彩票方案的優(yōu)化

彩票的科學(xué)分析作者:梁彤彤指導(dǎo)老師:周韶林摘要:本文首先將介紹彩票中的排列組合,隨機(jī)分布,中獎(jiǎng)概率,然后用相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論來客觀地分析彩票.最后給出一些彩票的方案,通過建立模型對(duì)給出的方案進(jìn)行優(yōu)劣排序和方案優(yōu)化.關(guān)鍵詞:排列組合;隨機(jī)分布;中獎(jiǎng)概率;優(yōu)劣排序;方案優(yōu)化ScientificanalysisoflotteryAuthor:LiangTongtongInstructor:ZhouShaolinAbstract:thesepapersfirstdescribesthelotterypermutationsandcombinations,randomdistribution,theprobabilityofwinning,andthenusetheappropriatemathematicaltheorytoanalyzeobjectivelyFinally,someofthelotterylotteryprogram,throughtheestablishmentofmodelprogramsweregiventhemeritsofthesort.andprogramoptimization.Keywords:permutationsandcombinations;randomdistribution;winningprobability;meritsofthesort;Optimization引言近年來,我國(guó)的彩票市場(chǎng)蓬勃發(fā)展,運(yùn)營(yíng)機(jī)制日趨成熟,彩票作為一種建立在機(jī)會(huì)均等基礎(chǔ)上的娛樂游戲,愈來愈得到廣大市民的支持與參與,逐漸成為市民生活的一部分.目前在全國(guó)內(nèi)地31個(gè)省都有彩票發(fā)行,可以說彩票遍布中華大地,涉及全國(guó)千家萬(wàn)戶,相關(guān)的信息也是全國(guó)各地方媒體如電視,電臺(tái),報(bào)紙和網(wǎng)站關(guān)注的熱點(diǎn)新聞之一,從國(guó)家到到地方都有專門的管理機(jī)構(gòu)和專職人員,各地方也都有了專門的網(wǎng)站和報(bào)紙.作為一種物質(zhì)利益與社會(huì)公益相結(jié)合的資金籌搭形式,彩票緩解了政府的財(cái)政壓力,成為資助體育,福利等社會(huì)公益事業(yè)發(fā)展的重要途徑,并隨著社會(huì)的發(fā)展而發(fā)展.時(shí)至今日,彩票已成為世界第六大產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計(jì)2012年中國(guó)福利彩票發(fā)行銷售再創(chuàng)歷史新高,年銷量達(dá)到1510.32億元,為國(guó)家籌集公益金數(shù)量達(dá)到464億多元.隨著福利彩票發(fā)行規(guī)模的擴(kuò)大,為國(guó)家籌集公益金的數(shù)量也同步增長(zhǎng).在國(guó)際上許多國(guó)家和地區(qū)也都有相應(yīng)的彩票發(fā)行.對(duì)有些人來說,博彩已成為生活的一部分,影響之大不言而喻.概率統(tǒng)計(jì)作為一門研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科,它廣泛應(yīng)用于自然科學(xué),技術(shù)科學(xué),社會(huì)科學(xué)和人文科學(xué)的各個(gè)方面,為了更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)結(jié)果,就要依靠一定得數(shù)據(jù)積累分析,然后算出其出現(xiàn)某種結(jié)果的可能性.而概率分析就是一些復(fù)雜的計(jì)算,將一些出現(xiàn)概率較小的數(shù)字組合刪除,從而提高中獎(jiǎng)機(jī)會(huì).理論上,一個(gè)彩民購(gòu)買彩票的特等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)率,可以用公式來計(jì)算.我們認(rèn)為時(shí)尚沒有無規(guī)律的事情,即使對(duì)于彩票而言,雖然規(guī)律性不是很強(qiáng),但并不是沒有規(guī)律可循.只要經(jīng)過大量的觀察,根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí),就能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè),提高中獎(jiǎng)的幾率.比如,通過分析0-9這10個(gè)數(shù)字當(dāng)中有90%的概率出現(xiàn)0、2、4這三個(gè)數(shù)字,那么你買0、2、4猜對(duì)的機(jī)會(huì)是你買全10個(gè)號(hào)碼的90%,即花了的錢,就可以得到的收獲.如今彩票論壇林立,研究方法繁多.到底什么樣的方法是科學(xué)的,可靠的？隨著彩票研究的進(jìn)步,玄機(jī)這種偽科學(xué)將逐漸退出研究舞臺(tái),單雙,生肖,波色,尾數(shù)的數(shù)理預(yù)測(cè)成了研究的熱門課題.但是也有些研究的方法既不科學(xué),也不系統(tǒng).通過長(zhǎng)期的跟蹤實(shí)踐,經(jīng)過血與火的洗禮,彩票研究的真諦,歸根結(jié)底就是數(shù)學(xué)問題與統(tǒng)計(jì)問題,真正值得信賴的是基于數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)之上的科學(xué)分析.彩票中的數(shù)學(xué)2.1彩票中的排列組合從純數(shù)學(xué)的角度看,每一個(gè)0-9的回置式抽樣選7的排列組合共有種,也就是說每次“10選6+1”搖號(hào)后所產(chǎn)生的結(jié)果有種可能,每個(gè)購(gòu)買當(dāng)期彩票的彩民的中特等獎(jiǎng)的概率都大于或等于.不少數(shù)學(xué)家認(rèn)為概率低于就可以定義為小概率事件,其出現(xiàn)幾率是可以忽略不計(jì)的,顯然“10選6+1”要中特等獎(jiǎng)是十分艱難的.然而同時(shí)從純數(shù)學(xué)角度看,任何一個(gè)小概率事件,當(dāng)它的極限n取無窮大時(shí),也可以是成為一個(gè)必然事件的.也就是說在同一條件下無限制地進(jìn)行這項(xiàng)隨機(jī)實(shí)驗(yàn),這個(gè)微小概率結(jié)果也將必然出現(xiàn),即它可能出現(xiàn)的概率p=1.的確不少彩民采取守號(hào)的原則,每期都買同一個(gè)號(hào),守株待兔.這種方法雖然有一定的道理,卻不盡科學(xué).試想一個(gè)有種排列組合結(jié)果的隨機(jī)事件,要使每一種結(jié)果都出現(xiàn)至少一遍,至少需要104166年.由此看來我們的概率分析在彩票中似乎是滄海一粟,這也是很多專家認(rèn)為彩票無分析無科學(xué)的王牌根據(jù).中特等獎(jiǎng)用概率分析目前確實(shí)不行,但不要忘記一點(diǎn),按照彩票的兌獎(jiǎng)規(guī)則,并不需要每位都才對(duì)才中獎(jiǎng),只要猜對(duì)2位或3位就能得獎(jiǎng),就能享受中獎(jiǎng)的喜悅..同樣的我們可以計(jì)算雙色球的所有可能結(jié)果,有種不同的排列,即若每月開13期,一年開156期,需要至少8189637年,這簡(jiǎn)直是不能完成的事件.有人曾經(jīng)企圖全面圍剿中獎(jiǎng)號(hào)碼,最后傾家蕩產(chǎn),這只能說明他們的概率知識(shí)太淺薄,要知道他的區(qū)區(qū)幾注,幾十注,幾百注甚至上千注彩票,只不過是龐大概率數(shù)字組合中的滄海一粟.排列組合不僅對(duì)中獎(jiǎng)的分析起了一定的作用,而且對(duì)彩票的中獎(jiǎng)規(guī)則也起了不可估量的作用.下面我們以傳統(tǒng)型和樂透型來具體說明.“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案:先從6組0-9號(hào)球中搖出6個(gè)基本號(hào)碼,每組搖出一個(gè),然后從0-4號(hào)球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼,構(gòu)成一注,根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少及順序確定中獎(jiǎng)等級(jí).如表一表一:“傳統(tǒng)型”彩票中獎(jiǎng)?wù)f明中獎(jiǎng)等級(jí)10選6+1（6+1/10）基本號(hào)碼特別號(hào)碼說明一等獎(jiǎng)abcdefg選7中（6+1）二等獎(jiǎng)abcdef選7中（6）三等獎(jiǎng)abcdeXXbcdef選7中（5）四等獎(jiǎng)abcdXXXbcdeXXXcdef選7中（4）五等獎(jiǎng)abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef選7中（3）六等獎(jiǎng)abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef選7中（2）“樂透型”有多種不同的形式,以“33選7”,“36選6+1”以及“雙色球”為例.“33選7”方案:先從1-33個(gè)號(hào)碼球中一個(gè)一個(gè)地?fù)u出7個(gè)基本號(hào)碼,再?gòu)氖Ｓ嗟?6個(gè)號(hào)碼球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼.投注者從1-33個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)組成一注（不可重復(fù)）,根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少確定中獎(jiǎng)等級(jí),不考慮號(hào)碼順序,如表二;又如“36選6+1”方案:先從1-36個(gè)號(hào)碼球中一個(gè)一個(gè)地?fù)u出6個(gè)基本號(hào)碼,再?gòu)氖Ｓ嗟?0個(gè)號(hào)碼球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼.投注者從1-36個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)組成一注（不可重復(fù)）,根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少確定中獎(jiǎng)等級(jí),不考慮號(hào)碼順序,如表三;“雙色球”每注投注由6個(gè)紅色球號(hào)碼和一個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼組成,紅色球號(hào)碼從1-33中選擇,藍(lán)色球號(hào)碼從1-16中選擇.具體情況如表四表二:“33選7”中獎(jiǎng)?wù)f明中獎(jiǎng)等級(jí)33選7（7/33）基本號(hào)碼特別號(hào)碼說明一等獎(jiǎng)●●●●●●●選7中（7）二等獎(jiǎng)●●●●●●○★選7中（6+1）三等獎(jiǎng)●●●●●●○選7中（6）四等獎(jiǎng)●●●●●○○★選7中（5+1）五等獎(jiǎng)●●●●●○○選7中（5）六等獎(jiǎng)●●●●○○○★選7中（4+1）七等獎(jiǎng)●●●●○○○選7中（4）表三:“36選6+1”中獎(jiǎng)?wù)f明中獎(jiǎng)等級(jí)36選6+1（6+1/36）基本號(hào)碼特別號(hào)碼說明一等獎(jiǎng)●●●●●●●★選7中（6+1）二等獎(jiǎng)●●●●●●●選7中（6）三等獎(jiǎng)●●●●●●○★選7中（5+1）四等獎(jiǎng)●●●●●●○選7中（5）五等獎(jiǎng)●●●●●○○★選7中（4+1）六等獎(jiǎng)●●●●●○○選7中（4）七等獎(jiǎng)●●●●○○○★選7中（4）

（備注:順序不限,其中●表示選中的基本號(hào)碼,○表示未選中的基本號(hào)碼,★表示選中的特別號(hào)碼）表四:“雙色球”中獎(jiǎng)?wù)f明中獎(jiǎng)等級(jí)36選6+1（6+1/36）基本號(hào)碼說明一等獎(jiǎng)●●●●●●★選7中（6個(gè)紅球+1個(gè)藍(lán)球）二等獎(jiǎng)●●●●●●○選7中（6個(gè)紅球）三等獎(jiǎng)●●●●●○★選7中（5個(gè)紅球+1個(gè)藍(lán)球）四等獎(jiǎng)●●●●●○○●●●●○○★選7中（5個(gè)紅球）選7中（4個(gè)紅球+1個(gè)藍(lán)球）五等獎(jiǎng)●●●●○○○●●●○○○★選7中（4個(gè)紅球）選7中（3個(gè)紅球+1個(gè)藍(lán)球）六等獎(jiǎng)●●○○○○★●○○○○○★○○○○○○★選7中（1個(gè)藍(lán)球）（備注:順序不限,其中●表示選中的紅色球,○表示未選中的紅色球,★表示選中的藍(lán)色球）2.2彩票中的概率在搖出中獎(jiǎng)號(hào)碼的過程中,中獎(jiǎng)號(hào)碼發(fā)生的事件,以及各種號(hào)碼出現(xiàn)的概率是相互獨(dú)立的,是等概率的,這是一個(gè)古典概型的問題.由古典概型得知,中獎(jiǎng)概率=該等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)號(hào)碼個(gè)數(shù)/所有可能的號(hào)碼個(gè)數(shù).下面以上面的幾種模式為例,來探討其單注彩票的中獎(jiǎng)概率.2.2.1“傳統(tǒng)型”彩票的中獎(jiǎng)概率傳統(tǒng)型彩票“10選6+1”特等獎(jiǎng)中一等獎(jiǎng)中二等獎(jiǎng)中三等獎(jiǎng)中四等獎(jiǎng)中五等獎(jiǎng)中中獎(jiǎng)率2.2.2“樂透型”彩票中獎(jiǎng)概率“33選7“中獎(jiǎng)概率一等獎(jiǎng)中二等獎(jiǎng)中三等獎(jiǎng)中四等獎(jiǎng)中五等獎(jiǎng)中六等獎(jiǎng)中七等獎(jiǎng)中中獎(jiǎng)率“36選6+1“中獎(jiǎng)概率一等獎(jiǎng)中二等獎(jiǎng)中三等獎(jiǎng)中四等獎(jiǎng)中五等獎(jiǎng)中六等獎(jiǎng)中七等獎(jiǎng)中中獎(jiǎng)率雙色球中獎(jiǎng)概率一等獎(jiǎng)中6紅+1藍(lán):二等獎(jiǎng)中6紅:三等獎(jiǎng)中5紅+1藍(lán):四等獎(jiǎng)中5紅/中4紅+1藍(lán):五等獎(jiǎng)中4紅/中3紅+1藍(lán):六等獎(jiǎng)中1藍(lán):中獎(jiǎng)率通過計(jì)算,以上幾種形式的彩票,每期開獎(jiǎng)中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)分別為,每一千個(gè)人中分別有46,26,16,67人能中獎(jiǎng).“雙色球”中獎(jiǎng)的概率最大,所以“雙色球”是當(dāng)前比較流行的一種“樂透型”福利彩票.“雙色球“中獎(jiǎng)概率高完全是由于藍(lán)球產(chǎn)生的,因?yàn)榱泉?jiǎng)只需中藍(lán)球,而它的概率高達(dá)5.887%,從而提高了”雙色球“整體的中獎(jiǎng)概率.但是“雙色球”一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于其他“樂透型”彩票中獎(jiǎng)率,其一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率為,是普通樂透型彩票“36選6+1”一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率的0.471,連一半都不到.總體來說,靠彩票發(fā)家是不可能的,彩民們要以良好的心態(tài)來購(gòu)買彩票,同時(shí)為國(guó)家的慈善機(jī)構(gòu)做貢獻(xiàn).2.3彩票中的隨機(jī)分布隨機(jī)變量是指在同一組條件下,如果每次實(shí)驗(yàn)可能出現(xiàn)這樣那樣的結(jié)果,并把所有的結(jié)果列舉出來,即把x的可能值都列舉出來;而且其可能值有確定額概率;則x叫隨機(jī)變量,P(x)叫隨機(jī)變量x的概率函數(shù).由于彩票每個(gè)位次上號(hào)碼的所有值都能列舉出來,因此我們可以將它看成是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量有許多種分布形態(tài),與彩票最有關(guān)聯(lián)的是均勻分布,二項(xiàng)分布和超幾何分布.2.3.1均勻分布均勻分布式每種結(jié)果都能列舉出來,而且每種結(jié)果出現(xiàn)的概率是相等的.均勻分布是彩票號(hào)碼分析中最重要的一個(gè)分布,它告訴我們這樣一個(gè)事實(shí):如果保證足夠的樣本容量,每個(gè)號(hào)碼的出現(xiàn)機(jī)會(huì)大致是相同的.例如“10選6+1”各個(gè)位次上出現(xiàn)某個(gè)數(shù)碼的概率都是.2.3.2二項(xiàng)分布首先闡述一下什么叫貝努里實(shí)驗(yàn),貝努里實(shí)驗(yàn)是指具有下列特征的n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn):?。?shí)驗(yàn)中包含了n個(gè)相同的實(shí)驗(yàn).彩票中的各期號(hào)碼出現(xiàn)都是在同一種機(jī)器中搖出來的,可以看做是n次反復(fù)實(shí)驗(yàn).ⅱ）每一次實(shí)驗(yàn)只有兩種結(jié)果,“成功”或“失敗”,這里的“成功”或“失敗”是廣義的,意思是彩票的每個(gè)位次上猜中數(shù)碼就是“成功”,猜不中就是“失敗”.ⅲ）出現(xiàn)成功的概率p每次是相同的,失敗的概率q也是固定不變的.如“傳統(tǒng)型”彩票“10選6+1”每個(gè)位次上成功的概率是,失敗的概率是,容易看出.ⅳ)試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,每次搖完后號(hào)球都放回,本期結(jié)果不影響下期結(jié)果.ⅴ）試驗(yàn)“成功”或“失敗”可以計(jì)數(shù),即試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)離散型的隨機(jī)變量.在貝努里試驗(yàn)中,以表示次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),不難得出:其中注意到其中正好是二項(xiàng)式的展開式中的第項(xiàng),故我們稱此隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,參數(shù)為和,并記作顯然,數(shù)學(xué)型彩票抽樣只要不換搖獎(jiǎng)機(jī),就完全符合貝努里試驗(yàn)的要求.用二項(xiàng)分布來分析合情合理.2.3.3超幾何分布對(duì)于樂透型,雖然每次開獎(jiǎng)結(jié)果不影響下次搖獎(jiǎng),即期與期之間是獨(dú)立事件,但在同一期內(nèi)先開出的號(hào)球并不放入搖號(hào)機(jī),在概率學(xué)上稱作“無放回”的抽樣,則必然會(huì)對(duì)下面的號(hào)碼產(chǎn)生影響.此時(shí),其試驗(yàn)條件就已經(jīng)不同了,故不能直接套用二項(xiàng)分布.在時(shí)機(jī)情況中,真正在完全相同的條件下進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)室相當(dāng)少的.對(duì)于抽樣問題來說,只要滿足一定的樣本容量,無放回可當(dāng)做有放回處理.況且,“無放回”的抽樣只是在同一期內(nèi)而言,期與期之間是獨(dú)立事件.在分析樂透型的中獎(jiǎng)號(hào)碼時(shí),仍以二項(xiàng)分布和均勻分布為主,兼顧超幾何分布的一些特點(diǎn).彩票方案的分析及優(yōu)化表五彩票的常見銷售規(guī)則及相應(yīng)獎(jiǎng)金設(shè)置方案獎(jiǎng)項(xiàng)獎(jiǎng)項(xiàng)方案一等獎(jiǎng)比例二等獎(jiǎng)比例三等獎(jiǎng)比例四等獎(jiǎng)金額五等獎(jiǎng)金額六等獎(jiǎng)金額七等獎(jiǎng)備注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%30020按序46+1/1070%15%15%30020按序57/2960%20%20%3003066+1/2960%25%15%2002077/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%50050102187/3468%12%20%300505197/3570%15%10%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%500100105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030【問題描述】⑴據(jù)上面方案的描述,綜合分析各獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的可能性,獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對(duì)彩民的吸引力等因素評(píng)價(jià)彩票方案的合理性.⑵設(shè)計(jì)一種更好的方案及相應(yīng)的算法以便求出對(duì)于不同注數(shù)應(yīng)選擇的最優(yōu)方案.【模型假設(shè)】⑴每注彩票只兌付最高獎(jiǎng)級(jí)獎(jiǎng)金,不可兼得;⑵假設(shè)彩票的規(guī)則是以公平合理為原則;⑶假設(shè)彩票的發(fā)行費(fèi)用不計(jì),彩票總獎(jiǎng)金比例一般為銷售總額的50%;⑷獎(jiǎng)金取決于當(dāng)期彩票投注額的多少,投注額越多,獎(jiǎng)金越高;⑸假設(shè)彩民大都有博彩心理;【符號(hào)說明】⑴表示等獎(jiǎng)是否被取走,即或1.⑵表示k等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)注數(shù).⑶表示i等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額.⑷n表示當(dāng)期已售出的彩票注數(shù).⑸表示每注彩票第i獎(jiǎng)項(xiàng)的獎(jiǎng)金額.⑹表示取走的獎(jiǎng)金額.⑺表示一注中獎(jiǎng)彩票被取走的獎(jiǎng)金比率,即單注彩票的平均收益率.⑻表示第i等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率.⑼表示第i等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金分配的百分比.⑽表示博彩心理函數(shù).⑾s表示低獎(jiǎng)項(xiàng)獎(jiǎng)金額在總獎(jiǎng)項(xiàng)中所占的比例.⑿f表示判別方案合理性的判別函數(shù).【問題分析】⑴求兩種類型彩票每注中各獎(jiǎng)項(xiàng)的概率.設(shè)彩票有7等獎(jiǎng),對(duì)某一方案而言,每注彩票中各等獎(jiǎng)的概率是可求得,由古典概率問題求得傳統(tǒng)型和樂透型概率如下:①傳統(tǒng)型.單注總數(shù)為.各獎(jiǎng)項(xiàng)的單注數(shù)分別為一等獎(jiǎng):1二等獎(jiǎng):三等獎(jiǎng):四等獎(jiǎng):五等獎(jiǎng):六等獎(jiǎng):由概率的定義可得中等獎(jiǎng)的概率.②樂透型.在型的彩票中,選中個(gè)基本號(hào)當(dāng)中的個(gè)的可能性,可以通過超幾何分布得出.則選中個(gè)基本號(hào)加特別號(hào)的可能性為則選中個(gè)基本號(hào)不加特別號(hào)的可能性為.⑵設(shè)當(dāng)期銷售注彩票,研究沒住彩票的收益.由于當(dāng)期彩票的總獎(jiǎng)金與售出彩票注數(shù)有關(guān),注彩票中,獲得第等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)注數(shù)是隨機(jī)變量,且服從二項(xiàng)分布即.由伯努里大數(shù)定理可知,當(dāng)足夠大時(shí),近似服從正態(tài)分布,其期望與方差分別為.記由的獨(dú)立性,=高項(xiàng)獎(jiǎng)的第等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額,由案件中給出的計(jì)算方法得若表示等獎(jiǎng)是否被取走,則服從兩點(diǎn)分布.表示等獎(jiǎng)沒被取走,其分布律為若表示取走的獎(jiǎng)金總額,它是一個(gè)隨機(jī)變量,則表示單注彩票的收益率.基于彩票的總獎(jiǎng)金比例一般為銷售總額的50%,單注彩票金額為2元,首先分析的數(shù)學(xué)期望E():取n=100萬(wàn),150萬(wàn),200萬(wàn),300萬(wàn),利用上式,求出了表五中給出的29中方案在不同n下每注彩票的平均收益,從運(yùn)算結(jié)果看,隨著n的增大,平均收益率趨于穩(wěn)定值1.⑶從公平因素出發(fā)進(jìn)行分析利用公平原則確定獎(jiǎng)金在各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)中的分配情況,中獎(jiǎng)的概率Pi與第i項(xiàng)獎(jiǎng)單注中獎(jiǎng)金額xi具有相關(guān)性,即中獎(jiǎng)可能性越小,獎(jiǎng)金額越高.再者中獎(jiǎng)幾率和成本有直接關(guān)系,假設(shè)中一等的概率是0.001,中二等獎(jiǎng)的概率是0.01,則一等獎(jiǎng)平均抽1000注（需2000元）才能中一次,而二等獎(jiǎng)需要100注（需200元）,可見中獎(jiǎng)收益和中獎(jiǎng)概率應(yīng)成反比,最理想的情況為中獎(jiǎng)概率和獎(jiǎng)金額乘積等于常數(shù).我們把總獎(jiǎng)金額分成低項(xiàng)、高項(xiàng)兩部分,在每項(xiàng)內(nèi)部考慮公平因素,若考慮獎(jiǎng)項(xiàng)為1到7等獎(jiǎng)的方案為常數(shù)這里稱該公式為公平尺度.若低項(xiàng)獎(jiǎng)的百分比為s,則高項(xiàng)獎(jiǎng)的百分比為（1-s）,由低項(xiàng)獎(jiǎng)內(nèi)部公平尺度有以下公式:由高項(xiàng)獎(jiǎng)內(nèi)部公平尺度有以下公式:則（當(dāng)n是定值時(shí),其值是常數(shù)）.以反映了高項(xiàng)獎(jiǎng)的公平程度,由此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),最大.同理反映了低項(xiàng)獎(jiǎng)的公平程度.我們可取作為衡量公平程度的數(shù)學(xué)表達(dá)式,但由于遠(yuǎn)小于1,所以很小,設(shè),記為總公平因子.⑷博彩心理的因素分析彩民的興趣大小與單注收益率,公平度相關(guān).對(duì)一個(gè)方案,彩民的看法主要是由收益決定的我們用這個(gè)量的某個(gè)函數(shù)來衡量該方案對(duì)彩民的吸引力,而彩民的看法是一個(gè)心理因素,是一個(gè)很難準(zhǔn)確衡量的量.根據(jù)心理學(xué)的知識(shí),人的心理因素的變化可用博彩心理函數(shù)來近似刻畫,博彩心理與單注的收益有關(guān),取博彩心理函數(shù)為其中,表示銷售注數(shù).【模型的建立與求解】綜合以上分析,我們用影響方案合理性的三個(gè)因子.收益期望,公平因素,博彩因素,來構(gòu)造給定方案合理性的評(píng)判函數(shù),并且通過求解這個(gè)函數(shù)的值來判斷各個(gè)方案的優(yōu)劣.⑴評(píng)價(jià)函數(shù)的構(gòu)造方案的吸引力函數(shù)博彩因子公平因子,即根據(jù)彩票目前開獎(jiǎng)的有關(guān)資料,以及題目中對(duì)單注一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的約束,取彩票銷售注數(shù)n=200萬(wàn)進(jìn)行計(jì)算.以29個(gè)方案的的有關(guān)數(shù)據(jù)代入判別函數(shù)中,求出的值,通過比較值得大小,就可以確定給定的各種方案的優(yōu)劣.由此得到對(duì)29個(gè)方案的優(yōu)劣排序:9,5,11,8,7,19,20,16,24,10,6,22,18,25,12,26,13,14,23,15,17,21,29,2,27,3,28,4,1⑵問題（2）的模型及解答.由問題（1）的求解結(jié)果可以看出,傳統(tǒng)型和無特別號(hào)（23號(hào)）的方案已不可能列入最優(yōu)方案中,