高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試 全國(guó)獲獎(jiǎng)

1．汽車行駛的路程1．了解求汽車變速行駛的路程的方法．2．了解“以不變代變”和逼近的思想，借助物體運(yùn)動(dòng)的實(shí)際背景體會(huì)定積分的基本思想．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1．如果物體按規(guī)律s＝s(t)運(yùn)動(dòng)，則物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度為s′(t0)．想一想：如果物體按規(guī)律s＝2t2運(yùn)動(dòng)，則物體在時(shí)刻t＝2的瞬時(shí)速度為8．2．汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度v關(guān)于時(shí)間t的關(guān)系式為v＝v0，物體經(jīng)過(guò)時(shí)間t所行駛的路程為s＝v0t．想一想：物體以v＝20km/h的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)3小時(shí)物體經(jīng)過(guò)的路程為60_km．3．當(dāng)物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度v關(guān)于時(shí)間t的關(guān)系式為v＝v0＋kt，此時(shí)在0＜t＜a時(shí)段中物體經(jīng)過(guò)的路程為s＝v0a＋eq\f(ka2,2)＝eq\f(v0＋（v0＋ka）,2)a．想一想：(1)物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度v關(guān)于時(shí)間t的關(guān)系式為v＝2＋t，此時(shí)在0＜t＜6時(shí)段中物體經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi)_____．(2)求物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的路程的具體步驟有哪些？答案：(1)30(2)①分割；②近似代替；③求和；④取極限．eq\x(自)eq\x(測(cè))eq\x(自)eq\x(評(píng))1．一物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其速度v(t)＝t，這個(gè)物體在t＝0到t＝1這段時(shí)間內(nèi)所走的路程為(B)\f(1,3)\f(1,2)C．1\f(3,2)解析：曲線v(t)＝t與直線t＝0，t＝1，橫軸圍成的三角形面積S＝eq\f(1,2)，即為這段時(shí)間內(nèi)物體所走的路程．2．已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示)．那么對(duì)于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是(A)A．在t1時(shí)刻，甲車在乙車前面B．t1時(shí)刻后，甲車在乙車后面C．在t0時(shí)刻，兩車的位置相同D．t0時(shí)刻后，乙車在甲車前面解析：由圖象可知，曲線v甲比v乙在0～t0、0～t1與x軸所圍成圖形面積大，則在t0、t1時(shí)刻，甲車均在乙車前面，故選A.3．汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)是地，經(jīng)過(guò)時(shí)間t所行駛的路程s＝vt，如果汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)＝t2＋2(單位：km/h)，則該汽車在1≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程可用一個(gè)平面圖形的面積來(lái)表示，則圍成該圖形的直線和曲線分別是_________________________．解析：圍成該圖形的直線和曲線分別是t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2.答案：t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)1．汽車經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過(guò)程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖象可能是(A)解析：汽車加速行駛時(shí)，相同的時(shí)間內(nèi)汽車走過(guò)的路程越來(lái)越多，曲線呈加速上升狀態(tài)，曲線的切線的斜率也越來(lái)越大；汽車減速行駛時(shí)，相同的時(shí)間內(nèi)汽車走過(guò)的路程越來(lái)越少，曲線呈減速下降狀態(tài)，曲線的切線的斜率也越來(lái)越?。c(diǎn)評(píng)：加速行駛時(shí)速度越來(lái)越大，曲線的切線的斜率也越來(lái)越大，減速行駛時(shí)速度越來(lái)越小，曲線的切線的斜率也越來(lái)越小．常用此法來(lái)判斷物體運(yùn)動(dòng)的路程—時(shí)間曲線的變化情況．2．如果物體按規(guī)律s＝tn運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為3，則n為(C)A．1B．2C．3D．4解析：s′(t)＝ntn－1，t＝1時(shí)，n＝3.故選C.3．汽車以v＝(3t＋2)m/s做變速直線運(yùn)動(dòng)，在第1s到第2s間的1s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是(C)A．7mB．mC．mD．m解析：將[1，2]n等分，并取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)的速度近似代替，則Δt＝eq\f(1,n)，v(ti)＝veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))＋2＝eq\f(3,n)(i－1)＋5.所以sn＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,n)（i－1）＋5))·eq\f(1,n)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,n)[0＋1＋2＋…＋（n－1）]＋5n))·eq\f(1,n)＝eq\f(3,n2)eq\f(n（n－1）,2)＋5＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＋5，所以s＝eq^\o(,\s\do4(n→∞))sn＝eq\f(3,2)＋5＝(m)．4．已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度v＝2t－1，t∈[0，10]，若把區(qū)間10等分，取每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運(yùn)動(dòng)的路程的近似值為_(kāi)_______．解析：由題意知，物體運(yùn)動(dòng)的路程即為這10個(gè)小矩形的面積和，即S＝1＋3＋5＋…＋19＝eq\f(1＋19,2)×10＝100.答案：100eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．汽車以10米/秒的速度行駛，在某處需要減速停車，設(shè)汽車以加速度－2米/秒2剎車，若把剎車時(shí)間5等分，則從開(kāi)始剎車到停車，汽車剎車距離的過(guò)剩估計(jì)值(取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)為(D)A．80米B．60米C．40米解析：由題意知，v(t)＝v0＋at＝10－2t.令v(t)＝0，得t＝5，即t＝5秒時(shí)，汽車將停車．將區(qū)間[0，5]5等分，用每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)的函數(shù)值近似替代每個(gè)小區(qū)間上的平均速度，可得汽車剎車距離的過(guò)剩近似值為S＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．6．若做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體v(t)＝t2，在0≤t≤a內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為9，則a的值為(C)A．1B．2C．3D．4解析：將區(qū)間[0，a]分為等長(zhǎng)的n個(gè)小區(qū)間，第i個(gè)區(qū)間記為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（i－1）a,n)，\f(ia,n)))(i＝1，2，…，n)，取每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)的速度近似代替，則Δt＝eq\f(a,n)，所以v(ti)＝(eq\f(ia,n))2，sn＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ia,n)))eq\s\up12(2)·eq\f(a,n)＝eq\f(a3,n3)(1＋22＋…＋n2)＝eq\f(a3n（n＋1）（2n＋1）,6n3)＝eq\f(a3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))，于是s＝eq^\o(,\s\do4(n→∞))sn＝eq\f(a3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＝eq\f(a3,3)＝9，得a＝3.故選C.7．汽車作直線運(yùn)動(dòng)，前2小時(shí)的速度是v＝110km/h，后3小時(shí)的速度是v＝80km/h，則5小時(shí)內(nèi)汽車行駛的路程為_(kāi)_______．解析：路程s＝2×110＋3×80＝460(km)．答案：460km8．汽車以v＝(3t＋2)m/s做變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，第1s到第2s間的1s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是________m.解析：由題意知，所求路程為直線x＝1，x＝2，y＝0與y＝3x＋2所圍成的直角梯形的面積，故S＝eq\f(1,2)×(5＋8)×1＝.答案：9．若一輛汽車的速度—時(shí)間曲線