理論力學(xué)-第23-24課時

定軸轉(zhuǎn)動和平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院定軸轉(zhuǎn)動和平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院基本知識回顧剛體定軸轉(zhuǎn)動內(nèi)容提要平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院一.基本知識回顧1.轉(zhuǎn)動慣量張量定義問題1.1：慣量張量組元有什么特點？溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院2.慣量張量表示角動量和轉(zhuǎn)動動能基本知識回顧問題1.2：矩陣相乘的規(guī)律是什么？例題1：一個質(zhì)點系由三個有質(zhì)量的質(zhì)點和三個無質(zhì)量的輕桿組成一個剛體。其中，質(zhì)量為4m的質(zhì)點坐標(biāo)為(a,-a,0)質(zhì)量為3m的質(zhì)點坐標(biāo)為(-a,a,0)，質(zhì)量為2m的質(zhì)點坐標(biāo)(a,a,0)。求關(guān)于坐標(biāo)原點的慣量張量溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院基本知識回顧解:(1)根據(jù)定點轉(zhuǎn)動慣量的定義，得：因此，對原點的轉(zhuǎn)動慣量張量為：思考1.1：轉(zhuǎn)動慣量是否與坐標(biāo)選取有關(guān)？二.剛體定軸轉(zhuǎn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院1.剛體定軸基本公式問題2.1：如何轉(zhuǎn)化為關(guān)于定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)的公式？問題2.2：定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)公式如何？根據(jù)瞬時軸與定點轉(zhuǎn)動慣量關(guān)系溫州泰順仕陽鎮(zhèn)仕水碇步剛體定軸轉(zhuǎn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院溫州蒼南玉蒼山仙人碇步剛體定軸轉(zhuǎn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題2:人類的腿行走時，使得一個正常身材的人會發(fā)現(xiàn)以一種角秒鐘，走一步的自然擺動的步頻，行走是很舒服的。而試圖以較快或者較慢的步頻行走會感到不舒服。如果忽略了膝關(guān)節(jié)效應(yīng)，請用一種簡單模型來計算該頻率。解：選取均勻桿模型進(jìn)行估算，則自然步頻率等于桿的固有頻率時（共振）最舒服，如圖：Omglθ取l為1米，則步頻率為1.62秒剛體定軸轉(zhuǎn)動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院三.平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院1.平面平行運動的定義剛體中的任一點始終在平行于某固定平面的平面內(nèi)運動。問題3.1：描述平面平行運動的物理量有幾個？如何描述？平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院2.平面平行運動的運動學(xué)公式平面平行可分解為繞A點的轉(zhuǎn)動和A點平動yxPPAAy’x’速度表達(dá)式：思考3.1：如何得到速度矢量的分量呢？P點對O點的絕對加速度A點的相對O點加速度P點的相對A點加速度在固定參考系的表示加速度表達(dá)式：平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院剛體角速度不為零，但是在任一時刻恒有一點的速度為零，稱為轉(zhuǎn)動瞬心。轉(zhuǎn)動瞬心：平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院3.平面平行運動的動力學(xué)公式Oxyy’x’Cθ平面平行一般分解為繞質(zhì)心C點的轉(zhuǎn)動和質(zhì)心C點平動在保守力作用下，剛體的機(jī)械能守恒質(zhì)心的平動微分方程:繞質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動微分方程:思考3.2：動能分為那幾個部分？滿足什么規(guī)律？平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院中國臺球神童丁俊暉平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題3：用一水平臺球棒打擊一個半徑為R，質(zhì)量為M的臺球，擊球點在臺球桌面上方高h(yuǎn)處，如圖所示。求使臺球作無滑動滾動的h值等于多少？hR解：設(shè)作用于臺球上的沖力為f,作用時間為Δt，則在打擊前后對質(zhì)心的動量定理和角動量定理，分別為:易得:根據(jù)初始條件，可得:無滑動滾動條件:得:平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題4：一面粗糙另一面光滑的平板，質(zhì)量為M,將光滑的一面放在水平桌面上，木板上放一質(zhì)量為m的球。若板沿著其長度方向突然有一速度V,問經(jīng)過多少時間后,球開始滾動而不滑動？平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院解：小球和平板的情況如圖所示。問題1:平板做什么運動？為什么？平板只受到小球給它的摩擦力作用，是阻力。因此它做減速運動問題2:小球做什么運動？為什么？平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院小球只受到平板給它的摩擦力作用，其運動分解為質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，其運動方程分別為：思考1:A點的速度用什么公式求解？因此，A點的速度為：思考2：小球在平板上面做純滾動的條件是什么？平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院純滾動表明沒相對滑動，則A點對地面的速度和平板對地面的速度應(yīng)該相等：據(jù)此可以求得達(dá)到純滾動的條件為：因此，時間為：思考3：接下來小球和平板受力情況如何？平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院此時，平板和小球的A點沒相對滑動，沒有滑動摩擦力，因此，平板做勻速運動，而小球則做純滾動。問題3:此時,平板勻速運動的速度和小球純滾動時的質(zhì)心速度分別為多少？因為：得：問題4:此時,平板和球構(gòu)成的體系總動量多少？思考4：如果小球的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于平板質(zhì)量，則情況如何？平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息學(xué)院總動量為平板的動量和小球質(zhì)心動量之和：因此：思考5：這意味著什么？小球和平板組成的體系初動量和末動量相等，實際上該體系在整個過程中因為不受外力作用，體系的動量守恒。例題5：一繞其對稱軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)的硬幣被放置在一個水平面上，如圖所示，當(dāng)它停止滑動后，滾離的速度等于多少？ωxyo解：建立坐標(biāo)如圖，則對質(zhì)心的牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律分別為：初始條件為：溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院平面平行運動求解運動微分方程，可得：不發(fā)生滑動的約束條件為：因此：求得：此時，質(zhì)心的速度：溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院平面平行運動平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題6：如圖所示，將棒的一端置于光滑水平面上，另一端則靠在光滑墻上，且棒與地面的傾斜角為α，如任其自此位置開始下滑，則當(dāng)棒與地面的傾斜角多大時，棒與墻分離？棒的長度為2l.解：剛體作平面平行運動，則:棒與墻分離的條件是:平面平行運動溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院思考:下面思路如何?得到支持力T