二維圖形變換2014

第五章圖形的變換

1.變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.圖形變換的基本概念3.變換的齊次坐標(biāo)表示4.二維幾何變換√1.變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)A.

矢量矢量和矢量的數(shù)乘矢量的點(diǎn)積性質(zhì)矢量的長度單位矢量矢量的夾角矢量的叉積B.矩陣

矩陣的定義：由m×n個(gè)數(shù)按一定位置排列的一個(gè)整體，簡(jiǎn)稱m×n矩陣。A=其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素矩陣的運(yùn)算加法設(shè)A，B為兩個(gè)具有相同行和列元素的矩陣A+B=乘法設(shè)A為2×3矩陣，B為3×2矩陣

C=A·B=單位矩陣在一矩陣中，其主對(duì)角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作In。

逆矩陣

若矩陣A存在A·A-1=A-1·A=I，則稱A-1為A的逆矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A=(aij)m×n的行和列互換而得到的n×m矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT

。

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT

當(dāng)A為n階矩陣，且A=AT，則

A是對(duì)稱矩陣。矩陣運(yùn)算的基本性質(zhì)交換律與結(jié)合律

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C數(shù)乘的分配律及結(jié)合律

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A矩陣乘法的結(jié)合律及分配律

A·(B·C)=(A·B)·C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩陣的乘法不適合交換律

第五章圖形的變換

1.變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.圖形變換的基本概念3.變換的齊次坐標(biāo)表示4.二維幾何變換√圖形變換是圖形顯示過程中不可缺少的一個(gè)環(huán)節(jié)。通過圖形變換可由簡(jiǎn)單圖形生成復(fù)雜圖形；改變和管理各種圖形的顯示。例如：通過調(diào)整組成部分的方向和大小來實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)和實(shí)施布局；通過沿動(dòng)畫路徑移動(dòng)“照相機(jī)”或場(chǎng)景中的對(duì)象而產(chǎn)生動(dòng)畫；通過改變對(duì)象坐標(biāo)描述的幾何變換來完成在方向、尺寸和形狀方面的變化。

第五章圖形的變換

1.變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.圖形變換的基本概念3.變換的齊次坐標(biāo)表示4.二維幾何變換√

可用齊次坐標(biāo)三元組(xh,yh,h)表示每個(gè)笛卡爾坐標(biāo)位置(x,y)。其中：x=xh/h，y=yh/h，也可寫為(h·x,

h·y,

h)齊次參數(shù)h可取為任何非零值，每個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)(x,y)可有無數(shù)個(gè)等價(jià)齊次表達(dá)。最方便的選擇是設(shè)置h=1。即：每個(gè)二維位置都可用齊次坐標(biāo)(x,y,1)來表示。參數(shù)h的其它值也是需要的。變換的齊次坐標(biāo)表示

第五章圖形的變換

1.變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.圖形變換的基本概念3.變換的齊次坐標(biāo)表示4.二維幾何變換√√基本幾何變換：平移將物體沿直線路徑從一個(gè)坐標(biāo)位置到另一個(gè)坐標(biāo)位置重定位。給原始坐標(biāo)位置(x,y)加上平移距離tx和ty來表示到新位置(x1,y1)：x1

=x+tx，y1

=y+ty(tx,ty)稱為平移向量。平移的矩陣方程：

P1

=P+T

T=(tx,ty)T,P=(x,y)T,P1=(x1,y1)T

PP1T平移的特性不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛體變換，物體上的每個(gè)點(diǎn)移動(dòng)相同的坐標(biāo)。直線的平移是將平移方程加到線的每個(gè)端點(diǎn)上；多邊形的平移是將平移向量加到每個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；曲線可用同樣方法來平移：為了改變圓或橢圓的位置，可以平移中心坐標(biāo)并在新中心位置重畫圖形；通過替代定義曲線的坐標(biāo)位置，而后用平移過的坐標(biāo)點(diǎn)來重構(gòu)曲線路徑來實(shí)現(xiàn)其它曲線的平移。TT√

2.旋轉(zhuǎn)變換二維旋轉(zhuǎn)--是指定物體以旋轉(zhuǎn)點(diǎn)(或基準(zhǔn)點(diǎn))的位置(xr,yr)和旋轉(zhuǎn)角θ(逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)角為正),將物體沿xy平面內(nèi)的圓弧路徑重定位?；颍豪@通過基準(zhǔn)點(diǎn)、垂直于xy平面的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。當(dāng)基準(zhǔn)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，變換方程：x1=xcosθ–ysinθ

y1=xsinθ+ycosθ

方程的向量矩陣為：P1=R·P

旋轉(zhuǎn)矩陣為：PP1xy旋轉(zhuǎn)變換的特性旋轉(zhuǎn)也是一種不變形地移動(dòng)物體的剛體變換，物體上的所有點(diǎn)旋轉(zhuǎn)相同的角度：直線段旋轉(zhuǎn)是將每個(gè)線端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)指定的旋轉(zhuǎn)角；多邊形的旋轉(zhuǎn)則是將每個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)指定的旋轉(zhuǎn)角；曲線的旋轉(zhuǎn)則是旋轉(zhuǎn)控制取樣點(diǎn)。(xr,yr)√3.縮放(比例)變換該操作施加于多邊形。通過將每個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)值(x,y)乘以縮放系數(shù)sx和sy，產(chǎn)生變換的坐標(biāo)(x1,y1)：

x1＝

x·sx

y1＝y(tǒng)·sy

sx在x方向?qū)ξ矬w的縮放系數(shù)，sy在y方向?qū)ξ矬w的縮放系數(shù)。相對(duì)于原點(diǎn)的縮放矩陣形式：P1＝S·P

縮放矩陣：XYP1P2相對(duì)原點(diǎn)的一致縮放縮放系數(shù)sx和sy可賦予任何正數(shù)。小于1縮小物體的尺寸；大于1則放大物體；當(dāng)sx和sy值相同時(shí)，產(chǎn)生一致縮放；sx和sy值不等時(shí)產(chǎn)生差值縮放。用縮放方程變換的物體既被縮放，

又被重定位。當(dāng)縮放系數(shù)值大于1時(shí)則將坐標(biāo)位置遠(yuǎn)離原點(diǎn)。XYP1P2相對(duì)原點(diǎn)的一致縮放縮放變換的特性縮放變換改變物體的尺寸?？蛇x擇一個(gè)在縮放變換后不改變位置的點(diǎn)(固定點(diǎn))來控制縮放物體的位置。固定點(diǎn)的坐標(biāo)(xf,yf)可以選擇頂點(diǎn)之一、物體中點(diǎn)或任何其它位置。多邊形通過縮放每個(gè)頂點(diǎn)到固定點(diǎn)的距離而相對(duì)于固定點(diǎn)縮放?！?.對(duì)稱(反射)變換反射(對(duì)稱)變換是產(chǎn)生物體的鏡像的一種變換。相對(duì)反射(對(duì)稱)軸的一維反射鏡像是通過將物體繞反射(對(duì)稱)軸旋轉(zhuǎn)180度而生成的。關(guān)于原點(diǎn)反射關(guān)于x軸反射關(guān)于y軸反射5.√6.錯(cuò)切變換會(huì)使物體形狀發(fā)生變化的變換，

經(jīng)過錯(cuò)切的物體好象是由已經(jīng)相互

滑動(dòng)的內(nèi)部夾層組成。常用錯(cuò)切變換有兩種：改變x坐標(biāo)值；改變y坐標(biāo)值。錯(cuò)切變換相對(duì)x軸的x方向錯(cuò)切將坐標(biāo)

位置轉(zhuǎn)換成：x1＝x+shx·yy1＝y(tǒng)坐標(biāo)位置(x,y)水平地移動(dòng)一個(gè)

與它到x軸距離(y值)成shx比例的量；shx為負(fù)，坐標(biāo)位置向左移動(dòng)。√7.復(fù)合變換矩陣的合并或復(fù)合：利用矩陣表示，通過計(jì)算單個(gè)變換矩陣的乘積，將任意順序變換的矩陣建立為復(fù)合變換矩陣。對(duì)于坐標(biāo)位置的列矩陣表示，以從右向左的次序進(jìn)行矩陣乘而形成復(fù)合變換。即：每個(gè)隨后的變換矩陣左乘前面的變換矩陣。復(fù)合平移：P1＝{T(txn,tyn)·……·T(tx2,ty2)·T(tx1,ty1)}·P復(fù)合旋轉(zhuǎn)：P1＝{R(θn)·……·R(θ2)·R(θ1)}·P

復(fù)合變換復(fù)合縮放：P1＝{S(sxn,syn)·……·S(sx2,sy2)·S(sx1,sy1)}·P復(fù)合變換：先縮放后平移再旋轉(zhuǎn)：

P1＝{R(θn)·T(txn,tyn)·S(sxn,syn)}·P注意：矩陣乘法不滿足交換率：

M1?M2≠M(fèi)2?M1，所以變換的結(jié)果和變換執(zhí)行的順序有關(guān)。

只有在兩個(gè)變換類型相同，或兩者分別是一致縮放與旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，兩者可以交換。任意對(duì)稱(反射)變換關(guān)于xy平面內(nèi)任意線y=mx+