例析圓中的幾何變換在近幾年的各地中考中，幾何變換作為一種數(shù)學(xué)思想與方法，不斷地被命題者青睞與關(guān)注，在現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)課本中，主要存在平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱（即翻折）三種幾何變換.它們最大的特征都是不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形位置的變換。而圓作為初中階段讓我們結(jié)合各地中考（例1圖1）讓我們結(jié)合各地中考（例1圖1）一、利用平移構(gòu)造例1如圖，GP內(nèi)含于。0，?O的弦AB切?P于點(diǎn)C，且AB//OP?若陰影部分的面積為9冗，則弦AB的長(zhǎng)為（ ）A?3 B?4 C?6 D?9思路點(diǎn)撥：兩圓內(nèi)含，陰影部分的面積為9冗，如果將GP向左平移，與OO構(gòu)造同心圓，此時(shí)陰影部分的圖形為環(huán)形（如圖2）,則此時(shí)/COB已構(gòu)造成直角三角形。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)小圓的左移，構(gòu)造出兩圓為同心圓的特殊位置，并進(jìn)而形成了一個(gè)圓環(huán)的陰影部分，由切線的性質(zhì)并進(jìn)而構(gòu)造出圓的垂徑定理、勾股定理等需要知識(shí)。二、利用翻折構(gòu)造例2：如圖，3的半徑為2,C1是函數(shù)y=1兀2的圖象，C2是122函數(shù)丁=丄爐的圖象，則陰影部分的面積是 .2點(diǎn)評(píng)：翻折問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱變換，把握翻折的兩部分是全等圖形、重合圖形，通過(guò)翻折，將非特殊圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形（半圓形），解題的關(guān)鍵是面積的割補(bǔ)及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。三、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造TI唱2例3：（1）如圖1,圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA,OD、OE為00的半徑，OD1BC于點(diǎn)F,OEXAC于點(diǎn)G.求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是AABCTI唱21面積的—?3（2）如圖2,若NDOE保持120°角度不變.求證：當(dāng)ZDOE繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑1和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是AABC面積的-?3思路點(diǎn)撥：如圖，連OA,OC,貝U由于ZDOE=ZAOC=720°,也就是/FOC繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到/EOA,此時(shí)陰影部分的面積為/AOC的面積，而/AOC的面積是整個(gè)三角形/ABC的面積的三分之一。

點(diǎn)評(píng)：旋轉(zhuǎn)變換是將已知圖形（或其中一部分）繞一點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造出新的圖形，進(jìn)而揭示條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到解題的途徑。由特殊到一般是我們常用的一種數(shù)學(xué)思考方法，本題的關(guān)鍵在于充分利用旋轉(zhuǎn)變換和面積的割補(bǔ)法來(lái)完成。實(shí)戰(zhàn)演練（請(qǐng)編輯根據(jù)需要選用）1、如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為800的半徑為2，圓心在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使EA恰好與00相切于點(diǎn)A'QEFA與?0除切點(diǎn)外無(wú)重疊部分），延長(zhǎng)FA交CD邊于點(diǎn)G,則A，G的長(zhǎng)是 。B 廣第1題2、如圖，OA、0B的圓心A、B在直線l上,兩圓半徑都為1cm,開(kāi)始時(shí)圓心距AB=4cm,現(xiàn)OA、0B同時(shí)沿直線l以每秒2cm的速度相向移動(dòng)，則當(dāng)兩圓相切時(shí)，O兩圓相切時(shí)，OA運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3、如圖，04和0B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)y=1的圖象x上，則圖中陰影部分的面積等于 ?第3第3題4、如圖，圓心角都是90°的扇形OAB與扇形OCD疊放在一起，連結(jié)AC，BD.1）求證：AC=BD；OA=2cm,OA=2cm,求OC的長(zhǎng).（2）若圖中陰影部分的面積是-“cm2，4

參考答案1、16 2、2,4,6 3、“34、解:(1)證明:ZAC>E=ZCOD=90d=>ZAOC+ZAOD=￡BOD+ZAOD^ZAOC=ZBOD^AJO=BO'^hAOC=LBODCO=DO\=AC=ED（2）根據(jù)題意得:陰影90兀OA2 90兀OC2 90兀(