新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測(cè)練專題07 立體幾何小題??既珰w類(精講精練)(解析版)_第1頁(yè)
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新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講測(cè)練專題07 立體幾何小題常考全歸類(精講精練)(解析版)_第4頁(yè)
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專題07立體幾何小題??既珰w類【命題規(guī)律】高考對(duì)該部分的考查,小題主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是有關(guān)空間線面位置關(guān)系的命題的真假判斷;二是常見(jiàn)一些經(jīng)典常考?jí)狠S小題,難度中等或偏上.【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一:球與截面面積問(wèn)題核心考點(diǎn)二:體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問(wèn)題核心考點(diǎn)三:體積、面積、周長(zhǎng)、距離最值與范圍問(wèn)題核心考點(diǎn)四:立體幾何中的交線問(wèn)題核心考點(diǎn)五:空間線段以及線段之和最值問(wèn)題核心考點(diǎn)六:空間角問(wèn)題核心考點(diǎn)七:軌跡問(wèn)題核心考點(diǎn)八:以立體幾何為載體的情境題核心考點(diǎn)九:翻折問(wèn)題【真題回歸】1.已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6,S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合,則T表示的區(qū)域的面積為(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為,連接,則為三角形的中心,且,故.因?yàn)?,故,故的軌跡為以為圓心,1為半徑的圓,而三角形內(nèi)切圓的圓心為,半徑為,故的軌跡圓在三角形內(nèi)部,故其面積為故選:B2.如圖,已知正三棱柱,E,F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn).記與所成的角為,與平面所成的角為,二面角的平面角為,則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示,過(guò)點(diǎn)作于,過(guò)作于,連接,則,,,,,,所以,故選:A.3.(多選題)如圖,四邊形為正方形,平面,,記三棱錐,,的體積分別為,則(

)A. B.C. D.【答案】CD【解析】設(shè),因?yàn)槠矫?,,則,,連接交于點(diǎn),連接,易得,又平面,平面,則,又,平面,則平面,又,過(guò)作于,易得四邊形為矩形,則,則,,,則,,,則,則,,,故A、B錯(cuò)誤;C、D正確.故選:CD.4.(多選題)已知正方體,則(

)A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【解析】如圖,連接、,因?yàn)椋灾本€與所成的角即為直線與所成的角,因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t,故直線與所成的角為,A正確;連接,因?yàn)槠矫妫矫?,則,因?yàn)?,,所以平面,又平面,所以,故B正確;連接,設(shè),連接,因?yàn)槠矫?,平面,則,因?yàn)椋?,所以平面,所以為直線與平面所成的角,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為,則,,,所以,直線與平面所成的角為,故C錯(cuò)誤;因?yàn)槠矫?,所以為直線與平面所成的角,易得,故D正確.故選:ABD5.(多選題)在正三棱柱中,,點(diǎn)滿足,其中,,則(

)A.當(dāng)時(shí),的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí),三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn),使得D.當(dāng)時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn),使得平面【答案】BD【解析】易知,點(diǎn)在矩形內(nèi)部(含邊界).對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,即此時(shí)線段,周長(zhǎng)不是定值,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段,而,平面,則有到平面的距離為定值,所以其體積為定值,故B正確.對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,取,中點(diǎn)分別為,,則,所以點(diǎn)軌跡為線段,不妨建系解決,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,,,,則,,,所以或.故均滿足,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,取,中點(diǎn)為.,所以點(diǎn)軌跡為線段.設(shè),因?yàn)?,所以,,所以,此時(shí)與重合,故D正確.故選:BD.6.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,∠BAD=60°.以為球心,為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______.【答案】.【解析】如圖:取的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,因?yàn)?0°,直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2,所以△為等邊三角形,所以,,又四棱柱為直四棱柱,所以平面,所以,因?yàn)椋詡?cè)面,設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn),則,因?yàn)榍虻陌霃綖椋?,所以,所以?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為,因?yàn)?,所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧,因?yàn)?,所以,所以根?jù)弧長(zhǎng)公式可得.故答案為:.【方法技巧與總結(jié)】1、幾類空間幾何體表面積的求法(1)多面體:其表面積是各個(gè)面的面積之和.(2)旋轉(zhuǎn)體:其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和.(3)簡(jiǎn)單組合體:應(yīng)弄清各構(gòu)成部分,并注意重合部分的刪、補(bǔ).2、幾類空間幾何體體積的求法(1)對(duì)于規(guī)則幾何體,可直接利用公式計(jì)算.(2)對(duì)于不規(guī)則幾何體,可采用割補(bǔ)法求解;對(duì)于某些三棱錐,有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解.(3)錐體體積公式為,在求解錐體體積時(shí),不能漏掉3、求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí),注意圓柱的軸截面是矩形,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形.4、球的截面問(wèn)題球的截面的性質(zhì):①球的任何截面是圓面;②球心和截面(不過(guò)球心)圓心的連線垂直于截面;③球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關(guān)系為.注意:解決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題,關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析,弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系;選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系),達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的.5、立體幾何中的最值問(wèn)題有三類:一是空間幾何體中相關(guān)的點(diǎn)、線和面在運(yùn)動(dòng),求線段長(zhǎng)度、截面的面積和體積的最值;二是空間幾何體中相關(guān)點(diǎn)和線段在運(yùn)動(dòng),求有關(guān)角度和距離的最值;三是在空間幾何體中,已知某些量的最值,確定點(diǎn)、線和面之間的位置關(guān)系.6、解決立體幾何問(wèn)題的思路方法:一是幾何法,利用幾何體的性質(zhì),探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;二是代數(shù)法,通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù),借助函數(shù)思想方法求最值;通過(guò)降維的思想,將空間某些量的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面三角形、四邊形或圓中的最值問(wèn)題;涉及某些角的三角函數(shù)的最值,借助模型求解,如正四面體模型、長(zhǎng)方體模型和三余弦角模(為平面的斜線與平面內(nèi)任意一條直線所成的角,為該斜線與該平面所成的角,為該斜線在平面上的射影與直線所成的角).7、立體幾何中的軌跡問(wèn)題,這是一類立體幾何與解析幾何的交匯題型,既考查學(xué)生的空間想象能力,即點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,又考查用代數(shù)方法研究軌跡的基本思想,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng).8、解決立體幾何中的軌跡問(wèn)題有兩種方法:一是幾何法.對(duì)于軌跡為幾何體的問(wèn)題,要抓住幾何體中的不變量,借助空間幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)的定義;對(duì)于軌跡為平面上的問(wèn)題,要利用降維的思想,熟悉平面圖形(直線、圓、圓錐曲線)的定義.二是代數(shù)法(解析法).在圖形中,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系或平面直角坐標(biāo)系.9、以立體幾何為載體的情境題大致有三類:(1)以數(shù)學(xué)名著為背景設(shè)置問(wèn)題,涉及中外名著中的數(shù)學(xué)名題名人等;(2)以數(shù)學(xué)文化為背景設(shè)置問(wèn)題,包括中國(guó)傳統(tǒng)文化,中外古建筑等;(3)以生活實(shí)際為背景設(shè)置問(wèn)題,涵蓋生產(chǎn)生活、勞動(dòng)實(shí)踐、文化精神等.10、以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān),涉及在具體情境下的圖形閱讀,需要通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題.圖形怎么閱讀?一是要讀特征,即從圖形中讀出圖形的基本特征;二是要讀本質(zhì),即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升,實(shí)現(xiàn)“圖形→文字→符號(hào)”的轉(zhuǎn)化;三是要有問(wèn)題意識(shí),帶著問(wèn)題閱讀圖形,將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問(wèn)題有機(jī)地融合在一起;四是要有運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn),要“動(dòng)手”去操作,動(dòng)態(tài)地去閱讀圖形.【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一:球與截面面積問(wèn)題【規(guī)律方法】球的截面問(wèn)題球的截面的性質(zhì):①球的任何截面是圓面;②球心和截面(不過(guò)球心)圓心的連線垂直于截面;③球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關(guān)系為.【典型例題】例1.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,且該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,PA⊥平面ABCD,,點(diǎn)E在棱PB上,且,過(guò)E作球O的截面,則所得截面面積的最小值是____________.【答案】【解析】如圖,將四棱錐P-ABCD補(bǔ)為長(zhǎng)方體,則此長(zhǎng)方體與四棱錐的外接球均為球O,則球O半徑.O位于PC中點(diǎn)處.因底面ABCD是矩形,則.因PA⊥平面ABCD,平面ABCD,則,又平面PAB,AB平面PAB,,則平面PAB.因PB平面PAB,則.取PB的中點(diǎn)為F,則,..因,則,得.則在直角三角形OEF中,.當(dāng)EO與截面垂直時(shí),截面面積最小,則截面半徑為.故截面面積為.故答案為:例2.球體在工業(yè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,某零件由兩個(gè)球體構(gòu)成,球的半徑為為球表面上兩動(dòng)點(diǎn),為線段的中點(diǎn).半徑為2的球在球的內(nèi)壁滾動(dòng),點(diǎn)在球表面上,點(diǎn)在截面上的投影恰為的中點(diǎn),若,則三棱錐體積的最大值是___________.【答案】15【解析】如圖一所示:在圓中,因?yàn)辄c(diǎn)在截面上的投影恰為的中點(diǎn),且,所以為直角三角形,且,又因?yàn)椋钥傻?,設(shè),則有,所以,所以,當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以;如圖二所示:因?yàn)榍虻陌霃綖?,為線段的中點(diǎn),所以,當(dāng)三點(diǎn)共線且為如圖所示的位置時(shí),點(diǎn)為到平面的距離最大,即此時(shí)三棱錐的高最大,此時(shí),所以此時(shí),即三棱錐體積的最大值是15.故答案為:15.例3.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為6,,點(diǎn)是的中點(diǎn),則過(guò),,三點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為_(kāi)________.【答案】【解析】如圖,過(guò)點(diǎn)作,連接,由面面平行的性質(zhì)可得:四邊形為平行四邊形,又因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為6,,點(diǎn)是的中點(diǎn),所以點(diǎn),所以,因?yàn)槠叫兴倪呅蔚母邽椋?,故答案為?例4.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,分別是棱的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),給出下列四個(gè)結(jié)論:①平面截正方體所得的截面圖形是五邊形;②直線到平面的距離是;③存在點(diǎn),使得;④面積的最小值是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】①③④【解析】對(duì)于①,如圖直線與的延長(zhǎng)線分別交于,連接分別交于,連接,則五邊形即為所求的截面圖形,故①正確;對(duì)于②,由題知,平面,平面,所以平面,所以點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由正方體的棱長(zhǎng)為2可得,,,所以,,所以由,可得,所以直線到平面的距離是,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè),所以,又因?yàn)椋?,所以,假設(shè)存在點(diǎn)使得,所以,整理得,所以(舍去),或,所以存在點(diǎn)使得,故③正確;對(duì)于④,由③知,所以點(diǎn)在的射影為,所以點(diǎn)到的距離為,當(dāng)時(shí),,所以面積的最小值是,故④正確;故答案為:①③④核心考點(diǎn)二:體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問(wèn)題【規(guī)律方法】幾類空間幾何體體積的求法(1)對(duì)于規(guī)則幾何體,可直接利用公式計(jì)算.(2)對(duì)于不規(guī)則幾何體,可采用割補(bǔ)法求解;對(duì)于某些三棱錐,有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解.(3)錐體體積公式為,在求解錐體體積時(shí),不能漏掉【典型例題】例5.如圖,在正方體中,,,分別為,的中點(diǎn),,分別為棱,上的動(dòng)點(diǎn),則三棱錐的體積(

)A.存在最大值,最大值為 B.存在最小值,最小值為C.為定值 D.不確定,與,的位置有關(guān)【解析】如下圖,連接,在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),可得,,所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí),到平面的距離為定值,當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí),到的距離為定值,所以為定值,則三棱錐的體積為定值.平面即平面,作,由于,可得平面MABN,由,可得,而,.故選:C.例6.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn),且,點(diǎn)P,Q分別為的中點(diǎn),G在側(cè)面上運(yùn)動(dòng),且滿足G∥平面,以下命題錯(cuò)誤的是()A.B.多面體的體積為定值C.側(cè)面上存在點(diǎn)G,使得D.直線與直線BC所成的角可能為【解析】對(duì)A:連接,作圖如下:因?yàn)闉檎襟w,故可得//,又,與是同一條直線,故可得,則,故A正確;對(duì)B:根據(jù)題意,,且線段在上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)到直線的距離不變,故△的面積為定值,又點(diǎn)到平面的距離也為定值,故三棱錐的體積為定值,故B正確;對(duì)C:取的中點(diǎn)分別為,連接,作圖如下:容易知在△中,//,又//,,面面,故面//面,又G在側(cè)面上運(yùn)動(dòng),且滿足G∥平面,故的軌跡即為線段;又因?yàn)闉檎襟w,故面面,故,則當(dāng)與重合時(shí),,故C正確;對(duì)D:因?yàn)?/,故直線與所成角即為直線與所成角,即,在中,,故,而當(dāng)直線與直線BC所成的角為時(shí),,故直線與直線BC所成的角不可能為,故D錯(cuò)誤.故選:D.例7.如圖所示,在正方體中,過(guò)對(duì)角線的一個(gè)平面交于E,交于F,給出下面幾個(gè)命題:①四邊形一定是平行四邊形;②四邊形有可能是正方形;③平面有可能垂直于平面;④設(shè)與DC的延長(zhǎng)線交于M,與DA的延長(zhǎng)線交于N,則M?N?B三點(diǎn)共線;⑤四棱錐的體積為定值.以上命題中真命題的個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.5【解析】因?yàn)槠矫媾c平面平行,截面與它們交于,BF,可得,同樣可得,所以四邊形是一個(gè)平行四邊形,故①正確;如果四邊形是正方形,則,因?yàn)?,所以平面,又平面,E與A重合,此時(shí)不是正方形,故②錯(cuò)誤;當(dāng)兩條棱上的交點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí),四邊形為菱形,平面,此時(shí)四邊形垂直于平面,故③正確;由與DC的延長(zhǎng)線交于M,可得,且,又因?yàn)槠矫妫矫鍭BCD,所以平面,平面ABCD,又因?yàn)槠矫妫矫鍭BCD,所以平面平面,同理平面平面,所以BM,BN都是平面與平面ABCD的交線,所以B,M,N三點(diǎn)共線,故④正確;由于,平面,則E,F(xiàn)到平面的距離相等,且為正方體的棱長(zhǎng),三角形的面積為定值,所以四棱錐的體積為定值,故⑤正確.故選:C.核心考點(diǎn)三:體積、面積、周長(zhǎng)、距離最值與范圍問(wèn)題【規(guī)律方法】幾何法,利用幾何體的性質(zhì),探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;二是代數(shù)法,通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù),借助函數(shù)思想方法求最值【典型例題】例8.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖,正方形的中心為正方形的中心,,截去如圖所示的陰影部分后,翻折得到正四棱錐(,,,四點(diǎn)重合于點(diǎn)),則此四棱錐的體積的最大值為(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè),則所得的棱錐側(cè)面的高為,棱錐的高為其體積為:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即體積的最大值為,故選:B.例9.已知長(zhǎng)方體中,,,,為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),設(shè)二面角為,直線與平面所成的角為,若,則三棱錐體積的最小值是(

)A. B. C. D.【解析】如圖,作平面,垂足為,再作,垂足為,連接,由題意可知,,所以,由拋物線定義可知,的軌跡為拋物線一部分,所以的軌跡為拋物線一部分,當(dāng)點(diǎn)到線段距離最短時(shí),三角形面積最小,三棱錐體積最小,建立如圖所示直角坐標(biāo)系,則直線的方程為,拋物線的方程為,,由題意,,得,代入,得,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以到直線的最短距離為,因?yàn)?,所以,所以三棱錐體積的最小值為.故選:C例10.如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,,為的中點(diǎn).過(guò)作截面將此四棱錐分成上?下兩部分,記上?下兩部分的體積分別為,,則的最小值為(

)A. B. C. D.【解析】過(guò)作平面的垂線,垂足為,連,設(shè)的交點(diǎn)為,在中過(guò)作直線交于兩點(diǎn),由相交直線確定平面,則四邊形為過(guò)的截面.由計(jì)算可得,得為正三角形,,所以為的重心,設(shè),由向量運(yùn)算可得,又,可得,所以,由三點(diǎn)共線,得,即,易得到平面的距離為,到平面的距離為1,因?yàn)椋?,,得,,由,,得,?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào),所以,即的最小值為.故選:A.例11.如圖,在正方體中,,,分別為,的中點(diǎn),,分別為棱,上的動(dòng)點(diǎn),則三棱錐的體積(

)A.存在最大值,最大值為 B.存在最小值,最小值為C.為定值 D.不確定,與,的位置有關(guān)【解析】如下圖,連接,在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),可得,,所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí),到平面的距離為定值,當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí),到的距離為定值,所以為定值,則三棱錐的體積為定值.平面即平面,作,由于,可得平面MABN,由,可得,而,.故選:C.核心考點(diǎn)四:立體幾何中的交線問(wèn)題【規(guī)律方法】幾何法【典型例題】例12.在棱長(zhǎng)均相等的四面體ABCD中,P為棱AD(不含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的平面α與平面PBC平行.若平面α與平面ABD,平面ACD的交線分別為m,n,則m,n所成角的正弦值的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)A的平面α與平面PBC平行.若平面α與平面ABD,平面ACD的交線分別為m,n,由于平面平面,平面平面,,平面平面所以,所以或其補(bǔ)角即為m,n所成的平面角,設(shè)正四棱錐ABCD的棱長(zhǎng)為1,,則,在中,由余弦定理得:,同理,故在中,,由于,則,進(jìn)而,當(dāng)時(shí)取等號(hào),故的最小值為,進(jìn)而,故的最大值為,故答案為:例13.已知一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,則其外接球與以其一個(gè)頂點(diǎn)為球心,1為半徑的球面所形成的交線的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.【答案】【解析】設(shè)外接球半徑為,外接球球心到底面的距離為,則,所以,兩球相交形成形成的圖形為圓,如圖,在中,,,在中,,所以交線所在圓的半徑為,所以交線長(zhǎng)度為.故答案為:例14.已知正方體的棱長(zhǎng)為,以為球心,半徑為2的球面與底面的交線的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.【答案】;【解析】正方體中,平面,所以平面與球的截面是以為圓心的圓,且半徑為,所以球面與底面的交線為以為圓心,1為半徑的弧,該交線為.故答案為:.例15.如圖,在四面體中,,,兩兩垂直,,以為球心,為半徑作球,則該球的球面與四面體各面交線的長(zhǎng)度和為_(kāi)__.【答案】【解析】因?yàn)?,所以是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,所以邊長(zhǎng)為的等邊三角形的高為:,所以,設(shè)到平面的距離為,,所以,所以,解得,則,所以以為球心,為半徑的球與平面,平面,平面的交線為個(gè)半徑為的圓的弧線,與面的交線為一個(gè)圓,且圓的半徑為,所以交線總長(zhǎng)度為:.故答案為:.核心考點(diǎn)五:空間線段以及線段之和最值問(wèn)題【規(guī)律方法】幾何法,利用幾何體的性質(zhì),探求圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;二是代數(shù)法,通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù),借助函數(shù)思想方法求最值【典型例題】例16.已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為,外接球表面積為,,點(diǎn)M,N分別是線段AB,AC的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別是線段SN和平面SCM上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為(

)A. B. C. D.【解析】依題意,,解得,由是正三角形可知:其外接圓半徑為,設(shè)點(diǎn)S到平面ABC的距離為h,故,解得或,則或(舍去),故,則,而,故為等腰直角三角形,,故為等腰直角三角形,,則,又,故平面SCM,取CB中點(diǎn)F,連接NF交CM于點(diǎn)O,則,則平面SCM,故平面SCM,則,要求最小,首先需PQ最小,此時(shí)可得平面SCM,則;再把平面SON繞SN旋轉(zhuǎn),與平面SNA共面,即圖中位置,當(dāng)共線且時(shí),的最小值即為的長(zhǎng),由為等腰直角三角形,故,,∴,即,∴,可得,,故選:B.例17.在棱長(zhǎng)為3的正方體中,點(diǎn)滿足,點(diǎn)在平面內(nèi),則的最小值為(

)A. B. C. D.【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則,因?yàn)?,且,則平面,所以,同理得平面,所以,而,所以平面,記與平面交于點(diǎn),連接,且,則,易得,從而得點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為,所以的最小值為.故選:B.例18.如圖所示,在直三棱柱中,,,,P是上的一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為(

)A. B. C. D.3【解析】連接,得,以所在直線為軸,將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面,設(shè)點(diǎn)的新位置為,連接,則有.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),則即為的最小值.在三角形ABC中,,,由余弦定理得:,所以,即在三角形中,,,由勾股定理可得:,且.同理可求:因?yàn)?,所以為等邊三角形,所以,所以在三角形中,,,由余弦定理得:.故選B.核心考點(diǎn)六:空間角問(wèn)題【規(guī)律方法】1、用綜合法求空間角的基本數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化與化歸,即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角,然后通過(guò)解三角形求得.求解的一般步驟為:(1)作圖:作出空間角的平面角.(2)證明:證明所給圖形是符合題設(shè)要求的.(3)計(jì)算:在證明的基礎(chǔ)上計(jì)算得出結(jié)果.簡(jiǎn)稱:一作、二證、三算.2、用定義作異面直線所成角的方法是“平移轉(zhuǎn)化法”,可固定一條,平移另一條;或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上.3、求直線與平面所成角的常見(jiàn)方法(1)作角法:作出斜線、垂線、斜線在平面上的射影組成的直角三角形,根據(jù)條件求出斜線與射影所成的角即為所求.(2)等積法:公式,其中是斜線與平面所成的角,h是垂線段的長(zhǎng),是斜線段的長(zhǎng),其中求出垂線段的長(zhǎng)(即斜線上的點(diǎn)到面的距離)既是關(guān)鍵又是難點(diǎn),為此可構(gòu)造三棱錐,利用等體積法來(lái)求垂線段的長(zhǎng).(3)證垂法:通過(guò)證明線面垂直得到線面角為90°.4、作二面角的平面角常有三種方法(1)棱上一點(diǎn)雙垂線法:在棱上任取一點(diǎn),過(guò)這點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線,這兩條射線所成的角,就是二面角的平面角.(2)面上一點(diǎn)三垂線法:自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線,再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)(即垂足),斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角,即為二面角的平面角.(3)空間一點(diǎn)垂面法:自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面,截二面角得兩條射線,這兩條射線所成的角就是二面角的平面角.【典型例題】例19.已知正方體中,為內(nèi)一點(diǎn),且,設(shè)直線與所成的角為,則的取值范圍為(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖1,設(shè)與平面相交于點(diǎn),連接交于點(diǎn),連接,∵平面,平面,則,,,平面∴平面,由平面,則,同理可證:,,平面,∴平面,∵,由正三棱錐的性質(zhì)可得:為的中心,連接,∵為的中點(diǎn),∴交于點(diǎn),連接,由平面,平面,則,即是的高,設(shè),,則,且的內(nèi)切圓半徑,則,,∵,即,則,∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心,為半徑的圓.∵平面,平面,則,∴,故為底面半徑為,高為的圓錐的母線,如圖2所示,設(shè)圓錐的母線與底面所成的角,則,所以,即直線與平面所成的角為.直線在平面內(nèi),所以直線與直線所成角的取值范圍為,因?yàn)?,所以直線與直線所成角的取值范圍為,即,所以.故選:C.例20.在等腰梯形中,,,AC交BD于O點(diǎn),沿著直線BD翻折成,所成二面角的大小為,則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是(

)A. B.C. D.【答案】C【解析】等腰梯形中,,,可知:取中點(diǎn),中點(diǎn)連接,則,,所以為二面角的平面角,即設(shè),則,,因?yàn)樵谏嫌嘞液瘮?shù)單調(diào)遞減,又,故A對(duì).當(dāng)時(shí),與重合,此時(shí),故C不對(duì).在翻折的過(guò)程中,角度從減少到在翻折的過(guò)程中,角度從減少到BD選項(xiàng)根據(jù)圖形特征及空間關(guān)系,可知正確.故選:C例21.)如圖,中,,,,D為AB邊上的中點(diǎn),點(diǎn)M在線段BD(不含端點(diǎn))上,將沿CM向上折起至,設(shè)平面與平面ACM所成銳二面角為,直線與平面AMC所成角為,直線MC與平面所成角為,則在翻折過(guò)程中,下列三個(gè)命題中正確的是(

)①,②,③.A.① B.①② C.②③ D.①③【答案】B【解析】如圖,設(shè)直線與直線垂直相交于點(diǎn),在折疊圖里,線段與平面垂直相交于點(diǎn),,由圖象知:,,,,,,①,,所以;②,設(shè),則,,由,得,,則,由得;③,則,即,所以,則.故選:B例22.已知等邊,點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn),且滿足,將沿著翻折至點(diǎn)處,如圖所示,記二面角的平面角為,二面角的平面角為,直線與平面所成角為,則(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】在等邊中,取BC邊中點(diǎn)D,連接AD,交EF于O,連接PO,則,,平面,平面,故平面,又平面,則平面平面在中,過(guò)P做PM垂直于OD于M,則平面,連接MF,在等邊中,過(guò)M做MN垂直于AC于N,連接PN.由,則為二面角的平面角即,由平面,,則為二面角的平面角即由平面,則直線與平面所成角,即,設(shè),則,,,,,則有,由可得,則有,則又故,又故故選:A例23.設(shè)三棱錐的底面是正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)均相等,P是棱上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)),記直線與直線所成的角為,直線與平面所成的角為,二面角的平面角是則三個(gè)角,,中最小的角是(

)A. B. C. D.不能確定【答案】B【解析】如圖,取BC的中點(diǎn)D,作VO⊥平面ABC于點(diǎn)O,由題意知點(diǎn)O在AD上,且AO=2OD.作PE//AC,PE交VC于點(diǎn)E,作PF⊥AD于點(diǎn)F,連接BF,則PF⊥平面ABC取AC的中點(diǎn)M,連接BM,VM,VM交PE于點(diǎn)H,連接BH,易知BH⊥PE,作于點(diǎn)G,連接FG,由PG⊥AC,PF⊥AC,PGPF=P,由線面垂直判定定理可得AC⊥平面PGF,又平面PGF∴

FG⊥AC,作FN⊥BM于點(diǎn)N.∵

PG∥VM,PF∥VN∴

平面PGF∥平面VMB,又PH∥FN,四邊形PFNH為平行四邊形,所以PH=FN,因此,直線PB與直線AC所成的角,直線PB與平面ABC所成的角,二面角P-AC-B的平面角,又又,∴

因?yàn)椤?/p>

綜上所述,中最小角為,故選B.核心考點(diǎn)七:軌跡問(wèn)題【規(guī)律方法】解決立體幾何中的軌跡問(wèn)題有兩種方法:一是幾何法.對(duì)于軌跡為幾何體的問(wèn)題,要抓住幾何體中的不變量,借助空間幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)的定義;對(duì)于軌跡為平面上的問(wèn)題,要利用降維的思想,熟悉平面圖形(直線、圓、圓錐曲線)的定義.二是代數(shù)法(解析法).在圖形中,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系或平面直角坐標(biāo)系.【典型例題】例24.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,,分別為,的中點(diǎn),點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),且滿足,則下列命題:①點(diǎn)可以是棱的中點(diǎn);②點(diǎn)的軌跡是菱形;③點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為;④點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.其中正確的命題個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】連接,交于,則為中點(diǎn),因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,由正方體的性質(zhì)可知平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以,過(guò)點(diǎn)作,分別交于,過(guò)點(diǎn)分別作,分別交于點(diǎn),連接,所以,四點(diǎn)共面,且,所以,四邊形為平行四邊形,因?yàn)槠矫?,所以平面,平面,所以所以,四邊形為矩形,因?yàn)?,平面,所以平面,因?yàn)辄c(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),且滿足所以,當(dāng)面時(shí),始終有,所以,點(diǎn)的軌跡是矩形,如下圖,因?yàn)?,所以,,所以,,因?yàn)椋浴?,所以,即,即所以,,所以,點(diǎn)不可能是棱的中點(diǎn),點(diǎn)的軌跡是矩形,軌跡長(zhǎng)度為矩形的周長(zhǎng),軌跡所圍成圖形的面積為故正確的命題為③④.個(gè)數(shù)為2個(gè).故選:B例25.已知正方體的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱CD,的中點(diǎn),點(diǎn)P為四邊形內(nèi)(包括邊界)的一動(dòng)點(diǎn),且滿足平面BEF,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為(

)A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】畫出示意圖如下:取中點(diǎn)N,取中點(diǎn)M,連接,則,則四邊形為平行四邊形,所以BE,連接,則,故MNEF,又,平面平面BEF,所以平面BEF平面B1MN,平面∩平面=MN,所以P點(diǎn)軌跡即為MN,長(zhǎng)度為;證明:因?yàn)槠矫鍮EF平面,P點(diǎn)是MN上的動(dòng)點(diǎn),故平面,所以平面BEF,滿足題意.故選:A.例26.如圖,在四棱錐中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA⊥平面ABCD,且,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別為棱AB,AD,PC的中點(diǎn),下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.AG⊥平面PBDB.直線FG和直線AC所成的角為C.過(guò)點(diǎn)E,F(xiàn),G的平面截四棱錐所得的截面為五邊形D.當(dāng)點(diǎn)T在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),且滿足的面積為時(shí),動(dòng)點(diǎn)T的軌跡是圓【答案】D【解析】可將四棱錐補(bǔ)形成正方體,如圖①,直線AG即體對(duì)角線,易證平面PDB,A選項(xiàng)正確;如圖②,取CD的中點(diǎn)H,連接FH,可知,所以(或其補(bǔ)角)與直線FG和直線AC所成的角相同,在中,,所以,B選項(xiàng)正確;如圖③,延長(zhǎng)EF交直線CD于點(diǎn)H,交直線BC于點(diǎn)I,連接GI交PB于點(diǎn)M,連接GH交PD于點(diǎn)N,則五邊形EFNGM即為平面EFG截四棱錐所得的截面,C選項(xiàng)正確;當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以點(diǎn)T到AG的距離為,點(diǎn)T在以AC為軸,底面半徑的圓柱上,又點(diǎn)T在平面ABCD上,所以點(diǎn)T的軌跡是橢圓.D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:D例27.(2022·浙江溫州·高三開(kāi)學(xué)考試)如圖,正方體,P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),設(shè)二面角的大小為,直線與平面所成角的大小為.若,則點(diǎn)P的軌跡是(

)A.圓 B.拋物線 C.橢圓 D.雙曲線【答案】D【解析】連接AC交BD于O,取中點(diǎn),連接以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)A、OB、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖:令正方體邊長(zhǎng)為2,則,面的一個(gè)法向量為,面的一個(gè)法向量為則,故二面角的大小為又二面角的大小,則或由,,可得又整理得即,是雙曲線.故選:D例28.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖,正方體中,M為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P在底面和側(cè)面上運(yùn)動(dòng)并且使,那么點(diǎn)P的軌跡是(

)A.兩段圓弧 B.兩段橢圓弧C.兩段雙曲線弧 D.兩段拋物線弧【答案】C【解析】由P點(diǎn)的軌跡實(shí)際是一個(gè)正圓錐面和兩個(gè)平面的交線,其中這個(gè)正圓錐面的中心軸即為,頂點(diǎn)為A,頂角的一半即為,以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,可得,,設(shè)與底面所成的角為,則,所以,所以該正圓錐面和底面的交線是雙曲線弧,同理可知,P點(diǎn)在平面的交線是雙曲線弧,故選:C.核心考點(diǎn)八:以立體幾何為載體的情境題【規(guī)律方法】以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān),涉及在具體情境下的圖形閱讀,需要通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題.圖形怎么閱讀?一是要讀特征,即從圖形中讀出圖形的基本特征;二是要讀本質(zhì),即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升,實(shí)現(xiàn)“圖形→文字→符號(hào)”的轉(zhuǎn)化;三是要有問(wèn)題意識(shí),帶著問(wèn)題閱讀圖形,將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問(wèn)題有機(jī)地融合在一起;四是要有運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn),要“動(dòng)手”去操作,動(dòng)態(tài)地去閱讀圖形.【典型例題】例29.(2022·寧夏·平羅中學(xué)高三階段練習(xí)(理))設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn),定義多面體M在P處的離散曲率為為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn),且平面,,……,遍及多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面如圖是正四面體、正八面體、正十二面體和正二十面體,若它們?cè)诟黜旤c(diǎn)處的離散曲率分別是a,b,c,d,則a,b,c,d的大小關(guān)系是(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于正四面體,其離散曲率為,對(duì)于正八面體,其離散曲率為,對(duì)于正十二面體,其離散曲率為,對(duì)于正二十面體,其離散曲率為,則,所以.故選:B.例30.(2022·廣東·廣州市從化區(qū)第三中學(xué)高三階段練習(xí))北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用,在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定:多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如:正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角,每個(gè)面角是,所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為,故其總曲率為.給出下列三個(gè)結(jié)論:①正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為;②任意四棱錐的總曲率均為;③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù),棱數(shù),面數(shù)滿足,則該類多面體的總曲率是常數(shù).其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為,故①正確;②由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和,因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn),5個(gè)面,分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形,所以任意四棱錐的總曲率為,故②正確;③設(shè)每個(gè)面記為邊形,則所有的面角和為,根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù),故③正確.故選:D.例31.(2022·遼寧·沈陽(yáng)二十中三模)我國(guó)南北朝時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家祖暅原提出了祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異.”意思是,夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截,若截面面積都相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí),構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱,與半球(如圖①)放置在同一平面上,然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn),圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體(如圖②),用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí),可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等,由此可證明新幾何體與半球體積相等,即.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體(如圖③),類比上述方法,運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于(

)A. B. C. D.【答案】D【解析】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為,高為的圓柱,在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐,則當(dāng)截面與頂點(diǎn)距離為時(shí),小圓錐底面半徑為,則,,故截面面積為:,把代入,即,解得:,橄欖球形幾何體的截面面積為,由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積為:圓柱圓錐.故選:D.例32.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))將地球近似看作球體.設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為,為此時(shí)太陽(yáng)直射緯度(當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?,冬半年取?fù)值),為該地的緯度值,如圖.已知太陽(yáng)每年直射范圍在南北回歸線之間,即.北京天安門廣場(chǎng)的漢白玉華表高為9.57米,北京天安門廣場(chǎng)的緯度為北緯,若某天的正午時(shí)刻,測(cè)得華表的影長(zhǎng)恰好為9.57米,則該天的太陽(yáng)直射緯度為(

)A.北緯 B.南緯C.北緯 D.南緯【答案】D【解析】由題可知,天安門廣場(chǎng)的太陽(yáng)高度角,由華表的高和影長(zhǎng)相等可知,所以.所以該天太陽(yáng)直射緯度為南緯,故選:D.核心考點(diǎn)九:翻折問(wèn)題【規(guī)律方法】1、處理圖形翻折問(wèn)題的關(guān)鍵是理清翻折前后長(zhǎng)度和角度哪些發(fā)生改變,哪些保持不變.2、把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題,把握?qǐng)D形之間的關(guān)系,感悟數(shù)學(xué)本質(zhì).【典型例題】例33.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖,已知四邊形,是以為斜邊的等腰直角三角形,為等邊三角形,,將沿對(duì)角線翻折到在翻折的過(guò)程中,下列結(jié)論中不正確的是(

)A. B.與可能垂直C.直線與平面所成角的最大值是 D.四面體的體積的最大是【答案】C【解析】如圖所示,取的中點(diǎn),連接是以為斜邊的等腰直角三角形,為等邊三角形,面,,故A正確對(duì)于B,假設(shè),又面,,又,,故與可能垂直,故B正確當(dāng)面面時(shí),此時(shí)面,即為直線與平面所成角此時(shí),故C錯(cuò)誤當(dāng)面面時(shí),此時(shí)四面體的體積最大,此時(shí)的體積為:,故D正確故選:C例34.(2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖,已知矩形的對(duì)角線交于點(diǎn),將沿翻折,若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置,使得,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖示,設(shè)處為沿翻折后的位置,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC分別為x,y軸,過(guò)點(diǎn)D作平面ABCD的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè),由于,故,而,由于,故,則,即;又由在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置,便得,不妨假設(shè),則,即,即,當(dāng)將翻折到如圖位置時(shí),位于平面ABCD內(nèi),不妨假設(shè)此時(shí),設(shè)垂足為G,作AD的延長(zhǎng)線,垂足為F,此時(shí)在x軸負(fù)半軸上方向上,DF的長(zhǎng)最大,a取最小值,由于,故,所以,而,故,又,故為正三角形,則,而,故,則,故,,則,故的取值范圍是,故選:A例35.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖1,在正方形中,點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),將沿翻折,使得二面角為直二面角,得到圖2所示的四棱錐,點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),則在四棱錐中,下列說(shuō)法正確的是(

)A.???四點(diǎn)一定共面B.存在點(diǎn),使得平面C.側(cè)面與側(cè)面的交線與直線相交D.三棱錐的體積為定值【答案】B【解析】A.假設(shè)???四點(diǎn)共面,則直線EC與BF共面,若EC與BF平行,又EC與AD平行,則AD與BF平行,這與AD與BF相交矛盾;若EC與BF相交,設(shè)交點(diǎn)為Q,則Q即在平面BAD內(nèi),又在平面AECD內(nèi),則點(diǎn)Q在交線AD上,這與EC與AD平行矛盾,所以假設(shè)不成立,所以B、E、C、F不共面,故錯(cuò)誤;B.如圖所示:在AD上取點(diǎn)G,使得AG=EC,當(dāng)時(shí),,又平面,平面,所以平面,同理平面,又,所以平面平面,則平面,故存在點(diǎn),使得平面,故正確;C.設(shè)側(cè)面與側(cè)面的交線為l,因?yàn)椋颐?,面,所以面,則,所以,故錯(cuò)誤;D.因?yàn)槎娼菫橹倍娼?,?dāng)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí),點(diǎn)B到AE的距離即三棱錐的高變化,而是定值,故三棱錐的體積不是定值,故錯(cuò)誤;故選:B例36.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知直角梯形ABCD滿足:AD∥BC,CD⊥DA,且△ABC為正三角形.將△ADC沿著直線AC翻折至△AD'C如圖,且,二面角、、的平面角大小分別為α,β,γ,直線,,與平面ABC所成角分別是θ1,θ2,θ3,則(

)A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意可知,不妨設(shè),則.如圖所示,取點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn),連結(jié)AF,DE,設(shè)G為DE與AF的交點(diǎn),DE與AC的交于點(diǎn)H.所以,則,則旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,點(diǎn)在平面ABC上的投影在DE上.當(dāng)點(diǎn)的投影為點(diǎn)G時(shí),則;當(dāng)點(diǎn)的投影在DG上時(shí),則;當(dāng)點(diǎn)的投影在GE上時(shí),則;當(dāng)點(diǎn)投影為點(diǎn)E時(shí),則.故要使,則點(diǎn)的投影在點(diǎn)G,E兩點(diǎn)之間,此時(shí)投影點(diǎn)到AB,BC,CD的距離為所以二面角最大,其次為二面角,而二面角最小,故;設(shè)三棱錐的高為h.則.因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以故選:A.【新題速遞】1.(2022·安徽·高三階段練習(xí))如圖,在棱長(zhǎng)為的正四面體中,點(diǎn)分別在棱上,且平面平面為內(nèi)一點(diǎn),記三棱錐的體積為,設(shè),關(guān)于函數(shù),下列說(shuō)法正確的是(

)A.,使得B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.,使得(其中為四面體的體積)【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn),連接,如圖所示,則為等邊的中心,故,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以,所以,所?因?yàn)槠矫嫫矫妫瑒t,且點(diǎn)到平面的距離為,所以點(diǎn)到平面的距離為,所以,其中,對(duì)于選項(xiàng),,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,,故正確,B錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),,故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),,故對(duì)任意的,故D錯(cuò)誤.故選:A.2.(2022·重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高三階段練習(xí))如圖所示,在直角梯形中,?分別是?上的點(diǎn),,且(如圖1).將四邊形沿折起,連接(如圖2).在折起的過(guò)程中,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是(

)①平面;②四點(diǎn)不可能共面;③若,則平面平面;④平面與平面可能垂直.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】對(duì)于①,在圖2中記與的交點(diǎn)為,取的中點(diǎn)為,連接,因?yàn)?,,所以四邊形為矩形,故為的中點(diǎn),又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以為的中位線,故,且,又,,所以,且,所以四邊形為平行四邊形,即面面,故平面,故①正確;對(duì)于②,因?yàn)?,平面,平面,所以平面,如果四點(diǎn)共面,因?yàn)槠矫?,而與已知矛盾,故②正確;對(duì)于③,在梯形中,連接DF,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE于點(diǎn)H,因?yàn)橹苯翘菪沃校?,,,所以,四邊形為正方形,為等腰直角三角形,所以,,又平面,平面,∵平面,即有,又與相交,平面,平面,∵平面,則平面平面,故③正確;對(duì)于④,延長(zhǎng)至使得,連接,因?yàn)椤虯B,BC⊥AF,,平面ABF,所以BC⊥平面ABF,因?yàn)锽C平面BCE,所以平面平面,交線為BG,過(guò)作于點(diǎn),因?yàn)镕N平面ABF,則平面.過(guò)作直線與平面垂直,其垂足在上,不在BE上,故④錯(cuò)誤.故選:A.3.(2022·四川·成都市第二十中學(xué)校一模(理))如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,均為所在棱的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有(

)①棱上一定存在點(diǎn),使得②三棱錐的外接球的表面積為③過(guò)點(diǎn)作正方體的截面,則截面面積為④設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi),且平面,則與所成角的余弦值的最大值為A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】建立如圖空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,所以,若棱上存在點(diǎn),使得,則,整理得,此方程無(wú)解,①不正確;設(shè)的中點(diǎn)為,則四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形,其外接圓的半徑為,又底面,所以三棱錐的外接球的半徑為;所以其表面積為,②正確;過(guò)點(diǎn)作正方體的截面,截面如圖中六邊形所示,因?yàn)檫呴L(zhǎng)均為,且對(duì)邊平行,所以截面六邊形為正六邊形,其面積為,③正確;點(diǎn)在平面內(nèi),設(shè),則,設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則,令可得,即,因?yàn)槠矫妫?,即,設(shè)與所成角為,則,當(dāng)時(shí),取最小值,所以與所成角的余弦值的最大值為,故④正確;故選:C.4.(2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)有限責(zé)任公司模擬預(yù)測(cè)(文))在棱長(zhǎng)為的正方體中,為的中點(diǎn),點(diǎn)在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿足,則點(diǎn)軌跡所圍成圖形的面積為(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,設(shè),在正方體中,且,因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn),則且,故四邊形為平行四邊形,故且,因?yàn)榍?,且,故四邊形為平行四邊形,因?yàn)椋?,,故,所以,,則,所以,,故,平面,、平面,,,,、平面,平面,若點(diǎn)在的邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不包括點(diǎn)),則平面,故,由勾股定理可得,易知四邊形為矩形,故點(diǎn)軌跡所圍成圖形的面積即為矩形的面積,即為.故選:A.5.(2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí))直線平面,垂足是,正四面體的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】B【解析】在正四面體中,分別取的中點(diǎn),連接,則,又,平面,平面則平面,又平面,則中,等腰中,,若固定正四面體的位置,則點(diǎn)O在以BC為直徑的球上運(yùn)動(dòng),球半徑為2,則點(diǎn)O到直線的距離的最小值為球心到直線的距離減去半徑即,最大值為球心到直線的距離加上半徑即則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是故選:B6.(2022·湖南·模擬預(yù)測(cè))正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是4,側(cè)棱長(zhǎng)是6,M,N分別為,的中點(diǎn),若點(diǎn)P是三棱柱內(nèi)(含棱柱的表面)的動(dòng)點(diǎn),MP∥平面,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡面積為(

)A. B.5 C. D.【答案】C【解析】取AB的中點(diǎn)Q,連接MQ,CQ,MC,由M,N,Q分別為,,AB的中點(diǎn)可得,平面,平面,所以平面,同理得平面,,平面,則平面平面,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為△MQC及其內(nèi)部(挖去點(diǎn)M).在正三棱柱中,△ABC為等邊三角形,Q為AB的中點(diǎn),則,平面平面,平面平面,則CQ⊥平面,平面,所以.因?yàn)?,所以,因?yàn)閭?cè)棱長(zhǎng)是6,所以.所以,則△MQC的面積,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡面積為.故選:C7.(2022·山西·高三階段練習(xí))已知正方體的頂點(diǎn)都在表面積為的球面上,過(guò)球心O的平面截正方體所得的截面為一菱形,記該菱形截面為S,點(diǎn)P是正方體表面上一點(diǎn),則以截面S為底面,以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的四棱錐的體積的最大值為(

)A. B. C.2 D.【答案】A【解析】設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為,球的半徑為,所以有,于是有,所以該正方體的棱長(zhǎng)為2,第一種情況,經(jīng)過(guò)球心垂直上下兩面時(shí),此時(shí)的體積最大值為;第二種情況如圖1,由題意可知,要使過(guò)球心平面截正方體截面為菱形,則該截面必過(guò)正方體相對(duì)兩棱中點(diǎn),(不妨取圖中中點(diǎn)分別為F,E),設(shè)該截面與及的交點(diǎn)分別為M,N,顯然,而,所以,即,顯然,而,而平面,平面.由圖1可以看出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)或點(diǎn)C重合時(shí)四棱錐的高最大,,而,則;綜上所述,體積的最大值為.故選:A8.(2022·浙江·高三階段練習(xí))在中,,.若空間點(diǎn)滿足,則直線與平面所成角的正切的最大值是(

)A. B. C. D.1【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作與點(diǎn),設(shè),則,又,則,則點(diǎn)在以為旋轉(zhuǎn)軸,底面圓半徑為的圓柱上,如圖所示:以所在平面為,建立空間直角坐標(biāo),則平面的法向量為:,,設(shè),則,記直線與平面所成角為,則,因?yàn)?,所以,令,則,則,,又,在上單調(diào)遞減。在上單調(diào)遞增,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,又,所以直線與平面所成角的最大值為,此時(shí),故選:C9.(多選題)(2022·云南曲靖·高三階段練習(xí))已知正方體的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)一點(diǎn),則(

)A.當(dāng)時(shí),異面直線與所成角的正切值為2B.當(dāng)時(shí),四面體的體積為定值C.當(dāng)點(diǎn)到平面的距離等于到直線的距離時(shí),點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分D.當(dāng)時(shí),四面體的外接球的表面積為【答案】ABC【解析】正方體的棱長(zhǎng)為1,對(duì)于A,如圖,CP與AD所成的角即CP與BC所成的角,因?yàn)?,所以,,,由余弦定理,,由正弦定理,,所以,即CP與AD所成的角的正切值為2,A正確;對(duì)于B,因?yàn)椋云矫?,所以?dāng)即點(diǎn)P在線段上時(shí),點(diǎn)P到平面的距離為定值,所以四面體的體積為定值,B正確;對(duì)于C,點(diǎn)P到平面的距離即點(diǎn)P到直線的距離,點(diǎn)P到直線的距離即點(diǎn)P到的距離,依據(jù)拋物線的定義當(dāng)兩距離相等時(shí)點(diǎn)P的軌跡為拋物線一部分,C正確;對(duì)于D,當(dāng)即點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí),因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以DB為四面體BCDP外接球的一條直徑,外接球半徑,外接球表面積,D錯(cuò)誤.故選:ABC.10.(多選題)(2022·遼寧·本溪高中高三階段練習(xí))如圖,矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直,,G為線段AE上的動(dòng)點(diǎn),則(

)A.B.多面體ABCDEF的體積為C.若G為線段AE的中點(diǎn),則平面CEFD.點(diǎn)M,N分別為線段AF,AC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)T在平面BCF內(nèi),則的最小值是【答案】ACD【解析】如圖,將幾何體ABCDEF補(bǔ)全成棱長(zhǎng)為2的正方體,在該正方體中,因?yàn)?,,所以,故A項(xiàng)正確;因?yàn)?,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)G為線段AE的中點(diǎn)時(shí),因?yàn)?,平面CEF,平面CEF,所以平面CEF,同理平面CEF,又,平面,所以平面平面CEF,平面,所以平面CEF,故C項(xiàng)正確;設(shè)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為Q,N關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為,則在線段CQ上,記d為直線AF與CQ之間的距離,因?yàn)?且平面,平面,所以平面,即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到平面AEF的距離,即IC長(zhǎng)度的三分之二,,則,經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)M,都分別在線段上,故D項(xiàng)正確.附證:,因?yàn)槠矫?,平面,所以,又因?yàn)?,,所以平面,平面,所以,同理,且,所以平面,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,根據(jù)等體積可知,,得,所以點(diǎn)到平面的距離為.故選ACD項(xiàng).11.(多選題)(2022·廣東·東涌中學(xué)高三期中)如圖,已知正方體的棱長(zhǎng)為1,,,分別為,,的中點(diǎn),點(diǎn)在上,平面,則以下說(shuō)法正確的是(

)A.點(diǎn)為的中點(diǎn)B.三棱錐的體積為C.直線與平面所成的角的正弦值為D.過(guò)點(diǎn)、、作正方體的截面,所得截面的面積是【答案】ABC【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)平面EFG的法向量為,則,令,則,故,A選項(xiàng),設(shè),則,因?yàn)槠矫?,所以,即,解得:,故,故,,所以,則點(diǎn)為的中點(diǎn),A正確;設(shè)點(diǎn)到平面EFG的距離為d,則,又,,,即,由余弦定理得:,故,則,由三角形面積公式可得:,故三棱錐的體積為,B正確;,設(shè)直線與平面所成的角為,則,故直線與平面所成角的正弦值為,C正確;取的中點(diǎn),的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,則過(guò)點(diǎn)、、作正方體的截面,截面為正六邊形,邊長(zhǎng)為,正六邊形的面積為則截面面積為,D錯(cuò)誤.故選:ABC12.(多選題)(2022·安徽·阜陽(yáng)師范大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí))已知為等腰直角三角形,,其高,為線段的中點(diǎn),將沿折成大小為的二面角,連接,形成四面體,動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)(含邊界),且平面,則在變化的過(guò)程中(

)A.B.點(diǎn)到平面的距離的最大值為C.點(diǎn)在內(nèi)(含邊界)的軌跡長(zhǎng)度為D.當(dāng)時(shí),與平面所成角的正切值的取值范圍為【答案】AD【解析】如圖,,,,平面,所以平面,又平面,所以,A正確,因?yàn)?,,所以為二面角的平面角,故,,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,因?yàn)槠矫?,平面,所以,又,平面,所以平面,所以為點(diǎn)到平面的距離,在中,,,,所以,又,所以點(diǎn)到平面的距離的最大值為,B錯(cuò)誤;連接,為的中點(diǎn),因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,平面,平面,所以平面,又平面,,平面,所以平面平面,平面平面,平面平面,所以,記的中點(diǎn)為,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,故點(diǎn)的軌跡為線段,,C錯(cuò)誤;過(guò)點(diǎn)作,垂足為,因?yàn)槠矫?,平面,所以,又,平面,所以平面,所以為與平面所成角的平面角,因?yàn)槠矫?,平面,所以,因?yàn)?,,平面,所以平面,又平面,所以,因?yàn)?,所以,在中,,,,所以,所以,在中,,,,所以,在中,,所以,所以與平面所成角的正切值為,設(shè),其中,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,故與平面所成角的正切值的取值范圍為.故選:AD.13.(多選題)(2022·江蘇省泰興中學(xué)高三階段練習(xí))棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)部有一圓柱,此圓柱恰好以直線為軸,且圓柱上下底面分別與正方體中以為公共點(diǎn)的3個(gè)面都有一個(gè)公共點(diǎn),以下命題正確的是(

)A.在正方體內(nèi)作與圓柱底面平行的截面,則截面的最大面積為B.無(wú)論點(diǎn)在線段上如何移動(dòng),都有C.圓柱的母線與正方體所有的棱所成的角都相等D.圓柱外接球體積的最小值為【答案】BCD【解析】如圖所示:設(shè)分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn),易知共面,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,因?yàn)椋?,因?yàn)槠矫?,平面,所以,因?yàn)?,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以,同理可得,因?yàn)槠矫?,所以平面,所以平面為其中一個(gè)截面,其面積為,A錯(cuò)誤;B:因?yàn)槠矫妫矫?,所以平面平面又平面正確;C:易知圓柱的母線與平行,易得與所成的夾角相等,故與其每條側(cè)棱間的夾角都相等,C正確;D:設(shè)圓柱底面半徑為,則圓柱的底面必與過(guò)點(diǎn)的三個(gè)面相切,且切點(diǎn)分別在線段上,設(shè)在上的切點(diǎn)為,為圓柱的一條高,在中,,所以在中,,根據(jù)對(duì)稱性知:,則圓柱的高為,所以外接球的半徑,當(dāng)時(shí),外接球體積的最小值為,D正確故選:BCD14.(多選題)(2022·江蘇鹽城·高三階段練習(xí))已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為,其外接球的球心為O.點(diǎn)E滿足,,過(guò)點(diǎn)E作平面平行于AC和BD,平面分別與該正四面體的棱BC,CD,AD相交于點(diǎn)M,G,H,則(

)A.四邊形EMGH的周長(zhǎng)為是變化的B.四棱錐的體積的最大值為C.當(dāng)時(shí),平面截球O所得截面的周長(zhǎng)為D.當(dāng)時(shí),將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)后與原四面體的公共部分體積為【答案】BD【解析】對(duì)于邊長(zhǎng)為2的正方體,則ABCD為棱長(zhǎng)為的正四面體,則球心O即為正方體的中心,連接,設(shè)∵,,則為平行四邊形∴,又∵平面,平面,∴平面,又∵平面,,平

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