自動(dòng)控制系統(tǒng)課件PPT第5章 頻率法

5章頻率法2010.11.1415.頻率法5.1頻域特性的概念5.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制5.3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性2010.11.1425.1頻域特性的概念5.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制5.3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性5.頻率法2010.11.1435.1頻域特性的概念

頻率響應(yīng)法的特點(diǎn)頻率特性是控制系統(tǒng)在頻域中的一種數(shù)學(xué)模型，是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種工程方法。系統(tǒng)頻率特性能間接地揭示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，可簡(jiǎn)單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，指出系統(tǒng)改進(jìn)方向。頻率特性可以由實(shí)驗(yàn)確定，這對(duì)于難以建立動(dòng)態(tài)模型的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，很有用處。5.頻率法2010.11.144傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加

5.頻率法偉大的傅立葉原理2010.11.1455.頻率法輸入信號(hào)的拉氏變換P273/P389線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為輸入信號(hào)為2010.11.1465.頻率法系統(tǒng)的傳遞函數(shù)通常可以寫成

由此得到輸出信號(hào)的拉氏變換2010.11.1475.頻率法

系統(tǒng)的輸出為P74

(5-1)對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng),s1,s2,….sn都具有負(fù)實(shí)部，當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，上式的暫態(tài)分量將衰減至零。因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

(5-2)

其中待定系數(shù)b和可按下式計(jì)算(5-3)(5-4)2010.11.1485.頻率法

G(jω)用模和幅角可表示為(5-5)

(5-6)

2010.11.1495.頻率法(5-8)或(5-9)式中為穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)的幅值。歐拉公式：2010.11.14105.頻率法

上式表明，線性定常系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是與正弦輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)；輸出信號(hào)的振幅是輸入信號(hào)振幅的倍；輸出信號(hào)相對(duì)輸入信號(hào)的相移為；輸出信號(hào)的振幅及相移都是角頻率的函數(shù)。(5-10)稱為系統(tǒng)的頻率特性，它反映了在正弦輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號(hào)的關(guān)系。2010.11.14115.頻率法其中(5-11)

稱為系統(tǒng)的幅頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號(hào)作用下，輸出穩(wěn)態(tài)幅值與輸入信號(hào)幅值的比值，即系統(tǒng)的放大（或衰減）特性。(5-12)稱為系統(tǒng)的相頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號(hào)的作用下，輸出信號(hào)相對(duì)輸入信號(hào)的相移。系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。2010.11.1412根據(jù)傳遞函數(shù)求取頻率特性:傳遞函數(shù):頻率特性:（s=j）5.頻率法A（）—幅頻特性；G（j）的模，它等于穩(wěn)態(tài)的輸出分量與輸入分量幅值之比.P134（）—相頻特性；G（j）的幅角，它等于穩(wěn)態(tài)輸出分量與輸入分量的相位差。2010.11.14135.頻率法5.1頻域特性的概念

5.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制5.3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性2010.11.1414

以角頻率ω為參變量，根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性在復(fù)平面上繪制出的頻率特性叫做幅相特性曲線或頻率特性的極坐標(biāo)圖。它是當(dāng)角頻率ω從0到無(wú)窮變化時(shí)，矢量的矢端在平面上描繪出的曲線。曲線是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性繪制P1365.頻率法5.2.1典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線2010.11.14155.頻率法1.放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）放大環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其對(duì)應(yīng)的頻率特性是

（5-13）（5-14）其幅頻特性和相頻特性分別為圖5-1放大環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng).0K2010.11.1416積分環(huán)節(jié)對(duì)正弦輸入信號(hào)有900的滯后作用；其幅頻特性等于，是ω的函數(shù)，5.頻率法2.積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的頻率特性幅頻特性和相頻特性分別為

頻率特性如圖所示。圖5-2積分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)2010.11.14175.頻率法

3.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為幅頻特性和相頻特性分別為.010.5

圖5-3慣性環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)

當(dāng)ω由零至無(wú)窮大變化時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是正實(shí)軸下方的半個(gè)圓周。2010.11.14185.頻率法4.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是

（5-15）其頻率特性是

幅頻特性和相頻特性分別為

2010.11.14195.頻率法圖5-4振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性均與阻尼比ξ有關(guān)，不同阻尼比的頻率特性曲線如圖所示。2010.11.14205.頻率法

5.一階微分環(huán)節(jié)典型一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為其中τ為微分時(shí)間常數(shù)。幅頻特性和相頻特性分別為1

圖5-5一階微分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)頻率特性如圖所示。它是一條過(guò)點(diǎn)（1，j0）與實(shí)軸垂直相交且位于實(shí)軸上方的直線。純微分環(huán)節(jié)的頻率特性與正虛軸重合。2010.11.14215.頻率法

6.二階微分環(huán)節(jié)其頻率特性是

幅頻特性和相頻特性分別為二階微分環(huán)節(jié)頻率特性曲線如圖所示

圖5-6二階微分環(huán)節(jié)頻率特性圖2010.11.14225.頻率法5.2.2開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相頻率特性

繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖，則需把系統(tǒng)所包含的各個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)頻率的幅值相乘，相角相加。例5.1：求如下傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖。

解：G(jω)可寫為：

2010.11.14235.頻率法其幅值與相角分別為：

由于幅值是從1開(kāi)始單調(diào)減小，相角也是單調(diào)減小，所以該傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖是一條螺旋線2010.11.14245.頻率法設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的型號(hào):一種依據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類的方法１．0型系統(tǒng)（N=0）2．I型系統(tǒng)（N=1）3.II型系統(tǒng)（N=2）

……2010.11.14255.頻率法極坐標(biāo)圖的形狀與系統(tǒng)的型號(hào)有關(guān)，一般情況如下（注意起始點(diǎn)）：2010.11.14265.頻率法注意終止點(diǎn)：2010.11.14275.頻率法

增加n個(gè)有限負(fù)實(shí)極點(diǎn)后，ω=0→∞時(shí)，GH的奈氏的曲線順時(shí)針轉(zhuǎn)nπ/22010.11.14285.頻率法

增加n個(gè)有限負(fù)實(shí)零點(diǎn)后，ω=0→∞時(shí)，GH的奈氏的曲線逆時(shí)針轉(zhuǎn)nπ/22010.11.14295.頻率法結(jié)論：1.0型系統(tǒng)（N=0）：極坐標(biāo)圖起始于正實(shí)軸上的有限點(diǎn)，終止于原點(diǎn)。2．I型系統(tǒng)（N=1）：由于存在一個(gè)積分環(huán)節(jié)，所以低頻時(shí)，極坐標(biāo)圖是一條漸近于和虛軸平行的直線。當(dāng)ω=∞時(shí)，幅值為零，曲線收斂于原點(diǎn)并且與某坐標(biāo)軸相切。3.II型系統(tǒng)（N=2）：低頻處，極坐標(biāo)圖是一條漸近于負(fù)實(shí)軸的直線。在ω=∞處幅值為零，且曲線相切于某坐標(biāo)軸。2010.11.14305.頻率法5.2.3典型環(huán)節(jié)頻率特性的伯德圖一、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

1.幅頻特性圖：

縱坐標(biāo)：幅值的對(duì)數(shù)20lg（dB），采用線性分度；

橫坐標(biāo)：用頻率ω的對(duì)數(shù)lgω分度。

2.相頻特性圖

縱坐標(biāo)：頻率特性的相移，以度為單位，采用線性分度；

橫坐標(biāo)：用頻率ω的對(duì)數(shù)lgω分度。2010.11.14315.頻率法2010.11.14325.頻率法1.放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）放大環(huán)節(jié)的頻率特性為

對(duì)數(shù)幅頻特性為圖5-7放大環(huán)節(jié)的Bode圖相頻特性為如圖所示，是一條與角頻率ω?zé)o關(guān)且與ω軸重合的直線。2010.11.14335.頻率法2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的頻率特性是

其幅頻特性為

對(duì)數(shù)幅頻特性是

圖5-8積分環(huán)節(jié)的Bode圖2010.11.14345.頻率法3.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性是

其對(duì)數(shù)幅頻特性是漸近特性精確特性圖5-9慣性環(huán)節(jié)的Bode圖2010.11.14355.頻率法

其對(duì)數(shù)幅頻特性是

4.一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)頻率特性為圖5-10一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖2010.11.14365.頻率法5.振蕩環(huán)節(jié)頻率特性為其對(duì)數(shù)幅頻特性為高頻漸近線低頻漸近線圖5-11(a)振蕩環(huán)節(jié)漸近線對(duì)數(shù)幅頻特性圖5-11(b)振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻率特性圖2010.11.14375.頻率法其對(duì)數(shù)幅頻特性為相頻特性為

6.二階微分環(huán)節(jié)頻率特性二階微分環(huán)節(jié)與振蕩節(jié)的Bode圖關(guān)于ω軸對(duì)稱，漸近線的轉(zhuǎn)折頻率為，相角變化范圍是00至+1800。圖5-12二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖2010.11.14385.頻率法5.1頻域特性的概念5.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制5.3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性2010.11.14395.頻率法將系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式(1)典型環(huán)節(jié)幅頻特性相乘得到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性典型環(huán)節(jié)相頻特性相加得到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性如幅頻特性有漸近線，則根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性表達(dá)式的實(shí)部和虛部，求出漸近線最后在G(jω)H(jω)平面上繪制出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖5.3.1繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖的步驟(2)(3)(4)(5)2010.11.14405.頻率法將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積的形式(1)若存在轉(zhuǎn)折頻率，在ω軸上標(biāo)出轉(zhuǎn)折頻率的坐標(biāo)位置修正誤差，畫出比較精確的對(duì)數(shù)幅頻特性由各串聯(lián)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性疊加后得到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線畫出各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)相頻特性，將它們相加后得到系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性(2)(3)(4)(5)5.3.2繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性伯德圖的步驟2010.11.14415.頻率法例5-1已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為它由一個(gè)放大環(huán)節(jié)和兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其對(duì)應(yīng)的頻率特性是幅頻特性和相頻特性分別為2010.11.14425.頻率法1.極坐標(biāo)圖當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。2010.11.14435.頻率法圖5-13開(kāi)環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)圖[G]當(dāng)ω由零增至無(wú)窮大時(shí)，幅值由K衰減至零，相角0度變至-180度，且均為負(fù)相角。頻率特性與負(fù)虛軸的交點(diǎn)頻率為，交點(diǎn)坐標(biāo)是。其極坐標(biāo)圖如圖5-13所示。2010.11.14445.頻率法由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)知，對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線有兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率和，且，將它們?cè)讦剌S上標(biāo)出（圖5-14）；在縱坐標(biāo)上找到20lgK的點(diǎn)A，過(guò)A點(diǎn)作平行于橫軸的直線AB，這條平行線對(duì)應(yīng)放大環(huán)節(jié)的幅頻特性；在轉(zhuǎn)折頻率處作ω軸的垂線（虛線）交平行線AB于B點(diǎn)，以B為起點(diǎn)作斜率為-20dB/dec的斜線BC，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)折頻率，折線ABC對(duì)應(yīng)放大環(huán)節(jié)K和慣性環(huán)節(jié)的疊加；2伯德圖2010.11.14455.頻率法圖5－14開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Bode圖L2010.11.14465.頻率法5.1頻域特性的概念5.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制5.3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性2010.11.14475.頻率法由第3章知，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全部負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，也就是所有的閉環(huán)特征根分布在S復(fù)平面虛軸的左側(cè)（P75）判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的方法：（1）解閉環(huán)特征方程難（2）勞斯判據(jù)可行，但不夠形象且與頻率無(wú)關(guān)

（3）有無(wú)其他方法？？2010.11.14481）一階系統(tǒng)（P154）特征方程式為，特征方程式的根為。5.頻率法假設(shè)系統(tǒng)的根為負(fù)實(shí)根，令特征方程中的，則矢量的矢端將沿著虛軸滑動(dòng)。當(dāng)ω=0，夾角φ=0,當(dāng)ω從0增加到∞時(shí),這個(gè)矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2角度。逆時(shí)針：△Arg[D(jω)]=π/2順時(shí)針：△Arg[D(jω)]=-π/25.4.1控制系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)2010.11.1449注意：（1）當(dāng)一階系統(tǒng)中的ω從-∞增加到∞時(shí)，若角度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為π，該系統(tǒng)穩(wěn)定；若角度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為π，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）令s=jω，僅為記憶方便而作的假設(shè)，沒(méi)有任何物理意義。

5.頻率法逆時(shí)針：△Arg[D(jω)]=π/21

一階微分環(huán)節(jié)的頻率響應(yīng)2010.11.14502）二階系統(tǒng)特征方程式為，特征方程式的根為，即5.頻率法逆時(shí)針：△Arg[D(jω)]=π/2+φ0+π/2-φ0=2×π/2順時(shí)針：△Arg[D(jω)]=2×π/22010.11.14513）n階系統(tǒng)特征方程式為，特征方程式的根為5.頻率法系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程式的所有根必須在左半S平面可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為當(dāng)ω從0變到∞時(shí)，如果矢量D(jω)的相角逆時(shí)針變化為△Arg[D(jω)]=n×π/2，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)ω從-∞變到∞時(shí)，如果矢量D(jω)的相角逆時(shí)針變化為△Arg[D(jω)]=nπ，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2010.11.1452由此得到閉環(huán)特征方程多項(xiàng)式為5.頻率法5.4.2用開(kāi)環(huán)幅相頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性為找到開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征多項(xiàng)式的關(guān)系，特構(gòu)造輔助函數(shù)F(s)如下輔助函數(shù)F(s)的特征：（1）其零點(diǎn)為閉環(huán)函數(shù)的極點(diǎn)；（2）其極點(diǎn)為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；（3）其零點(diǎn)和極點(diǎn)的個(gè)數(shù)是相同的；（4）F(s)和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)僅相差1。2010.11.1453如果系統(tǒng)閉環(huán)也是穩(wěn)定的，那么它的閉環(huán)特征方程式的全部根應(yīng)該在左半S平面，而ω由-∞變到∞時(shí)，矢量的相角變化為△Arg[DB(jω)]=nπ。如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么它的特征方程式的n個(gè)根應(yīng)該在左半S平面，而ω由-∞變到∞時(shí)，矢量的相角變化為△Arg[D(jω)]=nπ。5.頻率法5.4.2.1開(kāi)環(huán)是穩(wěn)定的系統(tǒng)由輔助函數(shù)與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)之間的關(guān)系知，輔助函數(shù)的矢量的相角變化為，△Arg[DB(jω)]-△Arg[D(jω)]=0。即F(jω)的極坐標(biāo)軌跡不包圍原點(diǎn)，則系統(tǒng)閉環(huán)是穩(wěn)定的；如果F(jω)的極坐標(biāo)軌跡包圍原點(diǎn)，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。2010.11.14545.頻率法F(jω)相角變化（a）系統(tǒng)穩(wěn)定（b）系統(tǒng)不穩(wěn)定曲線2010.11.1455若系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的n個(gè)根中，有Z個(gè)在右半S平面，（n-Z）個(gè)在左半S平面，則當(dāng)ω由-∞變到∞時(shí)，矢量的相角變化為如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)特征方程式的n個(gè)根不全在左半S平面，其中有P個(gè)根在右半S平面，（n-P）個(gè)根在左半S平面，則開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。而ω由-∞變到∞時(shí)，矢量的相角變化為5.頻率法5.4.2.2開(kāi)環(huán)是不穩(wěn)定的系統(tǒng)這種情況下，輔助函數(shù)的相角變化為N為輔助函數(shù)的相角逆時(shí)針變化的圈數(shù)。2010.11.1456如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)特征方程式的n個(gè)根不全在左半S平面，其中有P個(gè)根在右半S平面，（n-P）個(gè)根在左半S平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)ω由-∞變到∞時(shí)，開(kāi)環(huán)頻率特性的軌跡在復(fù)平面上應(yīng)逆時(shí)針圍繞（-1,j0）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N=P圈，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)特征方程式的n個(gè)根全在左半S平面，即Z=0。則另一種等價(jià)的穩(wěn)定判據(jù)的描述方法如下：5.頻率法綜合以上兩種情況，我們得到以開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)根軌跡（奈式曲線）判斷相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)——奈奎斯特判據(jù)。2010.11.14575.頻率法

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏軌跡映射在GH平面上的封閉曲線逆時(shí)針包圍點(diǎn)P周，其中P為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在S平面右半部的極點(diǎn)數(shù)。當(dāng)在S平面右半部沒(méi)有極點(diǎn)時(shí)，即P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在GH平面上不包圍點(diǎn)?；陂_(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏判據(jù)如下：2010.11.14585.頻率法

與之間的關(guān)系前面曾經(jīng)指出，頻率特性是特定情況下的傳遞函數(shù)。下面分兩種情況來(lái)研究與之間的關(guān)系。當(dāng)在S平面虛軸上（包括原點(diǎn)）無(wú)極點(diǎn)時(shí)，奈氏軌跡可分成三個(gè)部分如圖所示，（1），s沿負(fù)虛軸變化；（2），s沿正虛軸變化；（3），s沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮大的右半圓弧變化，對(duì)應(yīng)由順時(shí)針繞。2010.11.14595.頻率法s（1）當(dāng)s在S平面負(fù)虛軸上變化時(shí)，，（5-16）在[GH]平面上的映射如右圖中曲線（1）。2010.11.14605.頻率法圖5-15s在GH平面上的映射（2）當(dāng)s在S平面正虛軸上變化時(shí)，如圖5-15中的曲線（2），這正是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性。由于正負(fù)虛軸在S平面上以實(shí)軸為對(duì)稱，它們?cè)贕H平面上的映射曲線（1）、（2）兩部分也對(duì)稱于實(shí)軸。2010.11.1461開(kāi)環(huán)系統(tǒng)存在一個(gè)積分項(xiàng)，令s=jω,當(dāng)ω=0時(shí)，軌跡不連續(xù)，無(wú)法判斷其是否包圍（-1，j0）點(diǎn)，故修改為以為圓心，為半徑，在右半平面作很小的半圓，小半圓的表達(dá)式為，令，ω由0-變到0+時(shí)，角的變化為5.頻率法5.4.2.3開(kāi)環(huán)有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)P160設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為（1）當(dāng)時(shí)，開(kāi)環(huán)傳函的幅相特性為（2）當(dāng)時(shí)，開(kāi)環(huán)傳函的幅相特性為（3）當(dāng)時(shí)，開(kāi)環(huán)傳函的幅相特性為2010.11.1462結(jié)論：（1）當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中存在積分串聯(lián)環(huán)節(jié)時(shí)，可以用一個(gè)在右半平面，且半徑趨向于0的小半圓代替，當(dāng)ω由0-變到0+時(shí)，角的變化為（2）具有一個(gè)積分環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，在ω=0附近的幅相特性為：以∞為半徑，相角由0度旋轉(zhuǎn)到-π/2。（3）具有N個(gè)積分環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，在ω=0附近的幅相特性為：以∞為半徑，相角由0度旋轉(zhuǎn)到-N×π/2。5.頻率法2010.11.14635.頻率法一個(gè)零極點(diǎn)兩個(gè)零極點(diǎn)2010.11.14645.頻率法三個(gè)零極點(diǎn)當(dāng)ω由-∞變到∞時(shí)，開(kāi)環(huán)頻率特性的軌跡在復(fù)平面上沒(méi)有圍繞（-1,j0）旋轉(zhuǎn)。一個(gè)簡(jiǎn)單的判斷方法：鉛筆和繩子。2010.11.1465閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：GH平面上的開(kāi)環(huán)頻率特性當(dāng)時(shí)，按逆時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)P周。當(dāng)位于S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0時(shí)，即當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于S平面左半部（包括原點(diǎn)和虛軸）時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏曲線不包圍GH平面的點(diǎn)。5.頻率法奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)2010.11.14665.頻率法

(i)當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)都位于S平面左半部時(shí)（P=0），如果系統(tǒng)的奈氏曲線不包圍GH平面的點(diǎn)（N=0），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的；（ii)當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有P個(gè)位于S平面右半部的極點(diǎn)時(shí)，如果系統(tǒng)的奈氏曲線逆時(shí)針包圍 點(diǎn)的周數(shù)等于位于S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)（N=P），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的；2010.11.14675.頻率法（iii）如果系統(tǒng)的奈氏曲線順時(shí)針包圍點(diǎn)（N>0），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定（Z=P-N>0）。

綜上，奈氏曲線是否包圍GH平面的點(diǎn)是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要依據(jù)（當(dāng)然還須考慮是否存在S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和曲線包圍點(diǎn)的方向）。當(dāng)曲線恰好通過(guò)GH平面的點(diǎn)（注意不是包圍），此時(shí)如果系統(tǒng)無(wú)位于S平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。2010.11.14685.頻率法例5.2試用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。P163解該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其對(duì)應(yīng)的頻率特性是其幅頻特性為：其相頻特性為：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：2010.11.14695.頻率法令，則有，即極坐標(biāo)與虛軸有交點(diǎn)，把其代人虛部有：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)頻率特性的復(fù)數(shù)形式為：令，則有，即極坐標(biāo)與實(shí)軸有交點(diǎn)2010.11.14705.頻率法綜合上述分析，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖為：P163例5.2奈氏曲線2010.11.14715.頻率法解該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其對(duì)應(yīng)的頻率特性是例5.3

試用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其幅頻特性為：其相頻特性為：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：2010.11.14725.頻率法令，則有，即極坐標(biāo)與虛軸有交點(diǎn)，把其代人虛部有：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)頻率特性的復(fù)數(shù)形式為：令，則有，即探討極坐標(biāo)與實(shí)軸是否有交點(diǎn)2010.11.14735.頻率法綜合上述分析，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的奈式曲線為圖5-20例5-7奈氏曲線2010.11.14745.頻率法

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)右半S平面的極點(diǎn)，即P=0，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)值的大小，當(dāng)時(shí)，不包圍點(diǎn)，即N=0圖5-20（a），系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)奈氏曲線順時(shí)針包圍點(diǎn)兩周，即N=-2,圖5-20（b），系統(tǒng)不穩(wěn)定。2010.11.1475三個(gè)轉(zhuǎn)折周期：5.頻率法解寫出如下伯德圖的傳遞函數(shù)例5.4

P1845-7(1)。則相應(yīng)的典型環(huán)節(jié)為：開(kāi)環(huán)增益為：需要注意的是，第3個(gè)典型環(huán)節(jié)為-40db，所以應(yīng)該是平方項(xiàng)：2010.11.14765.頻率法解傳遞函數(shù)為相頻特性為：所以傳遞函數(shù)為：2010.11.14775.頻率法5.1頻域特性的概念5.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制5.3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的繪制5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性2010.11.14785.頻率法

在工程應(yīng)用中，由于環(huán)境溫度的變化、元件的老化以及元件的更換等，會(huì)引起系統(tǒng)參數(shù)的改變，從而有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此在選擇元件和確定系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，這就是所謂自動(dòng)控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題。

5.5.1相對(duì)穩(wěn)定性的概念P1652010.11.14795.頻率法已知兩個(gè)最小相位系統(tǒng)（P146）的奈氏曲線如圖5-21(a)和(b)紅線所示。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化，使開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)增加50%后，兩系統(tǒng)的奈氏曲線分別如圖5-21中虛線所示。圖5-21系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性···2010.11.14805.頻率法5.5.2穩(wěn)定裕度

通常用穩(wěn)定裕度來(lái)衡量系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性或系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，其中包括系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。1.相位裕量（相角裕度）如圖5-22所示，GH平面上的單位圓與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線的交點(diǎn)頻率稱為幅值穿越頻率或剪切頻率，它滿足圖5-222010.11.14815.頻率法相位裕量的含義：使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)開(kāi)環(huán)頻率特性的相角減?。▽?duì)應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng)）或增加（對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定系統(tǒng)）的數(shù)值。圖5-23(a)相位裕量()幅值穿越頻率所對(duì)應(yīng)的相移與－1800角的差值2010.11.14825.頻率法

2.

增益裕量（幅值裕度）如圖5-23(b)所示，把系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線與GH平面負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)頻率稱為相位穿越頻率（截止頻率），它應(yīng)滿足

增益裕量(Kg，GM)相位穿越頻率所對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)幅頻特性的倒數(shù)值，即圖5-23(b)2010.11.14835.頻率法

對(duì)于最小相位系統(tǒng),當(dāng)增益裕量()，系統(tǒng)穩(wěn)定(圖5-24)，且Kg值愈大,系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性愈好。如果幅值裕度(),系統(tǒng)則不穩(wěn)定(圖5-24)。