機械振動講義連續(xù)系統(tǒng)

連續(xù)系統(tǒng)的振動1引言力學模型的組成

連續(xù)系統(tǒng)的力學模型由具有分布質(zhì)量、分布彈性和分布阻尼元件組成。連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的關系連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)簡化、離散化自由度n趨向于無窮連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別

連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)自由度連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)是同一物理系統(tǒng)的兩個數(shù)學模型。描述系統(tǒng)的變量有限個無窮多個時間時間和空間位置微分方程二階常微分方程組偏微分方程組方程消去時間變量后代數(shù)方程組微分方程的邊值問題連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動振動微分方程由離散系統(tǒng)方程導出將連續(xù)的弦作離散系統(tǒng)考慮，即由無質(zhì)量的弦連接n個離散的質(zhì)量mi。每個質(zhì)量上所受的力為Fi質(zhì)量mi的受力分析如圖。對質(zhì)量mi在y方向的受力和加速度運用牛頓第二定律：由于弦兩端固定，因此有設或連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動振動微分方程由離散系統(tǒng)方程導出或或兩邊除以Dxi當質(zhì)量數(shù)無窮多時，Dxi趨近于零，方程可寫成其中，由于用x替換了變量xi

，因此對時間的全導數(shù)轉(zhuǎn)換成偏導數(shù)，而增量比用對x的偏導數(shù)表示。連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動振動微分方程從連續(xù)系統(tǒng)直接導出

設長度為L、兩端固定的弦上受均布載荷f(x,t)，弦上x處的張力與單位長度質(zhì)量密度分別為T(x)和r(x)。

根據(jù)牛頓定律，任一瞬時作用在微弦段上y方向的力與微弦段的加速度有如下關系

質(zhì)量為rAdx的微段dx，隔離體受力分析圖展開、消去相關的項、略去dx的二次項，然后兩邊除以dx得或連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動自由振動特征值問題方程邊界條件用分離變量法，設：代入方程：兩邊同除以Y(x)r(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x

和t，因此兩邊都等于常數(shù)。設常數(shù)為-w2：連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動自由振動特征值問題從關于時間的方程

從關于位置x的方程可以確定位移的形狀Y(x)，它必須在區(qū)間0<x<L滿足方程及邊界條件Y(0)=Y(L)=0。解得F(t)

上式為包含未知常數(shù)w2的二階常微分齊次方程，非平凡解Y(x)存在，且解中有兩個積分常數(shù)，而已知邊界條件只有兩個。

從方程可以看出，如果Y(x)是偏微分方程的解，那么a

Y(x)（a是任意常數(shù)）也是方程的解。

這意味著，求解滿足邊界條件的偏微分方程，就是要找到滿足方程的未知常數(shù)wi和對應的函數(shù)Yi

(x)。與離散系統(tǒng)對應，wi2稱為特征值（即系統(tǒng)的固有圓頻率平方），而Yi

(x)稱為特征函數(shù)（主振型）。連續(xù)系統(tǒng)

2

弦振動自由振動特征值問題

同樣地，與離散系統(tǒng)對應，若特征函數(shù)Yi

(x)經(jīng)正則化處理，則它們關于質(zhì)量密度和張力正交：對初始擾動的響應

與離散系統(tǒng)類似，利用正交的正則化特征函數(shù)集Yi

(x)（i=1,2,…）的線性組合，可以表示連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動下的響應。

代入方程，兩邊左乘Yi

(x)，并對整個區(qū)間[0,L]積分，利用特征函數(shù)的正交性：解為常數(shù)Ci和j

i由初始條件得到。連續(xù)系統(tǒng)

2弦振動自由振動例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗證正交性。解由題意，系統(tǒng)的T和r

為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知Y(x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫由邊界條件Y(0)＝0可得B=0,則由邊界條件Y(L)＝0可得由于A不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為自由振動例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗證正交性。特征函數(shù)為正交性驗證由正則化要求正則化的特征函數(shù)自由振動例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗證正交性。正交性驗證三角函數(shù)積化和差積分自由振動例

1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數(shù)，并驗證正交性。正交性驗證三角函數(shù)積化和差積分連續(xù)系統(tǒng)

3桿的縱向振動振動微分方程從連續(xù)系統(tǒng)直接導出

設長度為L、兩端固定的桿上受均布軸向力f(x,t)，桿上x處的軸向剛度與單位長度質(zhì)量分別為E

A

(x)和m(x)。

根據(jù)材料力學，任一瞬時作用在桿微段兩端的軸向內(nèi)力與軸向應變成正比

取桿的微段dx，隔離體受力分析圖或

根據(jù)牛頓定律，任一瞬時作用在桿微段上的軸向力與桿微段的加速度有如下關系自由振動特征值問題方程邊界條件用分離變量法，設：代入方程：兩邊同除以U(x)m

(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x

和t，因此兩邊都等于常數(shù)。設常數(shù)為-w2：自由振動特征值問題從關于時間的方程

從關于位置x的方程可以確定位移的形狀U(x)，它必須在區(qū)間0<x<L滿足方程及邊界條件U(0)=U(L)=0。解得F(t)與弦振動的特征值問題作比較結(jié)論只要把弦振動特征值問題中的Y(x)

、T(x)和r

(x)換作U(x)

、EA(x)

和m(x)

就得到桿作縱向振動的特征值問題表達式。自由振動特征值問題例

2圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則由邊界條件U(L)＝0可得由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為自由振動特征值問題例

3圖示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫由x=0處的邊界條件可得a=0,則由x=L處的邊界條件可得由于b不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為自由振動特征值問題例

4圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為由x=L處的邊界條件可得自由振動特征值問題討論作縱向振動桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數(shù)邊界狀況頻率振型函數(shù)兩端固定兩端自由一端固定一端自由自由振動特征值問題例

5設圖示推進軸系由長度為L、單位長度質(zhì)量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為M的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動時系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：或固定端的邊界條件不變，U(0)＝0，而自由端有：代入整理得自由振動特征值問題例

5設圖示推進軸系由長度為L、單位長度質(zhì)量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為M的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動時系統(tǒng)的特征值問題。對于上述超越方程，只要給定系統(tǒng)參數(shù)，就能得到系統(tǒng)的特征值wi

。特征方程由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則從方程可知U(x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫邊界條件由x＝L

處的邊界條件得或特征函數(shù)為U

i

為自由振動特征值問題討論作縱向振動桿邊界條件的討論邊界狀況左端右端固定自由帶有彈簧k帶有集中質(zhì)量M振動微分方程從連續(xù)系統(tǒng)直接導出

設長度為L、一端固定一端自由的桿上受均布外扭矩M(x,t)與軸的轉(zhuǎn)角q同向，桿的扭轉(zhuǎn)剛度與單位長度轉(zhuǎn)動慣量分別為G

IP

(x)和J(x)。

根據(jù)材料力學，任一瞬時作用在桿微段兩端的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力矩之和與軸的剪應變成正比

取桿的微段dx，隔離體受力分析圖或

根據(jù)動量矩定律，任一瞬時作用在桿微段上的內(nèi)外力矩與桿微段的角加速度有如下關系自由振動特征值問題方程邊界條件用分離變量法，設：代入方程：兩邊同除以Q

(x)J

(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x

和t，因此兩邊都等于常數(shù)。設常數(shù)為-w2：自由振動特征值問題從關于時間的方程

從關于位置x的方程可以確定位移的形狀Q

(x)，它必須在區(qū)間0<x<L滿足方程及邊界條件。解得F(t)與弦振動的特征值問題作比較結(jié)論只要把弦振動特征值問題中的Y(x)

、T(x)和r

(x)換作Q

(x)

、GIP

(x)

和J(x)

就得到桿作縱向振動的特征值問題表達式。自由振動特征值問題例

6圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉(zhuǎn)剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的GIP和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知Q

(x)是x的簡諧函數(shù)，一般可寫由邊界條件Q

(0)＝0可得b=0,則由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為由x=L處的邊界條件可得自由振動特征值問題例

7設圖示軸系由長度為L、單位長度轉(zhuǎn)動慣量為J、扭轉(zhuǎn)剛度為GIP的均勻桿和轉(zhuǎn)動慣量為J1和J1的剛性薄圓盤組成，整個軸系在扭轉(zhuǎn)角方向無約束。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動時系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的GIP和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：或兩邊的邊界條件為：自由振動特征值問題代入整理得例

7邊界條件利用自由振動特征值問題例

7分離變量后的方程從方程可知Q