高中數(shù)學蘇教版2第一章導數(shù)及其應用

學業(yè)分層測評(一)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、填空題1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在2,6]上的平均變化率為________．【解析】eq\f(f6－f2,6－2)＝eq\f(\f(1,6)－\f(1,2),6－2)＝－eq\f(1,12).【答案】－eq\f(1,12)2．函數(shù)f(x)＝log2x在區(qū)間2,4]上的平均變化率是________．【解析】函數(shù)的平均變化率是eq\f(f4－f2,4－2)＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)3．已知某質點的運動規(guī)律為s(t)＝5t2(單位：m)，則在1s到3s這段時間內，該質點的平均速度為________m/s.【解析】eq\f(s3－s1,3－1)＝eq\f(5×32－5×12,2)＝20(m/s)．【答案】204．在雨季潮汛期間，某水位觀測員觀察千島湖水位的變化，在24h內發(fā)現(xiàn)水位從102.7m上漲到105.1m，則水位漲幅的平均變化率是________m/h.【解析】eq\f－,24)＝(m/h)．【答案】5．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b在區(qū)間1,8]上的平均變化率為3，則實數(shù)a＝________.【解析】對于一次函數(shù)，在其定義域內的任一區(qū)間上的平均變化率相等．與一次函數(shù)對應直線的斜率相等．故a＝3.【答案】36．已知某物體運動的速度與時間之間的關系式是v(t)＝t＋eq\f(1,3)t3，則該物體在時間間隔eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))內的平均加速度為________．【解析】平均加速度eq\f(\f(3,2)＋\f(1,3)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3))),\f(3,2)－1)＝eq\f(31,12).【答案】eq\f(31,12)7．設某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為C(x)＝1100＋eq\f(x2,1200)，其中x為產(chǎn)量數(shù)，生產(chǎn)900個單位到1000個單位時總成本的平均變化率為________．【解析】C(1000)－C(900)＝eq\f(10002－9002,1200)則eq\f(C1000－C900,1000－900)＝eq\f(1000＋900×100,1200×100)＝eq\f(19,12).【答案】eq\f(19,12)8．汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖1-1-2所示．在時間段t0，t1]，t1，t2]，t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，其三者的大小關系是________．圖1-1-2【解析】∵eq\x\to(v)1＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kMA，eq\x\to(v)2＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v)3＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由圖象可知：kMA<kAB<kBC，∴eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1.【答案】eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1二、解答題9．假設在生產(chǎn)8到30臺機器的情況下，生產(chǎn)x臺機器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x臺的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，則生產(chǎn)并售出10臺至20臺的過程中平均利潤是多少元？【解】依題意，生產(chǎn)并售出x臺所獲得的利潤是L(x)＝r(x)－c(x)＝3x2－3x(元)，∴x取值從10臺至20臺的平均利潤為eq\f(L20－L10,20－10)＝eq\f(3×202－3×20－3×102－3×10,10)＝87(元)，故所求平均利潤為87元．10．2023年冬至2023年春，某國北部某省冬麥區(qū)遭受嚴重干旱，根據(jù)某市農(nóng)業(yè)部門統(tǒng)計，該市小麥受旱面積如圖1-1-3所示，據(jù)圖回答：圖1-1-3(1)2023年11月至2023年12月間，小麥受旱面積變化大嗎？(2)哪個時間段內，小麥受旱面積增幅最大？(3)從2023年11月到2023年2月，與從2023年1月到2023年2月間，試比較哪個時間段內，小麥受旱面積增幅較大？【解】(1)在2023年11月至2023年12月間，Δs變化不大，即小麥受旱面積變化不大．(2)由圖形知，在2023年1月至2023年2月間，平均變化率eq\f(Δs,Δt)較大，故小麥受旱面積增幅最大．(3)在2023年11月至2023年2月間，平均變化率為eq\f(sB－sA,3)，在2023年1月至2023年2月間，平均變化率為eq\f(sB－sC,1)＝sB－sC，顯然kBC>kAB，即sB－sC>eq\f(sB－sA,3)，∴在2023年1月至2023年2月間，小麥受旱面積增幅較大．能力提升]1．如圖1-1-4是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2]上的平均變化率為________.【導學號：01580002】圖1-1-4【解析】由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，x＋1，1<x≤3.))所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2]上的平均變化率為eq\f(f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)2．已知曲線y＝eq\f(1,x)－1上兩點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋Δx，－\f(1,2)＋Δy))，當Δx＝1時，直線AB的斜率為________．【解析】∵Δx＝1,2＋Δx＝3，∴f(2＋Δx)－f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,6).kAB＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝－eq\f(1,6).【答案】－eq\f(1,6)3．函數(shù)y＝x3＋2在區(qū)間1，a]上的平均變化率為21，則a＝________.【解析】eq\f(a3＋2－13＋2,a－1)＝eq\f(a3－1,a－1)＝a2＋a＋1＝21.解之得a＝4或a＝－5.又∵a>1，∴a＝4.【答案】44．(2023·泰安檢測)巍巍泰山為我國五岳之首，有“天下第一山”之美譽，登泰山在當?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路線圖．同樣是登山，但是從A處到B處會感覺比較輕松，而從B處到C處會感覺比較吃力．想想看，為什么？你能用數(shù)學語言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎？圖