高中數(shù)學(xué)人教A版第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）指數(shù)函數(shù) 優(yōu)秀

8．分數(shù)指數(shù)冪張長印學(xué)習(xí)目標1．理解分數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，理解次方根式的概念．2．熟練掌握用根式與分數(shù)指導(dǎo)數(shù)冪表示一個正實數(shù)的算術(shù)根．3．能運用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行運算和化簡，會進行根式與分數(shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化．一、夯實基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1．整數(shù)指數(shù)冪的概念．（1）正整數(shù)指數(shù)冪：．（2）零指數(shù)冪：．（3）負整數(shù)指數(shù)冪：．2．整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：（1）；（2）；（3）．3．如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根；如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根．4．如果，那么叫做的次方根，其中，且．（1）當是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù)．此時，的次方根用符號表示．（2）當是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)．此時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根有符號表示．正的次方根與負的次方根可以合并成．（3）負數(shù)沒有偶次方根．0的任何次方根都是0，記作．（4）式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．（5）負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是，記作．5．次方根的意義，．6．分數(shù)指數(shù)冪（1）正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪：__________（）（2）正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪：__________（）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．7．有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則：（1）__________（）（2）__________（）（3）__________（）基礎(chǔ)達標1．將化為分數(shù)指數(shù)冪，其正確的形式是（）A． B． C． D．2．可化簡為（）．A．1 B． C． D．3．下列各式中成立的是（）A． B． C． D．4．27的平方根和立方根分別是__________．5．化簡__________．二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．初中，我們學(xué)過平方根、立方根這一重要數(shù)學(xué)概念，請敘述平方根、立方根這兩個概念內(nèi)容，并指出它們的表示方法．2．冪指數(shù)表示與我們的生活息息相關(guān)，下一列實際問題的結(jié)果果都要用到冪指數(shù)表示，請用冪指數(shù)把它們的結(jié)果表示出來，并總結(jié)這些問題的共同特點．（1）某市人口平均每年增長率為，2000年人口數(shù)為1萬，則3年后人口數(shù)為多少萬？（2）國務(wù)院發(fā)展研究中心在2000年分析，我國未來20年（國內(nèi)生產(chǎn)總值）年平均增長率為，則十年后為2000年的多少倍？（3）生物死亡后，體內(nèi)碳14每過5730年衰減一半（半衰期），則死亡年后體內(nèi)碳14的含量與死亡時碳14的關(guān)系為？（4）某人有銀行存入萬元，年利率為，按復(fù)利計算，5年后，從銀行連本帶息全部取出，他能取出多少錢？3．閱讀課本，請敘述根式的概念．4．請總結(jié)根式運算性質(zhì)及根式化簡方法．5．閱讀課本，看看分數(shù)指數(shù)冪是如何規(guī)定的？指數(shù)冪有哪些運算性質(zhì)？案例分析1．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）．2．用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式：（1）；（2）；（3）．【解析】根式運算一般先化為分數(shù)指數(shù)冪再進行運算比較方便．（1）；（2）；（3）．3．求下列函數(shù)的定義域；（1）；（2）．【解析】（1）有意義當且僅當；對一切實數(shù)都有意義：有意義當且僅當，故所求函數(shù)定義域為：．（2）有意義當且僅當；有意義當且僅當，故所求函數(shù)定義域為：．4．已知，若，求．【解析】由得，，即．所以，故．5．從盛滿1升純酒精的容器中倒出升，然后用水填滿，再倒出升，又用水填滿，這樣進行5次，則容器中剩下的純酒精的升數(shù)為多少？【解析】設(shè)第次倒完后容器中剩下的純酒精的升數(shù)為，則第次倒完后容器中剩下的純酒精的升數(shù)為，則從第1次開始，容器中剩下的純酒精的升數(shù)依次為：，，，，．這樣進行5次，容器中和剩下的純酒精的升數(shù)為．三、能力提升能力闖關(guān)1．已知，求的值．2．化簡．3．設(shè)．（1）將化簡為關(guān)于的冪的形式．（2）是否存在，使得是關(guān)于的整數(shù)指數(shù)冪？拓展遷移1．化簡得（）A． B． C． D．2．已知實數(shù)滿足方程．（1）試找出一組滿足方程的實數(shù)；（2）化簡方程，使結(jié)果不含根式．挑戰(zhàn)極限1．是否存在無理數(shù)，使得是有理數(shù)？若存在，請舉例說明；若不存在，請說明理由．課程小結(jié)1．對于根式符號，要注意以下幾點；（1）當時，一般省略不寫，即；（2）0的次方根一定為0，即；（3）當是大于1的奇數(shù)時，對任意實數(shù)，都有意義，它表示實數(shù)的次方根，是一個確定的實數(shù)．（4）當是大于1的偶數(shù)時，對任意非負實數(shù)，都有意義，且時，它表示正數(shù)的正的次方根，是一個確定的正實數(shù)，另一個負的次方根為．2．若，，則（哦奇數(shù)時，可取一切實數(shù)；為偶數(shù)時，）；3．對于分數(shù)指數(shù)冪根，要注意以下幾點：（1）分數(shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式．，（，且），0的正分數(shù)指數(shù)冪是0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義，．（2）引入分數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)概念就實現(xiàn)了由整數(shù)到有理數(shù)的擴充，同樣，運算性質(zhì)也擴充了適用范圍：設(shè)，則，．（3）進行根式運算一般先化為分數(shù)指數(shù)冪再進行運算往往比較方便，分數(shù)指數(shù)冪的計算與化簡，要注意多項式乘法分式的應(yīng)用．

8．分數(shù)指數(shù)冪基礎(chǔ)梳理6．（，且）：（，且）．7．（）：：基礎(chǔ)達標1．．2．．【解析】．3．．【解析】A．；B．；C．；D．．4．，．【解析】因為，所以的平方根有兩個：與；而，所以的立方根是．5．．【解析】．自主探究1．【解析】平方根、立方根含義及符號表示如下：（1）如果，那么叫做的平方根．正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)，其中正平方根稱為算術(shù)平方根，記作，負平方根記作，的平方根記為．（2）如果，那么叫做的立方根．若，則；若，則；若，則．實數(shù)的立方根是唯一的，記作：．2．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．這些問題的共同特點就是：問題都是和變化率有關(guān)，且這些變化率是固定常數(shù)．3．【解析】一般地，若，那么叫做的次方根，其中．當為奇數(shù)時，正常的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù)．記為．當為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，記為；負數(shù)沒有偶次方根．的次方根都是，記作．4．【解析】根式有如下運算性質(zhì)：（1）；（2）；（3）．化簡方法：當是奇數(shù)時，；當是偶數(shù)時，5．【解析】分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定如下：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；若是正分數(shù)，則；符號沒有意義．指數(shù)冪的運算性質(zhì)規(guī)定如下：（1）；；（2）；（3）．從上述運算性質(zhì)，我們可以看出：若，則．能力闖關(guān)1．【解析】由得，兩邊平方得，所以，．2．【解析】原式．3．【解析】（1）．（2）當且僅當時，可化為關(guān)于的整數(shù)指數(shù)冪．說明：確定指數(shù)為整數(shù)時，可在的允許取值范圍內(nèi)由小到大依次取值檢驗，決定取舍．拓