高中數(shù)學(xué)人教B版第三章不等式【全國(guó)一等獎(jiǎng)】

第三章第1課時(shí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．若a、b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542662)(D)A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2[解析]∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A錯(cuò)誤．對(duì)于B、C，當(dāng)a<0，b<0時(shí)，明顯錯(cuò)誤．對(duì)于D，∵ab>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.2．設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542663)(B)A．a(chǎn)<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) B．a(chǎn)<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a(chǎn)<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2) D．eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b[解析]∵0<a<b，∴a<eq\f(a＋b,2)<b，A、C錯(cuò)誤；eq\r(ab)－a＝eq\r(a)(eq\r(b)－eq\r(a))>0，即eq\r(ab)>a，故選B．3．設(shè)x、y∈R，且x＋y＝5，則3x＋3y的最小值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542664)(D)A．10 B．6eq\r(3)C．4eq\r(6) D．18eq\r(3)[解析]x＋y＝5,3x＋3y≥2eq\r(3x·3y)＝2eq\r(3x＋y)＝2eq\r(35)＝18eq\r(3).4．已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}中，a5＋a16＝10則a5a16的最大值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542665)(D)A．100 B．75C．50 D．25[解析]∵a5>0，a16>0，a5＋a16＝10，∴a5·a16≤(eq\f(a5＋a16,2))2＝(eq\f(10,2))2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)a5＝a16＝5時(shí)，等號(hào)成立．5．設(shè)a＞0，b＞0，若eq\r(3)是3a與3b的等比中項(xiàng)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542666)(B)A．8 B．4C．1 D．eq\f(1,4)[解析]根據(jù)題意得3a·3b＝3，∴3a＋b＝3，∴a＋∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥4.當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)“＝”成立．故選B．6．下列求最值過(guò)程中正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542667)(C)A．若0<x<π，則y＝sinx＋eq\f(2,sinx)≥2eq\r(sinx·\f(2,sinx))＝2eq\r(2).所以y的最小值是2eq\r(2)B．若0<x<π，則y＝sinx＋eq\f(2,sinx)＝(eq\r(sinx)－eq\f(\r(2),\r(sinx)))2＋2eq\r(2)≥2eq\r(2).所以y的最小值是2eq\r(2)C．若x>0，則y＝2＋x＋eq\f(4,x)≥2＋2eq\r(x·\f(4,x))＝6.所以y的最小值是6D．若0<x<1，則y＝x(4－x)≤[eq\f(x＋4－x,2)]2＝4.所以y的最大值為4[解析]A、B、D中等號(hào)都取不到．A中需滿足sinx＝eq\f(2,sinx)，即sinx＝eq\r(2)?(0,1]；B中由eq\r(sinx)＝eq\f(\r(2),\r(sinx))得sinx＝eq\r(2)?(0,1]；D中由x＝4－x得x＝2?(0,1)．二、填空題7．設(shè)實(shí)數(shù)a使a2＋a－2>0成立，t>0，則eq\f(1,2)logat與logaeq\f(t＋1,2)的大小，關(guān)系為eq\f(1,2)logat≤logaeq\f(t＋1,2).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542668)[解析]∵a2＋a－2＞0，∴a＜－2或a＞1，又a＞0且a≠1，∴a＞1，∵t＞0，∴eq\f(t＋1,2)≥eq\r(t)，∴l(xiāng)ogaeq\f(t＋1,2)≥logaeq\r(t)＝eq\f(1,2)logat，∴eq\f(1,2)logat≤logaeq\f(t＋1,2).8．函數(shù)y＝x·(3－2x)(0≤x≤1)的最大值為eq\f(9,8).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542669)[解析]∵0≤x≤1，∴3－2x＞0，∴y＝eq\f(1,2)·2x·(3－2x)≤eq\f(1,2)[eq\f(2x＋3－2x,2)]2＝eq\f(9,8)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3－2x即x＝eq\f(3,4)時(shí)，取“＝”號(hào)．三、解答題9．已知a、b是正數(shù)，試比較eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))與eq\r(ab)的大小.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542670)[解析]∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))>0.∴eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\f(2,2\r(\f(1,ab)))＝eq\r(ab).即eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab).10．已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求三角形OAB面積的最小值.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542671)[解析]設(shè)A(a,0)、B(0，b)，則直線AB的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，又直線過(guò)點(diǎn)P(2,1)，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1∴1＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，∴ab≥8.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)即a＝4，b＝2時(shí)等號(hào)成立．∴S△OAB的最小值為eq\f(1,2)×8＝4.能力提升一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)的最大值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542672)(C)A．eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．1[解析]令t＝eq\r(x)(t≥0)，則x＝t2，∴f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)＝eq\f(t,t2＋1).當(dāng)t＝0時(shí)，f(x)＝0；當(dāng)t>0時(shí)，f(x)＝eq\f(1,\f(t2＋1,t))＝eq\f(1,t＋\f(1,t)).∵t＋eq\f(1,t)≥2，∴0<eq\f(1,t＋\f(1,t))≤eq\f(1,2).∴f(x)的最大值為eq\f(1,2).2．a(chǎn)＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y為正數(shù))，若a⊥b，則xy的最大值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542673)(A)A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1[解析]由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.∴xy＝x(2－2x)＝eq\f(2x2－2x,2)≤eq\f(1,2)×(eq\f(2x＋2－2x,2))2＝eq\f(1,2).3．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(1,x)－1(x<0)，則f(x)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542674)(A)A．有最大值 B．有最小值C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)[解析]∵x<0，∴f(x)＝2x＋eq\f(1,x)－1＝－(－2x＋eq\f(1,－x))－1≤－2eq\r(－2x－\f(1,x))－1＝－2eq\r(2)－1，當(dāng)且僅當(dāng)－2x＝eq\f(1,－x)，即x＝－eq\f(\r(2),2)時(shí)等號(hào)成立．∴f(x)有最大值．4．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差數(shù)列，x、c、d、y成等比數(shù)列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542675)(D)A．0 B．1C．2 D．4[解析]由等差、等比數(shù)列的性質(zhì)得eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＋2≥2eq\r(\f(y,x)·\f(x,y))＋2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，∴所求最小值為4.二、填空題5．已知a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lg(eq\f(a＋b,2))，則P、Q、R的大小關(guān)系是P<Q<\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542676)[解析]因?yàn)閍>b>1，所以lga>lgb>0，所以eq\f(1,2)(lga＋lgb)>eq\r(lga·lgb)，即Q>P，又因?yàn)閑q\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，所以lgeq\f(a＋b,2)>lgeq\r(ab)＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，所以R>Q.故P<Q<R.6．函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny－1＝0(mn>0)上，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542677)[解析]函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A(1,1)．∴m＋n－1＝0，即m＋n＝1.又mn>0，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝(eq\f(1,m)＋eq\f(1,n))·(m＋n)＝2＋(eq\f(n,m)＋eq\f(m,n))≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立．三、解答題7．今有一臺(tái)壞天平，兩臂長(zhǎng)不等，其余均精確．有人說(shuō)要用它稱物體的質(zhì)量，只需將物體放在左右托盤(pán)各稱一次，則兩次稱量結(jié)果的和的一半就是物體的真實(shí)質(zhì)量，這種說(shuō)法對(duì)嗎？證明你的結(jié)論.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542678)[解析]不對(duì)．設(shè)左、右臂長(zhǎng)分別為l1、l2，物體放在左、右托盤(pán)稱得重量分別為a、b，真實(shí)重量為G，則由杠桿平衡原理有：l1·G＝l2·a，①l2·G＝l1·b，②①×②得G2＝ab，∴G＝eq\r(ab)，由于l1≠l2，故a≠b，由均值不等式eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)知說(shuō)法不對(duì)，真實(shí)重量是兩次稱量結(jié)果的幾何平均數(shù)．8．求函數(shù)y＝1－2x－eq\f(3,x)的值域.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)27542679)[解析]y＝1－2x－eq\f(3,x)＝1－(2x＋eq\f(3,x))．①當(dāng)x>0時(shí)，2x＋eq\f(3,x)≥2eq\r(2x·\f(3,x))＝2eq\r(6).當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(3,x)，即x＝eq\f(\r(6),2)時(shí)取等號(hào)．∴y＝1－(2x＋eq\f(3,x))≤1－2eq\r(6).②當(dāng)x<0時(shí)，y＝1＋(－2x)＋(－e