武漢理工大學(xué)《自動(dòng)控制原理》考研出題老師課件

1引言第八章非線性控制系統(tǒng)分析非線性：指元件或環(huán)節(jié)的靜特性不是按線性規(guī)律變化。非線性系統(tǒng)：如果一個(gè)控制系統(tǒng)，包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性靜特性的元件或環(huán)節(jié)，則稱這類系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，其特性不能用線性微分方程來描述。一．控制系統(tǒng)中的典型非線性特性一些是組成控制系統(tǒng)的元件所固有的，如飽和特性，死區(qū)特性和滯環(huán)特性等，這些特性一般來說對(duì)控制系統(tǒng)的性能是不利的；另一些特性則是為了改善系統(tǒng)的性能而人為加入的，如繼電器特性，變?cè)鲆嫣匦裕诳刂葡到y(tǒng)中加入這類特性，一般來說能使系統(tǒng)具有比線性系統(tǒng)更為優(yōu)良的動(dòng)態(tài)特性。非線性系統(tǒng)分析1飽和特性（2）死區(qū)特性2危害：使系統(tǒng)輸出信號(hào)在相位上產(chǎn)生滯后，從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。（3）間隙非線性3功能：改善系統(tǒng)性能的切換元件（4）繼電器特性4二．非線性控制系統(tǒng)的特性（1）對(duì)于線性系統(tǒng)，它的根本標(biāo)志就在于能使用疊加原理。目前，還沒有像求解線性微分方程那樣求解非線性微分方程的通用方法。對(duì)非線性系統(tǒng)，一般并不需要求解其輸出響應(yīng)過程。通常是把討論問題的重點(diǎn)放在系統(tǒng)是否穩(wěn)定，系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩，計(jì)算自持振蕩的振幅和頻率，消除自持振蕩等有關(guān)穩(wěn)定性的分析上。（2）在線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性除和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)有關(guān)外，還和初始條件有關(guān)。在不同的初始條件下，運(yùn)動(dòng)的最終狀態(tài)可能完全不同。如有的系統(tǒng)初始值處于較小區(qū)域內(nèi)時(shí)是穩(wěn)定的，而當(dāng)初始值處于較大區(qū)域內(nèi)時(shí)則變?yōu)椴环€(wěn)定。反之，也可能初始值大時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，而初始值小時(shí)不穩(wěn)定。5（3）在非線性系統(tǒng)中，除了從平衡狀態(tài)發(fā)散或收斂于平衡狀態(tài)兩種運(yùn)動(dòng)形式外，往往即使無外作用存在，系統(tǒng)也可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定的等幅振蕩。自持振蕩：無外作用時(shí)非線性系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的穩(wěn)定的等幅振蕩稱為自持振蕩，簡稱自振蕩。改變非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，可以改變自持振蕩的振幅和頻率，或消除自持振蕩。對(duì)線性系統(tǒng)，圍繞其平衡狀態(tài)只有發(fā)散和收斂兩種運(yùn)動(dòng)形式，不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩。6（4）在線性系統(tǒng)中，輸入為正弦函數(shù)時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，輸入和穩(wěn)態(tài)輸出之間僅在振幅和相位上有所不同。而非線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量在一般情況下并不具有與輸入相同的函數(shù)形式。三．非線性系統(tǒng)的研究方法現(xiàn)在尚無一般的通用方法來分析和設(shè)計(jì)非線性控制系統(tǒng)。對(duì)非本質(zhì)非線性系統(tǒng)基于小偏差線性化概念來處理對(duì)本質(zhì)非線性系統(tǒng)二階系統(tǒng)：相平面法高階系統(tǒng)：描述函數(shù)法72.相平面法相平面法是一種通過圖解法求解二階非線性系統(tǒng)的準(zhǔn)確方法。一．基本概念8二．線性系統(tǒng)的相軌跡9奇點(diǎn)：相軌跡的斜率不能由該點(diǎn)的坐標(biāo)值單值地確定的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。1011（6）12三.相軌跡的繪制13b.直接積分法（2）圖解法a.等傾線法等傾線：在相平面內(nèi)對(duì)應(yīng)相軌跡上具有等斜率點(diǎn)的連線14151617五．非線性系統(tǒng)的相平面分析1．基本概念實(shí)奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域內(nèi)虛奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域外極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。極限環(huán)內(nèi)部（或外部）的相軌跡，總是不可能穿過極限環(huán)而進(jìn)入它的外部（或內(nèi)部）。（1）穩(wěn)定極限環(huán)在極限環(huán)附近，起始于極限環(huán)外部或內(nèi)部的相軌跡均收斂于該極限環(huán)。這時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為等幅持續(xù)振蕩。18（2）不穩(wěn)定極限環(huán)在極限環(huán)附近的相軌跡是從極限環(huán)發(fā)散出去。在這種情況下，如果相軌跡起始于極限環(huán)內(nèi)，則該相軌跡收斂于極限環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)，如果相軌跡起始于極限環(huán)外，則該相軌跡發(fā)散至無窮遠(yuǎn)。（3）半穩(wěn)定極限環(huán)如果起始于極限環(huán)外部的相軌跡，從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡，收斂于極限環(huán);或者相反，起始于極限環(huán)外部各點(diǎn)的相軌跡收斂于極限環(huán)，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡收斂于圓點(diǎn)。19一般非線性系統(tǒng)可用分段線性微分方程來描述。在相平面的不同區(qū)域內(nèi)，代表該非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微分方程是線性的，因而每個(gè)區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是線性系統(tǒng)的相軌跡，僅在不同區(qū)域的邊界上相軌跡要發(fā)生轉(zhuǎn)換。區(qū)域的邊界線稱為開關(guān)線或轉(zhuǎn)20換線。因此，一般非線性系統(tǒng)相軌跡實(shí)際上就是分段線性系統(tǒng)相軌跡，我們只需做好相軌跡在開關(guān)線上的銜接工作。用相平面法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟：（1）將非線性特性用分段的線性特性來表示，寫出相應(yīng)線段的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（2）首先在相平面上選擇合適的坐標(biāo)，一般常用誤差及其導(dǎo)數(shù)分別為橫縱坐標(biāo)。然后將相平面根據(jù)非線性特性分成若干區(qū)域，使非線性特性在每個(gè)區(qū)域內(nèi)都呈線性特性。（3）確定每個(gè)區(qū)域的奇點(diǎn)類別和在相平面上的位置。（4）在各個(gè)區(qū)域內(nèi)分別畫出各自的相軌跡。（5）將相鄰區(qū)域的相軌跡，根據(jù)在相鄰兩區(qū)分界線上的點(diǎn)對(duì)于相鄰兩區(qū)具有相同工作狀態(tài)的原則連接起來，便得到整個(gè)非線性系統(tǒng)的相軌跡。（6）基于該相軌跡，全面分析二階非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性例2.非線性系統(tǒng)方框圖如圖所示，試取其系統(tǒng)在輸入信號(hào)2122（1）

)(1)(tRtr×=三個(gè)區(qū)的微分部分分別為I

0=+eeT&&&

oee<II

0)(=-++o&&&eeKeeT

oee+>III

0)(=--+o&&&eeKeeT

oee-<在I區(qū)

=-=Tdeed1&常量

說明相軌跡是斜率為T1-的直線在II區(qū)

eeeKedeed&&&o)(-+-=奇點(diǎn)為

o&eee==,0

奇點(diǎn)正好位于I，II區(qū)分界線上令

a=deed&則有等傾線方程

a+--=1)(o&eeKe即

a+-1K的直線方程過)0,(oe點(diǎn)2324例32526非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)可由下圖所示.描述函數(shù)法的基本思想是用某一數(shù)學(xué)方法,將非線性系統(tǒng)諧波線性化后,引用分析線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)法.為此,非線性系統(tǒng)本身必須滿足以下條件:

(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)是幅值為A的正弦信號(hào),不包含恒定直流分量;(3)非線性環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)一般情況下是非正弦信號(hào),從付里葉級(jí)數(shù)角度看,它是直流分量,一次諧波即基波分量及高次諧波分量的疊加.如線性8-4.描述函數(shù)法(1)非線性環(huán)節(jié)N的特性不是時(shí)間的函數(shù),即是非時(shí)變的;27部分具有良好的低通慮波特性,能將中的高次諧波分量有效地慮掉,則可近似認(rèn)為只有中的一次諧波分量沿閉環(huán)通道傳送;(4)要求沿閉環(huán)通道傳送的信號(hào)不能有的直流分量,因此非線性環(huán)節(jié)的特性必須斜對(duì)稱,即滿足如下關(guān)系式:,則的直流分量

2.描述函數(shù)的定義非線性環(huán)節(jié)輸出信號(hào)一次諧波分量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù),即:式(21)中:為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù);是非線性環(huán)節(jié)正弦輸入信號(hào)的幅值;為非線性環(huán)節(jié)輸出信號(hào)一次諧波分量的幅值;輸出一次諧波分量和輸入正弦信號(hào)的初相位之差.28描述函數(shù)的一般計(jì)算公式如下:設(shè)非線性環(huán)節(jié)輸入正弦信號(hào),非線性環(huán)節(jié)的非正弦輸出信號(hào)經(jīng)付里葉級(jí)數(shù)展開后可表為:根據(jù)上述條件(4)有:根據(jù)上述條件(3)有:上式中:因此,左式中:,從而描述函數(shù)式(21)表為29采用描述函數(shù)法研究非線性系統(tǒng),其優(yōu)點(diǎn)是不管非線性系統(tǒng)的線性部分是幾階的,它均能被采用.

但用它研究問題的范圍僅限于分析和校正非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,穩(wěn)定性的性質(zhì),如自激振蕩的穩(wěn)定性和振蕩參數(shù).不能研究非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能,且非線性系統(tǒng)無外加輸入信號(hào),線性部分要具有良好的低通慮波特性,以滿足分析的精度要求.30飽和特性數(shù)學(xué)表達(dá)式為由于y(t)為單值對(duì)稱函數(shù)，故有

0,001==AA二．典型非線性特性的描述函數(shù)（1）飽和特性的描述函數(shù)31由于為奇函數(shù),則為偶函數(shù),所以32（2）死區(qū)特性描述函數(shù)3334（4）繼電特性描述函數(shù)353637(6)典型非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的描述函數(shù)例1求取非線性環(huán)節(jié)的等效形式38例239三.非線性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析(1)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析40Nyquist圖上分析諧波線性化系統(tǒng)穩(wěn)的準(zhǔn)則是（