【教案】函數(shù)的單調(diào)性（第1課時）教學設(shè)計人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應(yīng)用《5．3．1函數(shù)的單調(diào)性》教學設(shè)計第1課時教學目標教學目標1．通過具體函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負之間的關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)．2．能根據(jù)函數(shù)導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，體會算法思想，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)．教學重難點教學重難點教學重點：理解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負之間的關(guān)系．教學難點：運用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程【新課導入】問題1：閱讀課本第84~87頁，回答下列問題：（1）本節(jié)將要探究哪類問題？（2）本節(jié)探究的起點是什么？目標是什么？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應(yīng)問題．預設(shè)的答案：（1）本節(jié)課主要學習函數(shù)的單調(diào)性；（2）學生已經(jīng)具有導數(shù)概念、導數(shù)幾何意義、導數(shù)計算、函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)的數(shù)學概念知識，對函數(shù)的單調(diào)性有一定的認識，對相應(yīng)導數(shù)的內(nèi)容也具有一定的儲備．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中的一個重要性質(zhì)，學生在必修一中已經(jīng)學習了函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)容，如利用函數(shù)圖象、單調(diào)性定義來研究函數(shù)的單調(diào)性，在學習導數(shù)的基礎(chǔ)上利用導數(shù)相關(guān)知識研究函數(shù)單調(diào)性是導數(shù)的一個重要應(yīng)用，也為下一節(jié)學習函數(shù)的極值打下基礎(chǔ)，因此，本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的作用．在學習過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法的滲透．設(shè)計意圖：通過閱讀讀本，讓學生明晰本階段的學習目標，初步搭建學習內(nèi)容的框架．問題2：在必修第一冊中，我們通過圖象直觀，利用不等式、方程等知識，研究了函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及最大（?。┲档刃再|(zhì)．在本章前兩節(jié)中，我們學習了導數(shù)的概念和運算，知道導數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學表達，它定量地刻畫了函數(shù)的局部變化．能否利用導數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)呢？設(shè)計意圖：通過回顧以前的知識，提出問題，引導學生探究利用函數(shù)的求導來研究函數(shù)的性質(zhì)．發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．問題3：如圖（1）是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)的圖象，圖（2）是跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)的圖象．，b是函數(shù)的零點．運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學上刻畫這種區(qū)別？師生活動：學生思考，教師講解．設(shè)計意圖：通過熟悉的問題，引導學生思考、探究，進而引入新課：利用函數(shù)的求導來研究函數(shù)的性質(zhì)．發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．【探究新知】知識點1：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號之間的關(guān)系觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)：（1）從起跳到最高點，運動員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而增加，即單調(diào)遞增．相應(yīng)地，．（2）從最高點到入水，運功員的重心處于下降狀態(tài)，畫水面的高度h隨時間t的增加而減小，即單調(diào)遞減．相應(yīng)地，．問題4：從以上觀察中發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與的正負有內(nèi)在聯(lián)系．那么，我們能否由的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性呢？師生活動：學生思考，教師講解．預設(shè)的答案：在問題3中，可以發(fā)現(xiàn)：當時，，函數(shù)的圖象是“上升”，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)的圖象是“下降”，函數(shù)在上單調(diào)遞減．設(shè)計意圖：通過前面的問題，進一步引導學生思考、探究導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系．發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．問題5：觀察下面函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負的關(guān)系．師生活動：學生分組討論，派代表回答，教師完善．預設(shè)的答案：從函數(shù)導數(shù)的幾何意義理解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的正負之間的關(guān)系：導數(shù)f(x0)表示函數(shù)f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率．設(shè)計意圖：讓學生結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象（直觀），探討函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導數(shù)的正負之間的關(guān)系，進一步感受可用函數(shù)的導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性．教師講解：如下圖，導數(shù)表示函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率．可以發(fā)現(xiàn)：在處，，切線是“左下右上”的上升式，函數(shù)的圖象也是上升的，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”的下降式，函數(shù)的圖象也是下降的，函數(shù)在附近單調(diào)遞減．結(jié)論：一般地，函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的正負之間具有如下的關(guān)系：在某個區(qū)間上，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；在某個區(qū)間上，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．【想一想】判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上都有f′(x)＜0，則函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減．()(2)判斷函數(shù)單調(diào)性時，在區(qū)間內(nèi)的個別點f′(x)＝0，不影響函數(shù)在此區(qū)間的單調(diào)性．()師生活動：學生討論后回答，教師完善．預設(shè)的答案：(1)√函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上都有f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確．(2)√若f′(x)≥0(≤0)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)，故f′(x)＝0不影響函數(shù)單調(diào)性．【鞏固練習】例1利用導數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：（1）；（2）；（3）．師生活動：學生分組討論，每組派一代表回答．教師完善．預設(shè)的答案：（1）因為，所以．所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，如圖（1）所示．（2）因為，所以．所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，如圖（2）所示．（3）因為，所以．所以，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，如圖（3）所示．設(shè)計意圖：通過具體函數(shù)，體會研究導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本原理，發(fā)展學生直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：用解不等式法求單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；（2）求導函數(shù)f′（x）；（3）解不等式f′′（x）＞0或f′（x）＜0，并寫出解集；（4）根據(jù)（3）的結(jié)果確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．例2．已知導函數(shù)f'x的下列信息，試畫出函數(shù)f當1<x<4時,f'當x>4,或x<1時,f'當x=4,或x=1時,f'x師生活動：學生分組討論，派代表回答，教師完善．預設(shè)的答案：當1<x<4時,,f'x>0可知當x>4,或x<1時,f'x<0;可知當x=4,或x=1時,f'x綜上,函數(shù)f(x設(shè)計意圖：通過典型例題的分析和解決，幫助學生熟練掌握運用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟和方法，發(fā)展學生數(shù)學運算，直觀想象和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：研究函數(shù)圖象與其導函數(shù)圖象之間的關(guān)系的著手點：研究一個函數(shù)圖象與其導函數(shù)圖象之間的關(guān)系時，注意抓住各自的關(guān)鍵要素．對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增、在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零、在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致．練習：教科書P87練習1、2設(shè)計意圖：通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．【課堂總結(jié)】1．板書設(shè)計：5．3．1函數(shù)的單調(diào)性（第1課時）新知探究鞏固練習知識點1：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)符號之間的關(guān)系例1例22．總結(jié)概括：函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導函數(shù)f′(x)正負的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：f′(x)的正負f(x)的單調(diào)性f′(x)＞0單調(diào)遞增f′(x)＜0單調(diào)遞減師生活動：學生總結(jié)，老師適當補充．設(shè)計意圖：通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力．3．課堂作業(yè)：教科書P97習題5．31教科書P87練習3【目標檢測設(shè)計】1．導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()ABCD設(shè)計意圖：進一步鞏固導函數(shù)的符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系．2．下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是()A． B． C． D．設(shè)計意圖：進一步鞏固利用導函數(shù)的符號來判斷原函數(shù)的單調(diào)性．3．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A． B． C． D．設(shè)計意圖：進一步鞏固如何利用導函數(shù)的符號來求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．4．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_____________．設(shè)計意圖：進一步鞏固函數(shù)導數(shù)的求法、復合函數(shù)的求導法則以及利用導函數(shù)的符號來求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．參考答案：1．