高中數(shù)學(xué)人教A版第二章統(tǒng)計(jì)用樣本估計(jì)總體 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（1）一、教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn):對(duì)樣本數(shù)據(jù)提取的基本數(shù)字特征(如平均數(shù)等)做出合理解釋;用樣本估計(jì)總體的思想,用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征;樣本數(shù)字特征的隨機(jī)性體驗(yàn).難點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)思想的建立;體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異.知識(shí)點(diǎn)：利用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.能力點(diǎn)：通過(guò)對(duì)幾種數(shù)字特征優(yōu)缺點(diǎn)的比較,有利于學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)選擇適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)總體數(shù)字特征進(jìn)行估計(jì).自主探究點(diǎn)：理論聯(lián)系實(shí)際,注重所選數(shù)字特征的實(shí)要性.考試點(diǎn)：會(huì)從頻率分布直方圖中找出樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).易錯(cuò)易混點(diǎn)：對(duì)數(shù)字特征的特點(diǎn)理解有偏差,導(dǎo)致結(jié)論下錯(cuò).拓展點(diǎn)：會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本思想和樣本估計(jì)整體的思想,解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.引入新課在上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了用圖、表來(lái)組織樣本數(shù)據(jù),并學(xué)習(xí)了如何通過(guò)圖、表所提供的信息,用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布.為了從整體上更好的把握總體的規(guī)律,我們還需要通過(guò)樣本的數(shù)據(jù)對(duì)總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究.思考:(1)怎樣將樣本數(shù)據(jù)匯總為一個(gè)數(shù)值,并使它成為樣本數(shù)據(jù)的“中心點(diǎn)”?(2)能否用一個(gè)數(shù)值來(lái)描寫樣本數(shù)據(jù)的離散程度?【設(shè)計(jì)意圖】帶著探究去思考問(wèn)題使本節(jié)課的目標(biāo)更明確.初中我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)一些特殊的數(shù)：眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù),一組數(shù)據(jù)中可以有多個(gè)眾數(shù).中位數(shù):一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)時(shí),中位數(shù)就是中間的那個(gè)數(shù),有偶數(shù)個(gè)數(shù)時(shí),中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù).平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)即算術(shù)平均數(shù).我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)等各種數(shù)字特征,應(yīng)當(dāng)說(shuō),這些數(shù)字都能夠?yàn)槲覀兲峁╆P(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息.那么我們?nèi)绾螐念l率分布直方圖中得到樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)呢?【設(shè)計(jì)意圖】針對(duì)前面的“點(diǎn)題”,教師再通過(guò)設(shè)疑，激發(fā)學(xué)生的求知欲望和學(xué)習(xí)興趣,順勢(shì)引出樣本眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),進(jìn)一步明確本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).三、探究新知：看圖,大家回顧一下在上一節(jié)調(diào)查100位居民的月均用水量的問(wèn)題:月均用水量/t月均用水量/t1234

頻率/組距圖00探究1:在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個(gè)小矩形內(nèi)?由此估計(jì)總體的眾數(shù)是什么?通過(guò)眾數(shù)的定義，在樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，因此眾數(shù)應(yīng)在頻率分布直方圖中的面積最大的小直方圖中（如圖）,由此可得月均用水量的眾數(shù)的估計(jì)值是（最高的矩形的中點(diǎn)）它告訴我們,該市的月均用水量為的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多,但它并沒有告訴我們到底多多少.【設(shè)計(jì)意圖】教給學(xué)生如何從樣本數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖中獲取眾數(shù),以便處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.思考1:請(qǐng)大家翻回到課本第66頁(yè)看看原來(lái)抽樣的數(shù)據(jù),有沒有這個(gè)數(shù)值呢?根據(jù)眾數(shù)的定義,怎么會(huì)是眾數(shù)呢?因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了,而是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來(lái)的,所以存在一些偏差.【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)此思考的目的是讓學(xué)生知道數(shù)字特征可以通過(guò)樣本數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖兩種方式來(lái)估計(jì),而且兩種途徑估計(jì)的數(shù)字特征可能不同.探究2:那么如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)呢?中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中,有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù),也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此,在頻率分布直方圖中,矩形的面積大小正好表示頻率的大小,即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,從左至右各個(gè)小矩形的面積分別是,,,,,,,,.由設(shè)小矩形的寬為,則＝,得＝,所以中位數(shù)是2+＝.由此可以估計(jì)出中位數(shù)的值為.（如圖）思考2:這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值,與樣本的中位數(shù)值不一樣,你能解釋其中的原因嗎?樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了.探究3：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,在下面的頻率分布直方圖中,各個(gè)小矩形的重心在哪里?從直方圖估計(jì)總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為多少?分析:根據(jù)在頻率分布直方圖中獲取眾數(shù)與中位數(shù)的方法類比尋求解題思路.平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的估計(jì)平均數(shù)就是將頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積相加.由此估計(jì)總體的平均數(shù)就是:×＋×＋×＋×＋×＋×＋×＋×＋×=（t）.圖顯示,大部分居民的月均用水量在中部（左右）,但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高,顯然,對(duì)這部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考4:這個(gè)平均數(shù)的估計(jì)值,與樣本的平均數(shù)值不一樣,你能解釋其中的原因嗎?原因同上,樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了.探究4：樣本中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,它一定是個(gè)優(yōu)點(diǎn)嗎?一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一般不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響,在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn).我們一起看一下下面這個(gè)例子:一個(gè)企業(yè)中,絕大多數(shù)是一線工人,他們的年收入可能是一萬(wàn)元左右,另有一些經(jīng)理層次的人,年收入可以達(dá)到幾十萬(wàn).這時(shí),年收入的平均數(shù)會(huì)比中位數(shù)大的多.盡管這時(shí)中位數(shù)比平均數(shù)更合理些,但是這個(gè)企業(yè)的老板到人才市場(chǎng)去招聘工人時(shí),也許更可能用平均數(shù)來(lái)回答有關(guān)工資待遇方面的提問(wèn).你認(rèn)為“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話應(yīng)當(dāng)怎樣理解?分析:“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話顯然說(shuō)的是單位人員的平均工資,由于經(jīng)理層次的人對(duì)平均數(shù)影響較大,所以單位人員工資的平均數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比中位數(shù)要大.所以在招聘會(huì)上如果打著平均工資的旗號(hào)去招聘工人顯然是對(duì)工人的一種“欺騙”.【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)此探究目的是通過(guò)此實(shí)際問(wèn)題進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)平均數(shù)與中位數(shù)的理解.謹(jǐn)防利用人們對(duì)統(tǒng)計(jì)術(shù)語(yǔ)的模糊認(rèn)識(shí)進(jìn)行誤導(dǎo)、蒙騙,使學(xué)生能夠正確理解在日常生活中像“我們單位的收入水平比別的單位高”這類話的模糊性,培養(yǎng)學(xué)生拿起數(shù)學(xué)武器去思考問(wèn)題的能力.理解新知：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是描述數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”的“特征數(shù)”,但對(duì)于同一組考察對(duì)象來(lái)說(shuō),平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)一般不一樣.他們各自的特點(diǎn)如下:1.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù),（一組數(shù)據(jù)中可以有多個(gè)眾數(shù)）頻率分布直方圖中最高的矩形的中點(diǎn),它體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的“最大集中點(diǎn)”,因此用眾數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表,可靠性就差了,但眾數(shù)有一個(gè)好處,就是不受極端數(shù)據(jù)的影響,并且求法簡(jiǎn)便.所以,當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí),適宜選擇中位數(shù)來(lái)表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”.2．中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表,可靠性也比較差,但中位數(shù)也不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)（即排序靠前或排序靠后的數(shù)據(jù)）的影響,這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn),但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn).3．由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān),所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變,這是眾

數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì).與眾數(shù)、中位數(shù)比較起,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計(jì)時(shí)可靠性降低.特殊說(shuō)明:如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù),說(shuō)明樣本中存在許多較大的極端值;反之,說(shuō)明樣本中存在許多較小的極端值.在實(shí)際問(wèn)題中,如果同時(shí)知道樣本平均數(shù)和樣本中位數(shù),可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中的極端信息,幫助我們作出決策.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)此設(shè)計(jì)可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)樣本數(shù)字特征的理解,根據(jù)實(shí)際情況來(lái)選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)來(lái)表示樣本的特征.五、運(yùn)用新知例1:某公司人員及工資構(gòu)成如下:人員經(jīng)理管理人員高級(jí)技工工人學(xué)徒合計(jì)周工資(元)22002502202001002970人數(shù)16510123合計(jì)22001500110020001006900指出這個(gè)問(wèn)題中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).在這個(gè)問(wèn)題中,平均數(shù)能客觀的反應(yīng)該公司的平均水平嗎?為什么?分析:由平均數(shù)的定義可計(jì)算出平均數(shù);通過(guò)各段的人數(shù)可得出眾數(shù);把已知數(shù)據(jù)按由小到大排列后可得中位數(shù):由表格知:眾數(shù)為200元;因?yàn)?3個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列,排在中間的應(yīng)是第12個(gè)數(shù),其值為220.所以中位數(shù)是220;又由平均數(shù)的計(jì)算公式(2200+1500+1100+2000+100)÷23=6900÷23=300(元),所以員工工資的平均數(shù)為300元.(2)雖然平均數(shù)為300元/周,但由表格中所列的數(shù)據(jù)可見,只有經(jīng)理在平均數(shù)以上,其余人在平均數(shù)以下,故用平均數(shù)不能客觀的反應(yīng)該該公司員工的工資水平.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)此例題可以進(jìn)一步深刻理解和把握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在反映樣本數(shù)據(jù)的特點(diǎn),并結(jié)合實(shí)際情況,靈活選擇.變式訓(xùn)練1:高一(1)班有男生27名,女生21名,在一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)中,男同學(xué)的平均分是82分,中位數(shù)是75分,女同學(xué)的平均分是80分,中位數(shù)是80分.求這次測(cè)試全班平均分(精確到;估計(jì)全班成績(jī)?cè)?0分以下(含80分)的同學(xué)至少有多少人?分析男同學(xué)的平均分與中位數(shù)相差較大的主要原因.解:(1)利用平均數(shù)計(jì)算公式可得:(分).(2)因?yàn)槟型瑢W(xué)的中位數(shù)是75,所以男同學(xué)至少由14人得分不超過(guò)75分;又由女同學(xué)的中位數(shù)是80,所以女同學(xué)至少有11人得分不超過(guò)80分.因而,全班至少有25人得分低于80分(含80分).(3)男同學(xué)的平均分與中位數(shù)的差別較大,說(shuō)明男同學(xué)中兩極分化嚴(yán)重,得分高的和得分低的相差較大.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)此變式訓(xùn)練進(jìn)一步明確平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在實(shí)際生活中的含義.例2:某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽,現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是、、、、.頻率/組距05060708090100頻率/組距05060708090100分?jǐn)?shù)（分）求：(1)高一參賽學(xué)生的成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù).(2)高一參賽學(xué)生的平均成績(jī).分析:根據(jù)數(shù)字特征在直方圖中的求法求解.教師板書求解過(guò)程:(1)由圖可知眾數(shù)為65,又∵第一個(gè)小矩形的面積為,∴設(shè)中位數(shù)為60＋,則＋×＝,得＝5,∴中位數(shù)為60＋5＝65.(2)依題意,平均成績(jī)?yōu)?5×＋65×＋75×＋85×＋95×＝67,∴平均成績(jī)約為67.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)此例題進(jìn)一步理解在頻率分布直方圖怎樣求解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);并把方法進(jìn)一步明確.方法小結(jié):利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征:(1)眾數(shù)是最高矩形的底邊的中點(diǎn);(2)中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等;(3)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).變式訓(xùn)練2:從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,由成績(jī)得到如下的頻率分布直方圖.成績(jī)(分)成績(jī)(分)0405060708090100頻率/組距由于一些數(shù)據(jù)丟失,試?yán)妙l率分布直方圖求:(1)這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù);(2)這50名學(xué)生的平均成績(jī).解：(1)由眾數(shù)的概念可知,眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).在直方圖中最高的矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為所求,所以眾數(shù)應(yīng)為75.將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對(duì)應(yīng)的成績(jī)即為所求.∵×10＋×10＋×10＝＋＋＝,∴前三個(gè)小矩形面積的和為,而第四個(gè)小矩形面積為×10＝,＋＞,∴中位數(shù)應(yīng)位于第四個(gè)小矩形內(nèi).設(shè)其底邊為,高為,∴令＝得≈,故中位數(shù)應(yīng)為70＋＝.(2)樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”,取每個(gè)小矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘以每個(gè)小矩形的面積求和即可.∴平均成績(jī)?yōu)?5××10)＋55××10)＋65××10)＋75××10)＋85××10)＋95××10)≈74,綜上,(1)眾數(shù)是75,中位數(shù)約為;(2)平均成績(jī)均為74.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)變式訓(xùn)練2可以讓學(xué)生進(jìn)一步熟練在頻率分布直方圖求解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的方法.六、課堂小結(jié)1．知識(shí)：如何借助于頻率分布直方圖來(lái)求解樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),并且明確這三者在實(shí)際問(wèn)題中的含義及三者的區(qū)別與聯(lián)系,進(jìn)一步體會(huì)通過(guò)頻率分布直方圖來(lái)求解的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)與實(shí)際有偏差的原因.2．思想：本節(jié)課始終注重理論知識(shí)與實(shí)際生活的聯(lián)系,從而充分體現(xiàn)實(shí)際生活中所蘊(yùn)含的一些數(shù)學(xué)知識(shí),及統(tǒng)計(jì)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,有利于學(xué)生學(xué)以致用.【師生活動(dòng)】在總結(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，相互補(bǔ)充后進(jìn)行回答，老師最后總結(jié)、板書.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生自己小結(jié)，不僅能總結(jié)知識(shí)更重要地是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法.這是一個(gè)重組知識(shí)的過(guò)程，是一個(gè)多維整合的過(guò)程,這樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識(shí)體系，理清知識(shí)脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.七、布置作業(yè)必做題：1.某學(xué)校高一(1)班有49名學(xué)生,在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:平均分眾數(shù)中位數(shù)797087該班級(jí)的李暢同學(xué)回家對(duì)媽媽說(shuō):“昨天的數(shù)學(xué)測(cè)試,我們班的平均分是79分,得70分的人最多,我得了85分,在全班算是上游了!”請(qǐng)你結(jié)合本節(jié)課所學(xué)知識(shí)對(duì)上面一段話給予簡(jiǎn)要的分析.2.在生產(chǎn)過(guò)程中,測(cè)得纖維產(chǎn)品的纖維(表示纖維粗細(xì)的一種量)共有100組數(shù)據(jù),將數(shù)據(jù)分組如下表:分組頻數(shù)頻率[,4[,25[,30[,29[,10[,2合計(jì)100(1)補(bǔ)全頻率分布直方表,并畫出頻率分布直方圖;(2)估計(jì)纖度落在[,中的頻率計(jì)纖度小于的頻率是多少?(3)從頻率分布直方圖估計(jì)出纖度的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).選做題：1.根據(jù)條件求值:(1)已知某班4個(gè)小組的人數(shù)分別為10,10,,8,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等,求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(2)在一次測(cè)驗(yàn)中某題的得分如下:得分(分)01234頻率(%)求這一題得分的眾數(shù).2.在一次人才招聘會(huì)上，有一家公司的招聘員告訴你，“我們公司的收入水平很高”“去年,在50名員工中,最高收入達(dá)到100萬(wàn),他們的平均收入是萬(wàn)”.如果你希望獲得年薪萬(wàn)元.你能否判斷自