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專(zhuān)題10概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用【命題規(guī)律】概率統(tǒng)計(jì)在高考中扮演著很重要的角色,概率統(tǒng)計(jì)解答題是新高考卷及多數(shù)省市高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容,考查熱點(diǎn)為古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、條件概率、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征、回歸分析、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的實(shí)際應(yīng)用等.回顧近幾年的高考試題,可以看出概率統(tǒng)計(jì)解答題,大多緊密結(jié)合社會(huì)實(shí)際,以現(xiàn)實(shí)生活為背景設(shè)置試題,注重知識(shí)的綜合應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用,作為考查實(shí)踐能力的重要載體,命題者要求考生會(huì)收集,整理、分析數(shù)據(jù),能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問(wèn)題有用的信息,建立數(shù)學(xué)模型,再應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題.【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一:求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望核心考點(diǎn)二:超幾何分布與二項(xiàng)分布核心考點(diǎn)三:概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題核心考點(diǎn)四:期望與方差的實(shí)際應(yīng)用核心考點(diǎn)五:正態(tài)分布核心考點(diǎn)六:統(tǒng)計(jì)圖表核心考點(diǎn)七:回歸分析核心考點(diǎn)八:獨(dú)立性檢驗(yàn)核心考點(diǎn)九:與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問(wèn)題核心考點(diǎn)十:決策型問(wèn)題核心考點(diǎn)十一:條件概率、全概率公式、貝葉斯公式【真題回歸】1.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.【解析】(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為SKIPIF1<0,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)依題可知,SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00102030SKIPIF1<00.160.440.340.06期望SKIPIF1<0.2.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為SKIPIF1<0,該地區(qū)年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘腟KIPIF1<0.從該地區(qū)中任選一人,若此人的年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0,求此人患這種疾病的概率.(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率,精確到0.0001).【解析】(1)平均年齡SKIPIF1<0
SKIPIF1<0(歲).(2)設(shè)SKIPIF1<0{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間SKIPIF1<0},所以SKIPIF1<0.(3)設(shè)SKIPIF1<0“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”,SKIPIF1<0“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”,則由已知得:SKIPIF1<0,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人,若此人的年齡位于區(qū)間SKIPIF1<0,此人患這種疾病的概率為SKIPIF1<0.3.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng),為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)的運(yùn)行情況,隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次,得到下面列聯(lián)表:準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表,分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率;(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān)?附:SKIPIF1<0,SKIPIF1<00.1000.0500.010SKIPIF1<02.7063.8416.635【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),A共有班次260次,準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次,設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)事件為M,則SKIPIF1<0;B共有班次240次,準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次,設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)事件為N,則SKIPIF1<0.A家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為SKIPIF1<0;B家公司長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為SKIPIF1<0.(2)列聯(lián)表準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)A24020260B21030240合計(jì)45050500SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,根據(jù)臨界值表可知,有SKIPIF1<0的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān).4.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量,隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木,測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積(單位:SKIPIF1<0)和材積量(單位:SKIPIF1<0),得到如下數(shù)據(jù):樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積SKIPIF1<00.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量SKIPIF1<00.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得SKIPIF1<0.(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;(2)求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積,并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為SKIPIF1<0.已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值.附:相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0.【解析】(1)樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值SKIPIF1<0樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值SKIPIF1<0據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為SKIPIF1<0,平均一棵的材積量為SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0(3)設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為SKIPIF1<0,又已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,可得SKIPIF1<0,解之得SKIPIF1<0.則該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量估計(jì)為SKIPIF1<05.(2022·北京·統(tǒng)考高考真題)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上,只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,比賽成績(jī)達(dá)到SKIPIF1<0以上(含SKIPIF1<0)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī),并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率;(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù),估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X);(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中,甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大?(結(jié)論不要求證明)【解析】(1)由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,故答案為0.4(2)設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2,丙獲得優(yōu)秀為事件A3SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.∴X的分布列為X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0(3)丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無(wú)論比賽幾次就取最高成績(jī).比賽一次,丙獲得9.85的概率為SKIPIF1<0,甲獲得9.80的概率為SKIPIF1<0,乙獲得9.78的概率為SKIPIF1<0.并且丙的最高成績(jī)是所有成績(jī)中最高的,比賽次數(shù)越多,對(duì)丙越有利.6.(2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類(lèi))的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組),同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組),得到如下數(shù)據(jù):不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?(2)從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”.SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo),記該指標(biāo)為R.(?。┳C明:SKIPIF1<0;(ⅱ)利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出SKIPIF1<0的估計(jì)值,并利用(?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值.附SKIPIF1<0,SKIPIF1<00.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】(1)由已知SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.(2)(i)因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,(ii)由已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】(一)涉及的概率知識(shí)層面主要考查隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望,一定要根據(jù)有關(guān)概念,判斷是等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件還是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),以便選擇正確的計(jì)算方法,進(jìn)行概率計(jì)算及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,也要掌握幾種常見(jiàn)常考的概率分布模型:離散型有二項(xiàng)分布、超幾何分布,連續(xù)型有正態(tài)分布.考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力,1、離散型隨機(jī)變量的期望與方差一般地,若離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為稱SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.稱SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的方差,它刻畫(huà)了隨機(jī)變量SKIPIF1<0與其均值SKIPIF1<0的偏離程度,其算術(shù)平方根SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)差.(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)=1\*GB3①SKIPIF1<0;=2\*GB3②SKIPIF1<0.(2)均值與方差的性質(zhì)若SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為常數(shù),則SKIPIF1<0也是隨機(jī)變量,且SKIPIF1<0(3)分布列的求法=1\*GB3①與排列、組合有關(guān)分布列的求法.由排列、組合、概率知識(shí)求出概率,再求出分布列.=2\*GB3②與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法.可由頻率估計(jì)概率,再求出分布列.=3\*GB3③與互斥事件有關(guān)分布列的求法.弄清互斥事件的關(guān)系,利用概率公式求出概率,再列出分布列.=4\*GB3④與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)分布列的求法.先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系,求出各個(gè)概率,再列出分布列.(4)常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型=1\*GB3①二項(xiàng)分布;=2\*GB3②超兒何分布.2、常見(jiàn)的連續(xù)型概率分布模型正態(tài)分布.(二)概率分布與不同知識(shí)背景結(jié)合考查對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決能力1、與數(shù)列結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題2、與函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題3、與分段函數(shù)求最值、解不等式結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題4、與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題5、與其他背景結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一:求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望【規(guī)律方法】求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟:(1)根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值;(2)求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率,即可得出分布列;(3)根據(jù)期望的概念,結(jié)合分布列,即可得出期望(在計(jì)算時(shí),要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布,如超幾何分布或二項(xiàng)分布等,可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式,簡(jiǎn)化計(jì)算)【典型例題】例1.(2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模)甲?乙兩個(gè)代表隊(duì)各有3名選手參加對(duì)抗賽.比賽規(guī)定:甲隊(duì)的1,2,3號(hào)選手與乙隊(duì)的1,2,3號(hào)選手按編號(hào)順序各比賽一場(chǎng),某隊(duì)連贏3場(chǎng),則獲勝,否則由甲隊(duì)的1號(hào)對(duì)乙隊(duì)的2號(hào),甲隊(duì)的2號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1號(hào)加賽兩場(chǎng),勝場(chǎng)多者最后獲勝(每場(chǎng)比賽只有勝或負(fù)兩種結(jié)果).已知甲隊(duì)的1號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1,2號(hào)選手的勝率分別是0.5,0.6,甲隊(duì)的2號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1,2號(hào)選手的勝率都是0.5,甲隊(duì)的3號(hào)對(duì)乙隊(duì)的3號(hào)選手的勝率也是0.5,假設(shè)每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲隊(duì)僅比賽3場(chǎng)獲勝的概率;(2)已知每場(chǎng)比賽勝者可獲得200個(gè)積分,求甲隊(duì)隊(duì)員獲得的積分?jǐn)?shù)之和SKIPIF1<0的分布列及期望.【解析】(1)甲隊(duì)1,2,3號(hào)選手與乙隊(duì)1,2,3號(hào)選手比賽獲勝的概率分別為SKIPIF1<0,,甲隊(duì)比賽3場(chǎng)獲勝的概率為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0;(2)X所以可能取得值為SKIPIF1<0;SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.即X0200400600800P0.1250.0750.26250.4250.1125所以SKIPIF1<0.例2.(2022春·云南昆明·高三云南師大附中??茧A段練習(xí))我校舉辦“學(xué)黨史”知識(shí)測(cè)試活動(dòng),每位教師3次測(cè)試機(jī)會(huì),規(guī)定按順序測(cè)試,一旦測(cè)試合格就不必參加以后的測(cè)試,否則3次測(cè)試都要參加.甲教師3次測(cè)試每次合格的概率組成一個(gè)公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列,他第一次測(cè)試合格的概率不超過(guò)SKIPIF1<0,且他直到第二次測(cè)試才合格的概率為SKIPIF1<0,乙教師3次測(cè)試每次測(cè)試合格的概率均為SKIPIF1<0,每位教師參加的每次測(cè)試是否合格相互獨(dú)立.(1)求甲教師第一次參加測(cè)試就合格的概率P;(2)設(shè)甲教師參加測(cè)試的次數(shù)為m,乙教師參加測(cè)試的次數(shù)為n,求SKIPIF1<0的分布列.【解析】(1)由甲教師3次測(cè)試每次合格的概率組成一個(gè)公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列,又甲教師第一次參加測(cè)試就合格的概率為P,故而甲教師參加第二、三次測(cè)試合格的概率分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,由題意知,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍),所以甲教師第一次參加測(cè)試就合格的概率為SKIPIF1<0.(2)由(1)知甲教師參加第二、三次測(cè)試合格的概率分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,由題意知,SKIPIF1<0的可能取值為2,3,4,5,6,由題意可知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的分布列為:SKIPIF1<023456PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例3.(2022春·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí))受新冠肺炎疫情的影響,某商場(chǎng)的銷(xiāo)售額受到了不同程度的沖擊,為刺激消費(fèi),該商場(chǎng)開(kāi)展一項(xiàng)促銷(xiāo)活動(dòng),凡在商場(chǎng)消費(fèi)金額滿300元的顧客可以免費(fèi)抽獎(jiǎng)一次,抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下:在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個(gè)小球,其中:紅色小球1個(gè),白色小球3個(gè),黃色小球6個(gè),顧客從箱子中依次不放回地摸出3個(gè)球,根據(jù)摸出球的顏色情況分別進(jìn)行兌獎(jiǎng).將顧客摸出的3個(gè)球的顏色分成以下四種情況:A:1個(gè)紅球2個(gè)白球;B:3個(gè)白球;C:恰有1個(gè)黃球;D:至少兩個(gè)黃球,若四種情況按發(fā)生的機(jī)會(huì)從小到大的順序分別對(duì)應(yīng)一等獎(jiǎng),二等獎(jiǎng),三等獎(jiǎng),不中獎(jiǎng).(1)寫(xiě)出顧客分別獲一?二?三等獎(jiǎng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率;(2)已知顧客摸出的第一個(gè)球是白球,求該顧客獲得二等獎(jiǎng)的概率;(3)若五名顧客每人抽獎(jiǎng)一次,且彼此是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.記中獎(jiǎng)的人數(shù)為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的分布列和期望.【解析】(1)由題意可得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以中一等獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0,二等獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0,三等獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0(2)記事件SKIPIF1<0為顧客摸出的第一個(gè)球是白球,事件SKIPIF1<0為顧客獲得二等獎(jiǎng),則SKIPIF1<0.(3)由(1)知一名顧客中獎(jiǎng)的概率為SKIPIF1<0.由題意可得,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0則分布列為SKIPIF1<0012345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0核心考點(diǎn)二:超幾何分布與二項(xiàng)分布【規(guī)律方法】超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型,實(shí)際中的許多問(wèn)題都可以利用這兩個(gè)概率模型來(lái)解決.一般地,在含有SKIPIF1<0件產(chǎn)品的SKIPIF1<0件產(chǎn)品中,任取SKIPIF1<0件,其中恰有SKIPIF1<0件次品,則事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,稱為超幾何分布列.一般地,在SKIPIF1<0次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用SKIPIF1<0表示事件SKIPIF1<0發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.此時(shí)稱隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從二項(xiàng)分布,記作SKIPIF1<0,并稱SKIPIF1<0為成功概率.此時(shí)有SKIPIF1<0.【典型例題】例4.(2022春·北京·高三北京鐵路二中??茧A段練習(xí))2022年2月20日,北京冬奧會(huì)在鳥(niǎo)巢落下帷幕,中國(guó)隊(duì)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績(jī).北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的普及,讓越來(lái)越多的青少年愛(ài)上了冰雪運(yùn)動(dòng),某校組織了一次全校冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽,并抽取了100名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成如下頻率分布表:競(jìng)賽得分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻率0.10.10.30.30.2(1)如果規(guī)定競(jìng)賽得分在SKIPIF1<0為“良好”,競(jìng)賽得分在SKIPIF1<0為“優(yōu)秀”,從成績(jī)?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學(xué)生中,使用分層抽樣抽取10個(gè)學(xué)生,問(wèn)各抽取多少人?(2)在(1)條件下,再?gòu)倪@10學(xué)生中抽取6人進(jìn)行座談,求至少有3人競(jìng)賽得分都是“優(yōu)秀”的概率;(3)以這100名參賽學(xué)生中競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識(shí)競(jìng)賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)生被抽中的概率.現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,記競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為SKIPIF1<0,求隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)因?yàn)槌煽?jī)?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組頻率合計(jì)SKIPIF1<0,共SKIPIF1<0人,抽樣比為SKIPIF1<0,所以成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡某槿KIPIF1<0人,成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的抽取SKIPIF1<0人.(2)抽取的6人中至少有3人競(jìng)賽得分都是“優(yōu)秀”可以分成兩類(lèi):3個(gè)優(yōu)3個(gè)良和4個(gè)優(yōu)2個(gè)良,故至少有3人競(jìng)賽得分都是“優(yōu)秀”的概率SKIPIF1<0.(3)由題意知,SKIPIF1<0的可能取值SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.由題可知,任意1名學(xué)生競(jìng)賽得分“優(yōu)秀”的概率為SKIPIF1<0,競(jìng)賽得分不是“優(yōu)秀”的概率為SKIPIF1<0.若以頻率估計(jì)概率,則SKIPIF1<0服從二項(xiàng)分布SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0.例5.(2022·浙江·模擬預(yù)測(cè))高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?,前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入,小球下落的過(guò)程中,每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中.如圖所示的高爾頓板有7層小木塊,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以SKIPIF1<0的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過(guò)6次與小木塊碰撞,最后掉入編號(hào)為1,2,…,7的球槽內(nèi).(1)如圖進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn),求小球落入6號(hào)球槽的概率;(2)某商場(chǎng)店慶期間利用如圖的高爾頓板舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng),顧客只要在商場(chǎng)購(gòu)物消費(fèi)每滿800元就能得到一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),如消費(fèi)400元沒(méi)有抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),消費(fèi)900元有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),消費(fèi)1700元有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)等,一次抽獎(jiǎng)小球掉入SKIPIF1<0號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為SKIPIF1<0(元),其中SKIPIF1<0.(ⅰ)求一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金SKIPIF1<0(元)的分布列及數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0;(ⅱ)已知某顧客在商場(chǎng)消費(fèi)2000元,設(shè)他所得的獎(jiǎng)金為SKIPIF1<0(元),求SKIPIF1<0.【解析】(1)記事件A:小球落入6號(hào)球槽,需要在6次碰撞中有1次向左,5次向右.所以SKIPIF1<0.(2)(i)記隨機(jī)變量M:小球掉入SKIPIF1<0號(hào)球槽,則M的可能取值為:1,2,3,4,5,6,7.由題意可得SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;SKIPIF1<0;所以M的分布列為:M1234567PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0,所以X的可能取值為:0,40,80,120.其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.所以一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金SKIPIF1<0(元)的分布列為:X04080120PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0.(ii)某顧客在商場(chǎng)消費(fèi)2000元,可以抽獎(jiǎng)2次,所以他所得的獎(jiǎng)金為SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.例6.(2022春·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)中學(xué)??茧A段練習(xí))小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控,確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響,小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類(lèi)生活物資的供應(yīng),超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類(lèi)生活物資的購(gòu)買(mǎi)量進(jìn)行了調(diào)查,得到了以下頻率分布直方圖.(1)從小區(qū)超市某天購(gòu)買(mǎi)甲類(lèi)生活物資的居民戶中任意選取5戶.若抽取的5戶中購(gòu)買(mǎi)量在SKIPIF1<0(單位:SKIPIF1<0)的戶數(shù)為2戶,從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查,記3戶中需求量在SKIPIF1<0(單位:SKIPIF1<0)的戶數(shù)為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的分布列和期望;(2)將某戶某天購(gòu)買(mǎi)甲類(lèi)生活物資的量與平均購(gòu)買(mǎi)量比較,當(dāng)超出平均購(gòu)買(mǎi)量不少于SKIPIF1<0時(shí),則該居民戶稱為“迫切需求戶”,若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶,且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大,試求k的值.【解析】(1)隨機(jī)變量SKIPIF1<0所有可能的取值為0,1,2.則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知,每天對(duì)甲類(lèi)生活物資的需求平均值為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)則購(gòu)買(mǎi)甲類(lèi)生活物資為“迫切需求戶”的購(gòu)買(mǎi)量為SKIPIF1<0,從小區(qū)隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為SKIPIF1<0.若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶,且抽到X戶為“迫切需求戶”,則SKIPIF1<0,若k戶的可能性最大,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.核心考點(diǎn)三:概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題【規(guī)律方法】在知識(shí)交匯處設(shè)計(jì)試題是高考命題的指導(dǎo)思想之一,概率作為高中數(shù)學(xué)具有實(shí)際應(yīng)用背景的主要內(nèi)容,除與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題相交匯,還常與排列組合、函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)交匯.求解此類(lèi)問(wèn)題要充分理解題意.根據(jù)題中已知條件,聯(lián)系所學(xué)知識(shí)對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.這類(lèi)題型具體來(lái)說(shuō)有兩大類(lèi):1、所給問(wèn)題是以集合、函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、向量等知識(shí)為載體的概率問(wèn)題.求解時(shí)需要利用相關(guān)知識(shí)把所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率模型,然后利用概率知識(shí)求解.2、所給問(wèn)題是概率問(wèn)題,求解時(shí)有時(shí)需要把所求概率轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù),然后利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解;或者把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與概率變量有關(guān)的數(shù)列遞推關(guān)系式,再通過(guò)構(gòu)造特殊數(shù)列求通項(xiàng)或求和.【典型例題】例7.(2022春·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)校考期中)投擲一枚均勻的骰子,每次擲得的點(diǎn)數(shù)為1或6時(shí)得2分,擲得的點(diǎn)數(shù)為2,3,4,5時(shí)得1分;獨(dú)立地重復(fù)擲一枚骰子,將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分;(1)設(shè)投擲2次骰子,最終得分為X,求隨機(jī)變量X的分布與期望;(2)設(shè)最終得分為n的概率為SKIPIF1<0,證明:SKIPIF1<0為等比數(shù)列,并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式;【解析】(1)SKIPIF1<0的可能取值為2,3,4,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0.(2)由題意知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng),SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列,SKIPIF1<0,∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),上式也成立,綜上:SKIPIF1<0.例8.(2022春·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,一只螞蟻從單位正方體SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā),每一步(均為等可能性的)經(jīng)過(guò)一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn),設(shè)該螞蟻經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0步回到點(diǎn)SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0.(I)分別寫(xiě)出SKIPIF1<0的值;(II)設(shè)頂點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0步到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值;(III)求SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0.(2)由于頂點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0步到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0,則由SKIPIF1<0出發(fā)經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0步到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的概率也是SKIPIF1<0,并且由SKIPIF1<0出發(fā)經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0步不可能到SKIPIF1<0這四個(gè)點(diǎn),所以當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí),SKIPIF1<0.(3)同理,由SKIPIF1<0分別經(jīng)SKIPIF1<0步到點(diǎn)SKIPIF1<0的概率都是SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0出發(fā)經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0再回到SKIPIF1<0的路徑分為以下四類(lèi):①由SKIPIF1<0經(jīng)歷SKIPIF1<0步到SKIPIF1<0,再經(jīng)SKIPIF1<0步回到SKIPIF1<0,概率為SKIPIF1<0;②由SKIPIF1<0經(jīng)歷SKIPIF1<0步到SKIPIF1<0,再經(jīng)SKIPIF1<0步回到SKIPIF1<0,概率為SKIPIF1<0;③由SKIPIF1<0經(jīng)歷SKIPIF1<0步到SKIPIF1<0,再經(jīng)SKIPIF1<0步回到SKIPIF1<0,概率為SKIPIF1<0;④由SKIPIF1<0經(jīng)歷SKIPIF1<0步到SKIPIF1<0,再經(jīng)SKIPIF1<0步回到SKIPIF1<0,概率為SKIPIF1<0;所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.綜上所述,SKIPIF1<0.例9.(2022春·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí))某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入,其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品SKIPIF1<0分為兩類(lèi)不同劑型SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè),第一次檢測(cè)時(shí)兩類(lèi)試劑SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合格的概率分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,第二次檢測(cè)時(shí)兩類(lèi)試劑SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合格的概率分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.已知兩次檢測(cè)過(guò)程相互獨(dú)立,兩次檢測(cè)均合格,試劑品SKIPIF1<0才算合格.(1)設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后兩類(lèi)試劑SKIPIF1<0和SKIPIF1<0合格的種類(lèi)數(shù)為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若地區(qū)排查期間,一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品SKIPIF1<0進(jìn)行檢測(cè),如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性,則檢測(cè)結(jié)束,并確定該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為SKIPIF1<0且相互獨(dú)立,該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為SKIPIF1<0,若當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0最大,求SKIPIF1<0的值.【解析】(1)劑型SKIPIF1<0合格的概率為:SKIPIF1<0;劑型SKIPIF1<0合格的概率為:SKIPIF1<0.由題意知X的所有可能取值為0,1,2.則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則X的分布列為X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0.(2)檢測(cè)3人確定“感染高危戶”的概率為SKIPIF1<0,檢測(cè)4人確定“感染高危戶”的概率為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,原函數(shù)可化為SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0,當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時(shí),等號(hào)成立.此時(shí)SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.核心考點(diǎn)四:期望與方差的實(shí)際應(yīng)用【規(guī)律方法】數(shù)學(xué)期望反映的是隨機(jī)變量取值的平均水平,而方差則是反映隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度.現(xiàn)代實(shí)際生活中,越來(lái)越多的決策需要應(yīng)用數(shù)學(xué)期望與方差來(lái)對(duì)事件發(fā)生大小的可能性和穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)估,通過(guò)計(jì)算分析可以比較科學(xué)地得出各個(gè)方案的預(yù)期效果及出現(xiàn)偏差的大小,從而決定要選擇的最佳方案.(1)若我們希望實(shí)際的平均水平較理想,則先求隨機(jī)變量SKIPIF1<0的期望,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),不應(yīng)認(rèn)為它們一定一樣好,還需要用SKIPIF1<0來(lái)比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的方差,確定它們的偏離程度.(2)若我們希望比較穩(wěn)定性,應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否相等或接近.(3)方差不是越小就越好,而是要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要來(lái)判斷.【典型例題】例10.(2022春·河南·高三期末)根據(jù)疫情防控的需要,某地設(shè)立進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称芳斜O(jiān)管專(zhuān)倉(cāng),集中開(kāi)展核酸檢測(cè)和預(yù)防性消毒工作,為了進(jìn)一步確定某批進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称肥欠窀腥静《荆谌腙P(guān)檢疫時(shí)需要對(duì)其進(jìn)行化驗(yàn),若結(jié)果為陽(yáng)性,則有該病毒;若結(jié)果呈陰性,則沒(méi)有該病毒.對(duì)于SKIPIF1<0份樣本,有以下兩種檢驗(yàn)方式:一是逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)n次;二是混合檢驗(yàn),將k份樣本分別取樣混合在一起,若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,那么這k份全為陰性,檢驗(yàn)一次就夠了;如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,為了明確這k份究竟哪些為陽(yáng)性,需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn),則k份檢驗(yàn)的次數(shù)共為SKIPIF1<0次,若每份樣本沒(méi)有病毒的概率為SKIPIF1<0,而且樣本之間是否有該病毒是相互獨(dú)立的.(1)若取得8份樣本,采用逐個(gè)檢測(cè),發(fā)現(xiàn)恰有2個(gè)樣本檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值點(diǎn)SKIPIF1<0;(2)若對(duì)取得的8份樣本,考慮以下兩種檢驗(yàn)方案:方案一:采用混合檢驗(yàn);方案二:平均分成兩組,每組4份樣本采用混合檢驗(yàn),若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小,則方案越“優(yōu)”.若“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”,求p的取值范圍(精確到0.01).【解析】(1)根據(jù)題意可知,每份樣本檢測(cè)結(jié)果為陰性的概率為SKIPIF1<0,則陽(yáng)性概率為SKIPIF1<0;則8份樣本,采用逐個(gè)檢測(cè),發(fā)現(xiàn)恰有2個(gè)樣本檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增;當(dāng)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減;所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)取得最大值,即SKIPIF1<0的最大值點(diǎn)SKIPIF1<0.(2)若采用方案一,則需要檢驗(yàn)的次數(shù)為8次,即檢驗(yàn)次數(shù)的期望值SKIPIF1<0;若采用方案二:平均分成兩組,每組4份樣本采用混合檢驗(yàn),則每組檢測(cè)結(jié)果為陰性的概率為SKIPIF1<0,則為陽(yáng)性的概率為SKIPIF1<0;所以檢驗(yàn)次數(shù)SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0;當(dāng)兩組檢測(cè)結(jié)果全為陰性時(shí),檢驗(yàn)次數(shù)為2次,則SKIPIF1<0;當(dāng)兩組檢測(cè)結(jié)果一組為陰性,另一組為陽(yáng)性時(shí),檢測(cè)次數(shù)為6次,則SKIPIF1<0;當(dāng)兩組檢測(cè)結(jié)果全為陽(yáng)性時(shí),檢驗(yàn)次數(shù)為10次,則SKIPIF1<0;此時(shí),方案二的檢驗(yàn)次數(shù)的期望值SKIPIF1<0;若“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0即p的取值范圍為SKIPIF1<0例11.(2022春·湖北·高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))隨機(jī)變量的概念是俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學(xué)等方面均有所建樹(shù),他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式:設(shè)SKIPIF1<0為離散型隨機(jī)變量,則SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為任意大于0的實(shí)數(shù).切比雪夫不等式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量SKIPIF1<0的分布未知的情況下,對(duì)事件SKIPIF1<0的概率作出估計(jì).(1)證明離散型切比雪夫不等式;(2)應(yīng)用以上結(jié)論,回答下面問(wèn)題:已知正整數(shù)SKIPIF1<0.在一次抽獎(jiǎng)游戲中,有SKIPIF1<0個(gè)不透明的箱子依次編號(hào)為SKIPIF1<0,編號(hào)為SKIPIF1<0的箱子中裝有編號(hào)為SKIPIF1<0的SKIPIF1<0個(gè)大小?質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請(qǐng)SKIPIF1<0位嘉賓從每個(gè)箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球,記從編號(hào)為SKIPIF1<0的箱子中抽取的小球號(hào)碼為SKIPIF1<0,并記SKIPIF1<0.對(duì)任意的SKIPIF1<0,是否總能保證SKIPIF1<0(假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多)?并證明你的結(jié)論.附:可能用到的公式(數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)):對(duì)于離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,則有SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)不能保證SKIPIF1<0,證明見(jiàn)解析【分析】通過(guò)方差的計(jì)算公式,結(jié)合SKIPIF1<0變形即可證明.結(jié)合所給公式,再SKIPIF1<0變形式子來(lái)解出SKIPIF1<0,再利用第(1)證明的離散型切比雪夫不等式即可得到矛盾.(1)設(shè)SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0取SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0
SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)(2)由參考公式,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,用到SKIPIF1<0而SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,因此,不能保證SKIPIF1<0.例12.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))一臺(tái)機(jī)器設(shè)備由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩個(gè)要件組成,在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中,SKIPIF1<0發(fā)生故障的概率分別記作SKIPIF1<0,假設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相互獨(dú)立.設(shè)SKIPIF1<0表示一次運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中需要維修的要件的數(shù)目,若SKIPIF1<0.(1)求出SKIPIF1<0;(2)依據(jù)隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布,求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0;(3)若SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0需要維修的數(shù)目,SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0需要維修的數(shù)目,寫(xiě)出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的關(guān)系式,并依據(jù)期望的線性性質(zhì)和方差的性質(zhì),求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【解析】(1)因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(2)由(1)得SKIPIF1<0的分布列為:SKIPIF1<0012SKIPIF1<00.720.260.02所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(3)由題意可得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0均服從兩點(diǎn)分布,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0相互獨(dú)立,所以SKIPIF1<0.核心考點(diǎn)五:正態(tài)分布【規(guī)律方法】解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1)對(duì)稱軸SKIPIF1<0標(biāo)準(zhǔn)差SKIPIF1<0分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值;由SKIPIF1<0,分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0特殊區(qū)間,從而求出所求概率.注意在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸為SKIPIF1<0.【典型例題】例13.(2022春·福建泉州·高三福建省南安國(guó)光中學(xué)??茧A段練習(xí))某中學(xué)在一次考試后,對(duì)本年級(jí)學(xué)生物理成績(jī)進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取了300名同學(xué)的物理成績(jī)(均在50~100分之間),將抽取的成績(jī)分組為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這300名同學(xué)物理平均成績(jī)SKIPIF1<0與第三四分位數(shù)的估計(jì)值;(結(jié)果精確到1)(2)已知全年級(jí)同學(xué)的物理成績(jī)服從正態(tài)分布SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0取(1)中的SKIPIF1<0,經(jīng)計(jì)算,SKIPIF1<0=11,現(xiàn)從全年級(jí)隨機(jī)選取一名同學(xué)的物理成績(jī),求該成績(jī)?cè)趨^(qū)間SKIPIF1<0的概率(結(jié)果精確到0.1);(3)根據(jù)(2)的條件,用頻率估計(jì)概率,現(xiàn)從全年級(jí)隨機(jī)選取n名同學(xué)的物理成績(jī),若他們的成績(jī)都在SKIPIF1<0的概率不低于1%,求n的最大值(n為整數(shù)).附:SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,則這300名同學(xué)物理平均成績(jī)SKIPIF1<0與第三四分位數(shù)的估計(jì)值分別為73,79(2)SKIPIF1<0,(3)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的最大值為20.例14.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))已知某高校共有10000名學(xué)生,其圖書(shū)館閱覽室共有994個(gè)座位,假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立的,且每個(gè)學(xué)生在每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的概率均為0.1.(1)將每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的期望和方差;(2)18世紀(jì)30年代,數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn),當(dāng)SKIPIF1<0比較大時(shí),二項(xiàng)分布可視為正態(tài)分布.此外,如果隨機(jī)變量SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),對(duì)于任意實(shí)數(shù)SKIPIF1<0,記SKIPIF1<0.已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(節(jié)選),該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的概率值.例如當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),由于SKIPIF1<0,則先在表的最左列找到數(shù)字0.1(位于第三行),然后在表的最上行找到數(shù)字0.06(位于第八列),則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是SKIPIF1<0的值.SKIPIF1<00.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808,0.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157'0.71900.7224①求在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率;②若要使在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位夠用的概率高于0.7,則至少需要添加多少個(gè)座位?【解析】(1)由題意可得,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,(2)①由于(1)中二項(xiàng)分布的n值增大,故可以認(rèn)為隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,由(1)可得,SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布性質(zhì)可得,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率為SKIPIF1<0;②查表可得,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,故座位數(shù)至少要1016個(gè),SKIPIF1<0,故閱覽室座位至少需要添加22個(gè).例15.(2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí))某收費(fèi)APP(手機(jī)應(yīng)用程序)自上架以來(lái),憑借簡(jiǎn)潔的界面設(shè)計(jì)?方便的操作方式和實(shí)用的強(qiáng)大功能深得用戶喜愛(ài).為回饋市場(chǎng)并擴(kuò)大用戶量,該APP在2022年以競(jìng)價(jià)形式做出優(yōu)惠活動(dòng),活動(dòng)規(guī)則如下:①每月1到15日,大家可通過(guò)官網(wǎng)提交自己的報(bào)價(jià)(報(bào)價(jià)低于原價(jià)),但在報(bào)價(jià)時(shí)間截止之前無(wú)法得知其他人的報(bào)價(jià)和當(dāng)月參與活動(dòng)的總?cè)藬?shù);②當(dāng)月競(jìng)價(jià)時(shí)間截止后的第二天,系統(tǒng)將根據(jù)當(dāng)期優(yōu)惠名額,按出價(jià)從高到低的順序給相應(yīng)人員分配優(yōu)惠名額,獲得優(yōu)惠名額的人的最低出價(jià)即為該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價(jià),出價(jià)不低于優(yōu)惠價(jià)的人將獲得數(shù)額為原價(jià)減去優(yōu)惠價(jià)的優(yōu)惠券,并可在當(dāng)月下載該APP時(shí)使用.小明擬參加2022年7月份的優(yōu)惠活動(dòng),為了預(yù)測(cè)最低成交價(jià),他根據(jù)網(wǎng)站的公告統(tǒng)計(jì)了今年2到6月參與活動(dòng)的人數(shù),如下表所示:時(shí)間t(月)23456參與活動(dòng)的人數(shù)y(萬(wàn)人)0.50.611.41.7(1)若可用線性回歸模型擬合參與活動(dòng)的人數(shù)y(單位:萬(wàn)人)與時(shí)間t(單位:月)之間的關(guān)系,請(qǐng)用最小二乘法求y關(guān)于t的回歸方程SKIPIF1<0,并預(yù)測(cè)今年7月參與活動(dòng)的人數(shù);(2)某自媒體對(duì)200位擬參加今年7月份活動(dòng)的人進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查,得到如表所示的頻數(shù)表:報(bào)價(jià)X(單位:元)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數(shù)206060302010①求這200人的報(bào)價(jià)X(單位:元)的平均值SKIPIF1<0和方差SKIPIF1<0(同一區(qū)間的報(bào)價(jià)用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替);②假設(shè)所有參與活動(dòng)的人的報(bào)價(jià)X(單位:元)可視為服從正態(tài)分布SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可分別由①中所求的樣本平均數(shù)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0估計(jì),若2022年7月計(jì)劃發(fā)放優(yōu)惠名額數(shù)量為3173,請(qǐng)你合理預(yù)測(cè)該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價(jià),并說(shuō)明理由.參考公式及數(shù)據(jù):①回歸方程SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;③若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【解析】(1)由題意可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又因?yàn)镾KIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以回歸直線方
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