高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù) 全國公開課

第1章第2課時(shí)1.1.2弧度制課前準(zhǔn)備溫故知新：過去我們學(xué)習(xí)過用角度制來度量角，這種度量角的方法很好理解，但給出的弧長公式較繁雜，不是很簡潔。既然長度和重量等都有多種度量制，那么角度是不是會(huì)有更簡潔的度量方法呢？研究發(fā)現(xiàn)，圓的弧長與半經(jīng)的比值的大小只與所對(duì)圓心角的大小直接相關(guān)，而與圓的半經(jīng)和弧長不直接相關(guān)。這就為我們?cè)O(shè)計(jì)度量角的新方法提供了方便。學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解弧度制.掌握角度與弧度的換算公式并能熟練地進(jìn)行角度與弧度的換算.同時(shí)要求同學(xué)們熟記特殊角的弧度數(shù)掌握用弧度制表示的弧長公式、扇形面積公式．培養(yǎng)同學(xué)們運(yùn)用弧度制解決具體問題的意識(shí)和能力．課前思索：如何解決角度制下公式的煩瑣問題？弧度制的引入對(duì)解決與角相關(guān)問題的優(yōu)越性在那里？角度制下的角與弧度制下的角如何互化？課堂學(xué)習(xí) 一、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1．角度制：過去同學(xué)們研究過角的度量，當(dāng)時(shí)是用度做單位來度量角，1°的角是如何定義的？實(shí)際上是規(guī)定周角的作為1°的角，我們把用度做單位來度量角的制度叫做角度制，有了它，可以計(jì)算弧長，公式為．這種度量角的方法便于理解，但在使用時(shí)還是有不方便的地方，這就導(dǎo)致能不能用更為簡潔的形式度量角的思考。2．弧度制：把等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零?；《戎频慕⒔嵌扰c實(shí)數(shù)建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。3．為什么可以用弧長與其半徑的比值來度量角的大小呢？即這個(gè)比值是否與所取的圓的半徑大小有關(guān)呢？如圖，設(shè)為的角，圓弧和的長分別為和，點(diǎn)和到點(diǎn)的距離（即圓半徑）分別為和，由己學(xué)過的弧長公式可得：，，于是．上式表明，以角為圓心角所對(duì)的弧長與其半徑的比值，由的大小來確定，與所取的半徑大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．4．扇形的弧長與面積公式：弧長公式為，面積為，其中為扇形所對(duì)應(yīng)圓的半徑；為扇形的中心角。另外任一已知角的弧度數(shù)的絕對(duì)值，其中為以角為圓心角時(shí)所對(duì)應(yīng)的的圓弧長，為圓的半徑。5．弧度制與角度制相比，是否具有優(yōu)點(diǎn)呢?同學(xué)們知道在用角度制表示角的時(shí)候，人們總是十進(jìn)制、六十進(jìn)制并用的．比如角＝33°35′2″，其中33、35、2都是十進(jìn)數(shù)，而度、分、秒之間的關(guān)系是六十進(jìn)（退）位的．所以，為了找出與角對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，要經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算，這就不是很方便了．在用弧度表示角的時(shí)候，人們只用十進(jìn)制，所以容易找出與角對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．另外，弧度制下的弧長公式l＝|α|r，比角度制下的弧長公式，具有更為簡潔的形式．還有，如果已知圓心角等于α弧度，那么用弧度制下扇形面積公式S＝||r2求扇形面積，也比用角度制下的公式S＝更為簡潔．6．弧度制下象限角的表示：角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與軸正半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就稱這個(gè)角為第幾象限角；弧度制下各象限的角的范圍如下：①第一象限角表示為（或）；②第二象限角表示為（或）；③第三象限角表示為（或）；④第四象限角表示為（或）。弧度制下的軸線角：角的終邊落在坐標(biāo)軸上稱為軸線角（軸上角），這個(gè)角不屬于任何象限。①終邊在軸的非負(fù)半軸上的角可表示為；②終邊在軸的非正半軸上的角可表示為；③終邊在軸的非負(fù)半軸上的角可表示為；④終邊在軸的非正半軸上的角可表示為⑤終邊在軸上的角可表示為；⑥終邊在軸上的角可表示為；⑦終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為。7．終邊與角終邊對(duì)稱的角的表示：①終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的角可以表示為；②終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角可以表示為；③終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角可以表示為；二、合作探究例1已知下列各個(gè)角：，，，.將它們化為另一種度量制下的角分別是多少？解；；；.點(diǎn)評(píng)：弧度制與角度制下角的轉(zhuǎn)換是后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)常用的知識(shí)．要求同學(xué)們必須熟練掌握．例2用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不含邊界)．解：⑴OB的終邊上找到一個(gè)角－30°＝－，而OA的終邊上的角75°＝．故所求的區(qū)域角的集合為：{|2k－＜＜2k＋，k∈Z}．⑵所求的區(qū)域角的集合為：{|2k－＜＜2k＋，k∈Z}．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于角的范圍的表示一要注意邊界角的正確表示，二要注意不等式兩邊的角的大小，還不能忘記．例3已知扇形的周長為30cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大?最大面積是多少?解：設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r，面積為S，弧長為l，則有l(wèi)+2r=30∴l(xiāng)=30-2r,從而S=l·r=(30-2r)·r=-r2+15r=-(r-)2+∴當(dāng)半徑r=cm時(shí)，扇形面積的最大值是cm2，這時(shí)α==2弧度點(diǎn)評(píng)：要求扇形的面積的最大值，就應(yīng)建立扇形面積的函數(shù)，而建立函數(shù)時(shí)，可以將半徑r選作自變量.上面解法是利用扇形面積公式建立二次函數(shù)，進(jìn)而求二次函數(shù)的最值．此題是扇形周長一定時(shí)，求扇形的面積的最大值，利用這種法也可以求當(dāng)扇形的面積一定其周長的最小值問題．這就是一題多變，你想了嗎？三、課堂練習(xí)1．已知，則是（ ）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．是第（）象限的角。A．一B．二C．三D．四3．若角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則與的關(guān)系是___________。4．判斷是第幾象限的角.5．已知扇形的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積.6．如圖，單位圓上一點(diǎn)A從點(diǎn)出發(fā)，按逆時(shí)針方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)A每秒轉(zhuǎn)過角，，經(jīng)過2秒鐘到達(dá)第三象限，經(jīng)過14秒鐘回到原來的位置，求角的大小.四、課后作業(yè)1．已知集合，，則（）.ABCD2．已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長也是2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長是()A．2B．C．2sin1D．sin23．把化成的形式為4．若小于的正角的6倍的終邊與軸的正半軸重合，求滿足條件的所有角的集合。5．已知扇形的周長為cm，面積為cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)．學(xué)后反思自我總結(jié)知識(shí)歸納方法總結(jié)錯(cuò)誤總結(jié)答案與詳解三、課堂練習(xí)1．C提示：。2．Ａ解析：∵，∴與終邊相同，∴的終邊在第一象限．3．提示：與關(guān)于軸對(duì)稱，所以。4．解：∵，∴與終邊相同，而是第二象限的角，故是第二象限的角.5．解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為，則有∴扇形的面積6．解：設(shè)經(jīng)過14秒鐘A轉(zhuǎn)過了圈，設(shè)，由弧長公式及已知條件，得，即，且已知在第三象限，，故，，解得由于，或5，故，或四、課后作業(yè)1．D解集合表示第一、二象限和軸上的角及軸非負(fù)半軸上的角，由于，所以集合（因?yàn)樽罱K結(jié)果是找交集的，所以可以用近似值表示），從而借助于坐標(biāo)系得到，選擇D.當(dāng)然也可以對(duì)取值直接找它們的公共區(qū)域內(nèi)的范