八年級(jí)三角形的證明串講課件

第一章三角形的證明

八年級(jí)（下冊(cè)）

學(xué)習(xí)幾何基本規(guī)律點(diǎn)→線（兩點(diǎn)定線）→角（兩線）→（面）圖→體一個(gè)圖（三角形、四邊形---）形的定義，性質(zhì)，判定兩個(gè)圖形之間的關(guān)系：全等、相似、對(duì)稱、位似----圖形變換全等變換相似變換（形狀不變大小變）如：位似變換。對(duì)稱旋轉(zhuǎn)平移翻折形狀大小都不變兩次翻折=一次平移截長補(bǔ)段證明線段的和倍分問題第一單元：等腰三角形全等三角形●等腰三角形性質(zhì)全等三角形判定：SSS；SAS；AAS；ASA。直角三角形全等：SS（含HL）或者AS。全等三角形性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊、角等元素均相等。全等三角形的類型：平移型-對(duì)稱型-旋轉(zhuǎn)型。全等的兩不能：AAA；SSA不能判斷全等。等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)定理：兩底角相等（等邊對(duì)等角）。其他性質(zhì)：三個(gè)角知一求二；三個(gè)角一六皆六；底角只能是銳角，頂角可銳、可直、可鈍；等腰直角三角形的兩個(gè)底角都是45度。等腰三角形性質(zhì)定理的證明。做輔助線：對(duì)稱軸。

⑴平移全等型

⑵對(duì)稱全等型

⑶旋轉(zhuǎn)全等型

全等三角形的三類九種基本類型（4）翻折全等型【例1】證明：等腰三角形的兩底角相等。（略）已知：D，E是等腰三角形ABC底邊BC上的兩點(diǎn)，且DE=CE，求證：∠ADE=∠AEDABCDE性質(zhì)定理的推論及等邊三角形的性質(zhì)推論：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的高，底邊上的中線相互重合（“三線合一”）。三線都是“一線”——對(duì)稱軸。應(yīng)用：證明角相等，線段相等或者垂直。定理：等邊三角形三個(gè)角都相等，都等于。圖形語言——符號(hào)語言——文字語言。定理的證明。【例2】證明等邊三角形的性質(zhì)定理（略）如圖1，ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，求證：BE=CE如圖2，若BE的延長線交AC于F點(diǎn)，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題其它條件不變，求證：△AEF≌△BCFABCDEABCEF圖1圖2等腰三角形的判斷定理判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱：等角對(duì)等邊）——會(huì)證明。定理應(yīng)用：證明一個(gè)三角形中兩邊相等。證明兩條線段的長相等放到同一三角形中證明角相等。放到可能全等的兩個(gè)三角形中證明全等。其它途徑?！纠?】證明判定定理。已知：銳角三角形ABC兩條高BD、CE相交于O點(diǎn)，且OB=OC求證：△ABC是等腰三角形。O點(diǎn)是否在∠BAC的角平分線上，說明理由。ABCDEOF等邊三角形的判定定理及“3-6-9”三角形定理1：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。（等腰+60°）定理2：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。定理3：直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。定理三的應(yīng)用：證明線段的倍、分、比關(guān)系?！纠?】三個(gè)定理的證明?！鰽BC是等邊三角形，AE=CD，AD與BE相交與P點(diǎn)，BQ⊥AD于Q點(diǎn)，求證：BP=2PQABCDEQ學(xué)會(huì)倒著想——逆向思維【提升訓(xùn)練】10、如圖，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，⊿ACM，⊿CBN是等邊三角形，AN，CM交于點(diǎn)E，CN，BM交于點(diǎn)F。（1）求證：AN=BM（2）求證：⊿CEF是等邊三角形MFABNEC反證法定義：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法稱為反證法。反證法——常用的間接證明法。步驟：假設(shè)命題的結(jié)論不成立。從假設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出矛盾。否定假設(shè)，從而肯定命題的結(jié)論?！纠?】用反證法證明等腰三角形的底角是銳角。求證：一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么它們所對(duì)的邊也不相等。證明：三角形中至少有一個(gè)角不小于60°。等腰三角形中的多解問題——分類討論【例6】等腰三角形的兩邊長分別是4和5，這個(gè)三角形的周長是（）等腰三角形的兩邊長分別是4和8，這個(gè)三角形的周長是（）等腰三角形一腰上的中線把該三角形的周長分為12和15兩部分，求該三角形各邊的長。（8、8、11；10、10、7）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°則等腰三角形的頂角為（）°【提升訓(xùn)練】在Rt△ABC中，∠ACB=90°點(diǎn)D、E在AB上，AD=AC，BE=BC，當(dāng)∠A分別為30°、40°時(shí)，求∠DCE的度數(shù)。從①中你發(fā)現(xiàn)了什么？證明你的發(fā)現(xiàn)。發(fā)現(xiàn)∠DCE=45°，且與∠A的度數(shù)無關(guān)！CBADE第二單元：直角三角形勾股定理及其證明勾股定理：直角三角形兩條直角邊平方的和等于斜邊的平方。即：a2+b2=c2（c為斜邊）應(yīng)用：知二邊求一邊；知一邊求另兩邊關(guān)系；用來證明有關(guān)平方的問題；數(shù)軸上做出帶二次根號(hào)如√3的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。勾股定理的其它形式：直角三角形性質(zhì)：兩銳角互余；三邊勾股定理；3、6、9三角形；45-9三角形；以后學(xué)習(xí)其它性質(zhì)。方程思想和數(shù)形結(jié)合思想與勾股定理的綜合應(yīng)用?！纠?】勾股定理的證明。如圖，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°∠ADC=60°，BD=10，求AC的長。三垂直全等形用面積法證明ABCD答案：5√3【提升訓(xùn)練】△ABC中，∠A=60°，AB=9AC=14.4，求BC的長。CBA提示：過C點(diǎn)作AB的垂線。勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。直角三角形的判定：從角出發(fā)：兩銳角和為90°三角形為直角三角形；從邊出發(fā)：勾股定理的逆定理。勾股數(shù)的概念及常見的勾股數(shù)。3、4、5；6、8、10；12、13、5等?！纠?】證明勾股定理的逆定理。在△DEF中，DE=17，EF=30，EF邊上的中線DG=8，求證：△DEF是等腰三角形。DEFG直角三角形全等的判定HL：斜邊和一條直角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。SS；兩邊（直直或直斜）對(duì)應(yīng)相等的三角形全等。AS：一個(gè)銳角和任意一條對(duì)應(yīng)邊相等的三角形全等?！纠?】直角三角形全等判定定理HL的證明。△ABC中，AB=AC，DE是過A點(diǎn)的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，若B、C在D、E的同側(cè)，且AD=CE，求證；AB⊥AC。若B、C在D、E的兩側(cè)，其它條件不變，求證；AB和AC垂直嗎？證明你的判斷。AABCBCDEDE互逆命題與互逆定理逆命題：兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題結(jié)論和條件，那么，這兩個(gè)命題稱為互逆命題。其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題。逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理。每個(gè)命題都有逆命題，但不是所有定理都有逆定理。即：原命題真，逆命題不一定真。【例4】命題“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”的逆命題是（），這個(gè)逆命題是（）命題。（填“真”或“假”）◎會(huì)判斷（證明）命的真假！◎已知一個(gè)命題或定理，能寫出其逆命題，并判斷其真假·【典例1】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，判斷△ACD的形狀并說明理由。ABCD提示：連AC【典例2】△ABC中，∠ACB=90°，AB=50BC=30，CD⊥AB于點(diǎn)D，求CD長ABCD【典例3】把長方形ABCD沿對(duì)角線BD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，BF與BD相交于E點(diǎn)，若AB=12，BC=16，求AE的長；求重合部分△BED的面積；ABCDFE提示：先求AE=3.5---求DE---所求面積=DE乘AB的一半(75)?！镜淅?】△ABC中，∠ACB=90°AC=BCP是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，CD=CP=2，CD⊥CP于C，求∠BPC度數(shù)ABCDP證三角形APC與三角BCD全等---所以PA=DB=3---直角三角形DPB---135第三單元：線段的垂直平分線ABCD線段垂直平分線的性質(zhì)定理：定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等。線段的垂直平分線又叫線段的中垂線。線段的中垂線：可以看作到線段兩段距離相等的點(diǎn)的集合。中垂線是直線不是線段。線段是軸對(duì)稱圖形，中垂線其實(shí)就是線段的對(duì)稱軸。應(yīng)用：證明兩條線段相等?！纠?】性質(zhì)定理的證明?！鰽BC中，AB+AC=6，BC的垂直平分線l與AC相交與D點(diǎn)，求△ABD的周長。ClAB線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理逆定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。證明一線是一線段的中垂線垂直+平分=垂直平分（中垂線）證明兩點(diǎn)在中垂線上→過這兩點(diǎn)的直線是中垂線。中垂線不僅可以證明線段相等，還可以間接證明角相等【例2】性質(zhì)定理的逆定理的證明?！鰽BC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于D點(diǎn)，交BC與E點(diǎn)，已知∠BAE=30°，求證：EC=2BEABCDE三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)定理定理：三角形三條垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（三角形外心）交點(diǎn)的位置：銳角三角形內(nèi)；直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外部。注意三邊垂直平分線與三條高等的區(qū)別?！纠?】性質(zhì)定理的證明。已知；A、B、C三個(gè)居民區(qū)的位置圍成一個(gè)三角形，現(xiàn)要在三個(gè)居民區(qū)之間建一個(gè)超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，超市的位置怎么選。ABC作已知線段的垂直平分線尺規(guī)做圖：是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。線段垂直平分線的作法：分別一線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，一大于線段長度二分之一長為半徑畫弧，兩弧在線段兩側(cè)相交于兩點(diǎn)。過兩點(diǎn)作直線，此直線即為所求的垂直平分線。作法的證明。

【例4】證明線段垂直平分線的作法。已知線段AB，作出線段AB的垂直平分線。（保留痕跡不寫作法）在作出的垂直平分線上取一點(diǎn)任意取兩點(diǎn)M、N，（在AB的上方），連接AM、AN、BM、MN，求證：∠MAN=∠MBNAB【典例1】——識(shí)記72-36三角形的特征：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，垂直為D，連接EC，求∠ECD的度數(shù)。若CE=5，求BC的長。72°5ABCDE【典例2】△ABC中BA=BC∠ABC=120°AB的垂直平分線交AC于D，求證：DC=2ADBACD【典例3】△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成的銳角為50°，則∠A的大小為（）°分類討論：答案：20或70【典例4】△ABC中，∠C=90°∠CAB的平分線AD交BC于點(diǎn)D，若DE垂直平分AB

求∠B的度數(shù)。BACDE30BB【典例5】要在直路MN旁修建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，分別向A、B兩個(gè)開發(fā)區(qū)運(yùn)貨。若要中轉(zhuǎn)站距離兩個(gè)開發(fā)區(qū)距離相等，貨物中轉(zhuǎn)站應(yīng)修建在何處？若要求貨物中轉(zhuǎn)站與兩個(gè)開發(fā)區(qū)距離的和最小，則貨物中轉(zhuǎn)站應(yīng)修建在何處？MNA.B.【典例5】直角梯形ABCD中，∠ABC=90°AD∥BC，AB=BC，E是AB的中點(diǎn)，AC與ED相交于M點(diǎn)，求證：BE=AD求證：AC是線段ED的垂直平分線△DBC是等腰三角形嗎？說明理由。ABCDEM第四單元：角平分線角平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。（距離：垂線段的長）應(yīng)用：證明線段相等的依據(jù)之一。定理的條件簡記為”一分二垂“。這也是符號(hào)語言中必須滿足的條件。符號(hào)語言：∵∠POA=∠POBPA⊥OAPB⊥OB∴PA=PBABOP【例1】證明性質(zhì)定理△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，

DE⊥AB于E，AC=6，BC=8，CD=3，求DE的長?！鰽DB的面積。ACBED角平分線性質(zhì)定理的逆定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。應(yīng)用：通過線段相等證明角相等而省略了證明全等的步驟。垂線段相等證明角相等。符號(hào)語言∵PA⊥OA于A，

PB⊥OB于B，

PA=PB∴∠POA=∠POBABOP【例2】證明逆定理如圖，∠C=∠D=90°，BE平分∠ABC，且

E為DC的中點(diǎn)，求證：AE平分∠BADABCDE用尺規(guī)作角的平分線尺規(guī)做圖滿分解答的兩要素：作圖痕跡；結(jié)論。（初中不要求寫作法和證明）作法示例：作∠AOB的平分線在OA、OB上截取OD=OE分別以D、E為圓心，以大于

1/2DE長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C。作射線OC，OC即為所求。

ABODEC已知:∠AOB,如圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.用尺規(guī)作角的平分線.作法:1.在OA和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.2.分別以點(diǎn)D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.3.作射線OC.

則射線OC就是∠AOB的平分線.ABOCDE

你能說明射線OC為什么是∠AOB的平分線嗎？【例3】國道OA和國道OB在某市相交于O處，在∠AOB的，內(nèi)部有工廠C和D，現(xiàn)要在∠AOB內(nèi)部修建一個(gè)貨站P，使P到兩國道OA、OB的距離相等，且P到C和

D的距離也相等，請(qǐng)作出P的位置。OBADC三角形角平分線的性質(zhì)定理三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。（也叫內(nèi)心）三角形角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部。了解內(nèi)心與外心的區(qū)別?！纠?】性質(zhì)定理的證明。已知點(diǎn)P為△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若∠A=50°，求∠BAC的度數(shù)?？偨Y(jié)為一個(gè)公式或定理PABC全章總結(jié)截長補(bǔ)段證明線段的和倍分問題【典例1】——數(shù)形結(jié)合的思想平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)有原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，√3），M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且使得△OAM為等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（）個(gè)。

6橫軸上2個(gè)；縱軸上4個(gè)！【典例2】——分類討論的思想等腰三角形兩角之差為30°,求該三角形各內(nèi)角的度數(shù).答：50、50、80；70、70、40【典例3】——轉(zhuǎn)化的思想△ABC是等邊三角形，延長BC至E，延長BA至F，使AF=BE，連接CF、EF，過點(diǎn)F作FD⊥CE于D，試判斷∠FCE與∠FEC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。ABCFED輔助突破——延長BE到G，使EG=BC，得到等邊三角形BFG。證△BCF≌△GEF【典例4】——方程的思想（方程+折疊）一張矩形紙片ABCD