山西省忻州市郭家灘中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省忻州市郭家灘中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“a＞1”是“函數(shù)f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在區(qū)間（0，+∞）上存在零點(diǎn)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】我們可以根據(jù)充分、充要條件的定義進(jìn)行判斷．①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．【解答】解：∵a＞1時(shí)，由ax﹣2=0，得x=loga2＞0，∴函數(shù)f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在區(qū)間（0，+∞）上存在零點(diǎn)loga2．∴“a＞1”是“函數(shù)f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在區(qū)間（0，+∞）上存在零點(diǎn)”的充分條件；反之，若函數(shù)f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在區(qū)間（0，+∞）上存在零點(diǎn)，則零點(diǎn)為loga2，由loga2＞0，得a＞1，∴“a＞1”是“函數(shù)f（x）=ax﹣2（a＞0且a≠1）在區(qū)間（0，+∞）上存在零點(diǎn)”的必要條件．故選C．2.已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（

）A. B. C.2 D.參考答案：A【分析】先確定向量、所表示的點(diǎn)的軌跡，一個(gè)為直線，一個(gè)為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求最小值.【詳解】設(shè)，則由得，由得因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.【點(diǎn)睛】以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關(guān)系，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法.3.已知.、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓與的延長(zhǎng)線、的延長(zhǎng)線以及線段相切，若為其中一個(gè)切點(diǎn)，則 (

)

A． B． C．

D．與的大小關(guān)系不確定參考答案：A4.已知，觀察不等式=3，…，由此可得一般結(jié)論：，則的值為（

）A． B． C．3 D．2參考答案：A略5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體是()A、長(zhǎng)方體

B、圓柱

C、四棱錐

D、四棱臺(tái)參考答案：A略6.定義運(yùn)算?=，如?=．已知α+β=π，α﹣β=，則?=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】二階矩陣；兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】根據(jù)新定義化簡(jiǎn)所求的式子，然后分別利用兩角和的正弦函數(shù)公式及兩角差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，把已知的α+β=π，代入即可求出值．【解答】解：由α+β=π，，根據(jù)新定義得：====故選A7.將7個(gè)座位連成一排，安排4個(gè)人就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法有（

）A.240

B.480

C.720

D.960參考答案：B8.下列幾何體中，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都相同的幾何體的序號(hào)是

（▲）A.（1）（2）

B.（2）（3）

C.(3)(4)

D.(1)(4)參考答案：D9.如下所示算法，若輸入的x的值為2012，則算法執(zhí)行后的輸出結(jié)果是(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.設(shè)a＞1，則log0.2a,

0.2a，

a0.2的大小關(guān)系是()A．0.2a＜log0.2a＜a0.2

B．log0.2a＜0.2a＜a0.2C．log0.2a＜a0.2＜0.2a

D．0.2a＜a0.2＜log0.2a參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

．

參考答案：1212.在線段[0，a]上隨機(jī)地投三個(gè)點(diǎn)，試求由點(diǎn)O到三個(gè)點(diǎn)的線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是_____________________________________。參考答案：0.513.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為

。

參考答案：314.“直線和直線平行”的充要條件是“

▲

”.參考答案：15.設(shè)a、b是非零向量，給出平面向量的四個(gè)命題：①|(zhì)a·b|＝|a||b|；②若a⊥b，則|a＋b|＝|a－b|；③存在實(shí)數(shù)m、n使得ma＋nb＝0，則m2＋n2＝0；④若|a＋b|＝|a|－|b|，則|a|≥|b|且a與b方向相反．其中真命題是________．(將所有真命題的序號(hào)都填上)參考答案：②④16.在行列式中，元素5的代數(shù)余子式的值=______參考答案：12略17.已知整數(shù)對(duì)排列如下， 則第60個(gè)整數(shù)對(duì)是

▲

；參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于Ｐ、Ｑ兩點(diǎn)，且，求該橢圓方程．參考答案：解：設(shè)，，設(shè)橢圓方程，消得有兩根為，且有即即２＋（）＋１＝０解得橢圓方程為．略19.已知橢圓E：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=，點(diǎn)D（0，1）在且橢圓E上，（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F2且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G（t，0），求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．（Ⅲ）試用表示△GAB的面積，并求△GAB面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】KH：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由點(diǎn)D（0，1）在且橢圓E上，知b=1，由e=，得到，由此能求出橢圓E的方程．（Ⅱ）法一：設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣1）（k≠0），代入+y2=1，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．有直線AB過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2，知方程有兩個(gè)不等實(shí)根．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），由此利用韋達(dá)定理能夠求出點(diǎn)G橫坐標(biāo)t的取值范圍．法二：設(shè)直線AB的方程為x=my+1，由得（m2+2）y2+2my﹣1=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），則，．得．所以AB垂直平分線NG的方程為y﹣y0=﹣m（x﹣x0）．令y=0，得，由此能求了t的取值范圍．

（Ⅲ）法一：．而，由，，可得，所以．再由|F2G|=1﹣t，得（）．設(shè)f（t）=t（1﹣t）3，則f′（t）=（1﹣t）2（1﹣4t）．由此能求出△GAB的面積的最大值．法二：而，由，可得．所以．又|F2G|=1﹣t，所以．△MPQ的面積為（）．設(shè)f（t）=t（1﹣t）3，則f'（t）=（1﹣t）2（1﹣4t）．由此能求出△GAB的面積有最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵點(diǎn)D（0，1）在且橢圓E上，∴b=1，∵===，∴a2=2a2﹣2，∴，∴橢圓E的方程為（Ⅱ）解法一：設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣1）（k≠0），代入+y2=1，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∵直線AB過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根．記A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），則x1+x1=，，∴AB垂直平分線NG的方程為．令y=0，得．∵k≠0，∴．∴t的取值范圍為．解法二：設(shè)直線AB的方程為x=my+1，由可得（m2+2）y2+2my﹣1=0．記A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），則，．可得．

∴AB垂直平分線NG的方程為y﹣y0=﹣m（x﹣x0）．令y=0，得．∵m≠0，∴．∴t的取值范圍為．

（Ⅲ）解法一：．而，∵，由，可得，，．所以．又|F2G|=1﹣t，所以（）．設(shè)f（t）=t（1﹣t）3，則f′（t）=（1﹣t）2（1﹣4t）．可知f（t）在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．所以，當(dāng)時(shí)，f（t）有最大值．所以，當(dāng)時(shí)，△GAB的面積有最大值．解法二：而，由，可得．所以．又|F2G|=1﹣t，所以．所以△MPQ的面積為（）．設(shè)f（t）=t（1﹣t）3，則f'（t）=（1﹣t）2（1﹣4t）．可知f（t）在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．所以，當(dāng)時(shí)，f（t）有最大值．所以，當(dāng)時(shí)，△GAB的面積有最大值．20.（本小題滿分12分）請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？.參考答案：（本小題滿分12分）解：設(shè)OO1為，則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為：，（單位：）故底面正六邊形的面積為：=，（單位：）帳篷的體積為：（單位：）求導(dǎo)得。令，解得（不合題意，舍去），，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)。∴當(dāng)時(shí)，最大。答：當(dāng)OO1為時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為。略21.（本題滿分12分）如圖所示，已知M、N分別是AC、AD的中點(diǎn)，BCCD．（I）求證：MN∥平面BCD；（II）求證：平面BCD平面ABC；（III）若AB＝1，BC＝，求直線AC與平面BCD所成的角．

參考答案：解（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以．又平面且平面，所以平面．………………..4分(2)因?yàn)槠矫?平面，所以．又，所以平面．又平面，所以平面平面．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分(３)因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角．在直角中，，所以．所以．故直線與平面所成的角為．….12分22.如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點(diǎn)D在AB上．

(1)若D是AB中點(diǎn)，求證：AC1∥平面B1CD；

(2)當(dāng)=時(shí)，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．

參考答案：（1）證明：連接BC1

，交B1C于E，連接DE．

∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，D是AB中點(diǎn)

∴側(cè)面BB1C1C為矩形，DE為△ABC1的中位線

∴DE∥AC1

，

又∵DE?平面B1CD，AC1?平面B1CD

∴AC1∥平面B1CD．

（2）∵AB=5，AC=4，BC=3，即AB2=AC2+BC2∴AC⊥BC，所以如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．

則B（3，0，0），A（0，4，0），

A1（0，4，4），B1（3，0，4）．

設(shè)D（a，b，0）（a＞0，b＞0），

∵點(diǎn)D在線段AB上，且=，即=

∴a=，b=

∴=（﹣3，0，﹣4），=（，，0）

顯然