有限元(梁系)2014版

拉壓桿問題的回顧

1、桿的基本概念：桿--軸線為直線的細(xì)長構(gòu)件，沿軸線承受拉（壓）載荷；桿模型--平面假設(shè)將桿簡化為一維問題，可由桿軸線代表；桿變形特點(diǎn)--只與軸向位移相關(guān)；拉壓桿問題的回顧2、桿有限元的基本概念

節(jié)點(diǎn)位移—軸向位移，每節(jié)點(diǎn)1個自由度；節(jié)點(diǎn)力—軸力；

結(jié)構(gòu)離散：軸線劃分為若干直線段；單元分析：建立節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系；節(jié)點(diǎn)平衡：對每一節(jié)點(diǎn)，建立相關(guān)節(jié)點(diǎn)力與外力的平衡關(guān)系，得到一線性方程組；約束處理：引入已知節(jié)點(diǎn)位移，使方程組可解第三章梁系結(jié)構(gòu)的有限元法梁的基本概念

梁--承受彎曲變形的桿形構(gòu)件；梁模型--平面假設(shè)將梁簡化成一維問題，可由截面上兩中性軸交點(diǎn)的連線（梁軸線）代表；梁的變形特點(diǎn)—既與撓度關(guān)聯(lián)，也與彎角關(guān)聯(lián)；（分別展示四種基本情況）；撓度與彎角的關(guān)聯(lián)性：彎角為撓度沿軸線方向的一階導(dǎo)數(shù)（斜率，小變形）。梁單元的基本概念節(jié)點(diǎn)位移--平面梁：撓度和彎角，2自由度；廣義平面梁：增加1個軸向位移（拉壓），3自由度；空間梁：兩向撓度和兩向轉(zhuǎn)角，4自由度；廣義空間梁（略）；節(jié)點(diǎn)力—按做功方式與節(jié)點(diǎn)位移一一對應(yīng)，如：撓度對應(yīng)剪力，彎角對應(yīng)彎矩，等等。梁結(jié)構(gòu)有限元法的基本步驟結(jié)構(gòu)離散--梁結(jié)構(gòu)離散為若干個單元，之間以節(jié)點(diǎn)相連，節(jié)點(diǎn)為相鄰單元共有（連續(xù)性）；單元分析--建立單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系；包括：單元位移插值、應(yīng)變與應(yīng)力分析，節(jié)點(diǎn)力合成；節(jié)點(diǎn)平衡--對于每一節(jié)點(diǎn)，建立所有相關(guān)的節(jié)點(diǎn)力與外力的平衡關(guān)系；得到一線性方程組；約束處理—引入已知節(jié)點(diǎn)位移（約束條件），使上述方程組成為可解方程組；求解節(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)一步可計(jì)算單元應(yīng)變和應(yīng)力以及約束節(jié)點(diǎn)力。梁單元分析一、平面梁單元的位移函數(shù)

1.梁單元的局部坐標(biāo)系l(e)ij

設(shè)單元的位移函數(shù)為：有：其中為待定系數(shù)確定待定系數(shù)：l(e)ij把待定系數(shù)代入位移插值函數(shù)，有：容易驗(yàn)證：(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)稱為平面梁單元的位移插值函數(shù)二、建立節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力關(guān)系1、軸向節(jié)點(diǎn)力

在局部坐標(biāo)中：2、彎矩節(jié)點(diǎn)力由梁截面正應(yīng)力合成（簡明推導(dǎo)）可得：對節(jié)點(diǎn)i(X=0)有：

對節(jié)點(diǎn)j(X=L)有：3、剪切節(jié)點(diǎn)力

由梁微元的平衡關(guān)系（簡明推導(dǎo)）有：在節(jié)點(diǎn)i和j分別有：

三、梁單元的單元剛度矩陣

1、單元剛度矩陣

用矩陣形式把式（3-3a）-（3-3f）寫在一起有：

（3-4）（3－4）式是用矩陣表示的梁節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系

式（3-4）還可寫成：

（3-5）——稱為局部坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)力列向量

——稱為局部坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)位移列向量

——稱為梁單元的單元剛度矩陣

2、單元剛度矩陣的性質(zhì)（2）單剛對稱

（3）單剛為奇異矩陣，其逆不存在

（1）單剛主元素>0

為奇異矩陣的物理解釋

位移約束引入的必要性梁系結(jié)構(gòu)實(shí)例1、直梁

（一）概要

1、單元劃分；

2、約束條件（固支、簡支）；3、載荷處理（集中力、分布力）。

（二）算例

一端固支一端簡支梁，簡支端受已知彎矩作用（一個單元）。梁系結(jié)構(gòu)實(shí)例2、平面梁系

1、節(jié)點(diǎn)力平衡的需求--單元節(jié)點(diǎn)力（在局部坐標(biāo)系中）向整