高中數(shù)學(xué)蘇教版3第一章計數(shù)原理1．4計數(shù)應(yīng)用題 第1章計數(shù)應(yīng)用題學(xué)業(yè)分層測評

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．從乒乓球運(yùn)動員男5名、女6名中組織一場混合雙打比賽，不同的組合方法有________種．【解析】分兩步進(jìn)行：第一步，選出兩名男選手，有Ceq\o\al(2,5)種方法；第2步，從6名女生中選出2名且與已選好的男生配對，有Aeq\o\al(2,6)種．故有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,6)＝300種．【答案】3002．將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案共有________種．【解析】先把4名教師分成2,1,1三組，再分配到3所中學(xué)，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36種分配方案．【答案】363．在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種．(用數(shù)字作答)【解析】分兩種情況：一種是有一人獲得兩張獎券，一人獲得一張獎券，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝36種；另一種是三人各獲得一張獎券，有Aeq\o\al(3,4)＝24種．故共有60種獲獎情況．【答案】604．某外商計劃在5個候選城市投資3個不同的項(xiàng)目，且在同一個城市投資的項(xiàng)目不超過2個，則該外商不同的投資方案有________．【解析】分兩類：第一類，每個城市只能投資1個項(xiàng)目，共有Aeq\o\al(3,5)種方案；第二類，有一個城市投資2個項(xiàng)目，共有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,4)種方案．由分類計數(shù)原理得共有Aeq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,4)＝120(種)方案．【答案】120種5．由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1,3都不與5相鄰的六位偶數(shù)共________個.【導(dǎo)學(xué)號：29440020】【解析】分兩類：若1與3相鄰，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝72(個)，若1與3不相鄰，有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(個)．故共有72＋36＝108個．【答案】1086．甲、乙、丙三人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．【解析】由題意分類計數(shù)：若7個臺階上每一個臺階只站一人，則“3人站到7級的臺階上”有Aeq\o\al(3,7)種不同的站法；若選用2個臺階，有一個臺階站2人，另一個站1人，則“3人站到7級的臺階上”有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)種不同的站法．因此不同的站法種數(shù)是Aeq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)＝336.【答案】3367．某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有________種．【解析】(1)若甲乙安排在開始兩天，則丁有4種選擇，共有安排方案Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝192種；(2)若甲乙安排在最后兩天，則丙有4種選擇，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝192種；(3)若甲乙安排在中間5天，選擇兩天有4種可能，①若丙安排在10月7日，丁有4種安排法，共有4×Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,3)＝192種；②若丙安排在中間5天的其它3天，則丁有3種安排法，共有4×Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝432種，所有共有192＋192＋192＋432＝1008種．【答案】10088．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四個關(guān)系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)是________．【解析】由題意知①②③④中有且只有一個正確，其余三個均不正確，下面分類討論滿足條件的有序數(shù)組(a，b，c，d)的個數(shù)；(1)若①正確，即a＝1，則②③④都錯誤，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1與b＝1矛盾，顯然此種情況不存在．(2)若②正確，即b≠1，則①③④都錯誤，即a≠1，c≠2，d＝4，則當(dāng)b＝2時，有a＝3，c＝1；當(dāng)b＝3時，有a＝2；c＝1此時有2種有序數(shù)組．(3)若③正確，即c＝2，則①②④都錯誤，即a≠1，b＝1，d＝4，則a＝3，即此種情況有1種有序數(shù)組．(4)若④正確，即d≠4，則①②③都錯誤，即a≠1，b＝1，c≠2，則當(dāng)d＝2時，有a＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2種有序數(shù)組；當(dāng)d＝3時，有c＝4，a＝2，僅1種有序數(shù)組．綜上可得共有2＋1＋2＋1＝6(種)有序數(shù)組．【答案】6二、解答題9．3名男同志和3名女同志到4輛不同的公交車上服務(wù)，(1)若每輛車上都需要人但最多安排男女各一名，有多少種安排方法？(2)若男女各包2輛車，有多少種安排方法？【解】(1)先將3名男同志安排到車上有Aeq\o\al(3,4)種方法，在未安排男同志的那輛車安排女同志有Ceq\o\al(1,3)種方法，還有2個女同志有Aeq\o\al(2,3)種安排方法，故共有Aeq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝432種安排方法．(2)男同志分2組有Ceq\o\al(2,3)種方法，女同志分2組有Ceq\o\al(2,3)種方法，將4組安排到4輛車上有Aeq\o\al(4,4)種方法，故共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝216種安排方法．10．有12名劃船運(yùn)動員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，其余5人既會劃左舷又會劃右舷，現(xiàn)在要從這12名運(yùn)動員中選出6人平均分在左、右舷劃船參加比賽，則有多少種不同的選法？【解】設(shè)集合A＝{只會劃左舷的3個人}，B＝{只會劃右舷的4個人}，C＝{既會劃左舷又會劃右舷的5個人}．先分類，以集合A為基準(zhǔn)，劃左舷的3個人中，有以下幾類情況：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．第①類，劃左舷的人已選定，劃右舷的人可以在B∪C中選3人，即有Ceq\o\al(3,9)種選法．因是分步問題，所以有Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(3,9)種選法．第②類，劃左舷的人在A中選2人，有Ceq\o\al(2,3)種選法，在C中選1人，有Ceq\o\al(1,5)種選法，劃右舷的人在B∪C中剩下的8個人中選3人，有Ceq\o\al(3,8)種選法．因是分步問題，所以有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(3,8)種選法．類似地，第③類有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,7)種選法，第④類有Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(3,6)種選法．故有Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(3,9)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(3,6)＝84＋840＋1050＋200＝2174種不同的選法．[能力提升]1．如果一個三位正整數(shù)a1a2a3滿足a1＜a2＜a3，則稱這樣的三位數(shù)為“好數(shù)”(如123,367,378)，那么三位數(shù)中所有“【解析】由題意，在1,2，…，9這九個數(shù)字中任取3個，只能組成1個“好數(shù)”(0不能選，因?yàn)槿暨x0，則0只能排在首位，此時已不是三位數(shù))，故有好數(shù)Ceq\o\al(3,9)＝84個．【答案】84個2．今有2個紅球，3個黃球，4個白球，若同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列共有________種不同的方法(用數(shù)字作答).【導(dǎo)學(xué)號：29440021】【解析】法一：只需找到不同顏色的球所在的位置即可，共有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＝1260種方法．法二：同色球不加以區(qū)分(即屬相同元素排列的消序問題)，先全排列，再消去各自的順序即可，則將這9個球排成一列共有eq\f(A\o\al(9,9),A\o\al(2,2)A\o\al(3,3)A\o\al(4,4))＝1260種不同的方法．【答案】12603．如圖1-4-3，A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方案共有________種．圖1-4-3【解析】如圖，構(gòu)造三棱錐ABCD；四個頂點(diǎn)表示四個小島，六條棱表示連接任意兩島的橋梁．由題意，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法．這可由間接法完成：從六條棱中任取三條棱的不同取法有Ceq\o\al(3,6)種，任取三條共面棱的不同取法有4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法有Ceq\o\al(3,6)－4＝16種．故不同的建橋方案共有16種．【答案】164．如圖1-4-4所示，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點(diǎn)C1，C2，…，C6，直徑AB上有異于A，B的四個點(diǎn)D1，D2，D3，D4，則：(1)以這12個點(diǎn)(包括A，B)中的4個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個四邊形？圖1-4-4(2)以這10個點(diǎn)(不包括A，B)中的3個點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個三角形？其中含點(diǎn)C1的有多少個？【解】(1)構(gòu)成四邊形，需要四個點(diǎn)，且無三點(diǎn)共線，可以分成三類：①四個點(diǎn)從C1，C2，…，C6中取出，有Ceq\o\al(4,6)個四邊形；②三個點(diǎn)從C1，C2，…，C6中取出，另一個點(diǎn)從D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(1,6)個四邊形；③二個點(diǎn)從C1，C2，…，C6中取出，另外二個點(diǎn)從D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,6)個四邊形．故滿足條件的四邊形共有N＝Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\