高中數(shù)學人教A版1第二章圓錐曲線與方程-參賽作品2

第二章2.2.2(本欄目內(nèi)容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，離心率是eq\f(\r(6),3)，則橢圓C的方程為()\f(x2,3)＋y2＝1 ＋eq\f(y2,3)＝1\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 \f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1解析：因為eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，且c＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1.所以橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.故選A.答案：A2．曲線eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與曲線eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k<9)的()A．長軸長相等 B．短軸長相等C．離心率相等 D．焦距相等解析：可知兩個方程均表示焦點在x軸上的橢圓，前者焦距為2c＝2eq\r(25－9)＝8，后者焦距為2c＝2eq\r(25－k－9－k)＝8.故選D.答案：D3．過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為()\f(\r(2),2) \f(\r(3),3)\f(1,2) \f(1,3)解析：因為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，±\f(b2,a)))，再由∠F1PF2＝60°，有eq\f(3b2,a)＝2a，從而可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，故選B.答案：B4．已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且橢圓G上一點到其兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為()\f(x2,4)＋eq\f(x2,9)＝1 \f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1 \f(x2,9)＋eq\f(y2,36)＝1解析：依題意設(shè)橢圓G的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵橢圓上一點到其兩個焦點的距離之和為12，∴2a＝12，∴a∵橢圓的離心率為eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(36－b2),6)＝eq\f(\r(3),2)，解得b2＝9，∴橢圓G的方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的焦點，在C上滿足PF1⊥PF2的點P的個數(shù)為________．解析：當P在短軸端點時，∠F1PF2為直角，從而在橢圓上存在2個位置使PF1⊥PF2.答案：26．在△ABC中，|AB|＝|BC|，cosB＝－eq\f(7,18)，若以A，B為焦點的橢圓經(jīng)過點C，則該橢圓的離心率e＝________.解析：設(shè)|AB|＝|BC|＝1，又cosB＝－eq\f(7,18)，則|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB|·|BC|·cosB＝eq\f(25,9)，所以|AC|＝eq\f(5,3)，則2a＝1＋eq\f(5,3)＝eq\f(8,3)，2c＝1，e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)三、解答題(每小題10分，共20分)7．求橢圓25x2＋y2＝25的長軸和短軸的長及其焦點和頂點坐標．解析：橢圓方程可化為x2＋eq\f(y2,25)＝1，∴橢圓的焦點在y軸上，且a2＝25，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝24，∴c＝2eq\r(6)，a＝5，b＝1，∴長軸長為10，短軸長為2，焦點為(0，±2eq\r(6))，頂點坐標為(±1,0)，(0，±5)．8．求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)長軸長是6，離心率是eq\f(2,3)；(2)在x軸上的一個焦點，與短軸的兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6.解析：(1)設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由已知得2a＝6，∴a又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1.(2)由題意知焦點在x軸上，故可設(shè)橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，且兩焦點為F′(－3,0)，F(xiàn)(3,0)．如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2且|OF|＝c，|A1A2|＝2b∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18.∴所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.9．(10分)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，若在橢圓上存在一點P，使∠F1PF2＝60°，求橢圓離心率e的取值范圍．解析：由余弦定理得cos60°＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2).解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c即|PF1|·|PF2|＝eq\f(4b2,3)，∵|PF1|·|PF2|≤eq