Chap 7 數(shù)學(xué)物理定解問題-20140925

數(shù)學(xué)物理方法

48學(xué)時(shí)李清旭數(shù)理學(xué)院2014.09liqx@,2523課程概況

上課時(shí)間、地點(diǎn)(周四9-11節(jié)、4215)

教材

數(shù)學(xué)物理方法，梁昆淼等，高等教育出版社。

參考書1.數(shù)學(xué)物理方法,姚端正,武漢大學(xué)出版社。

2.數(shù)學(xué)物理方法,吳崇試,北京大學(xué)出版社。最終成績(jī)=平時(shí)成績(jī)(30%)+期末考試成績(jī)(70%)師資隊(duì)伍教師名錄應(yīng)用物理教學(xué)部李清旭教師資料下載QQ:453042413課程內(nèi)容數(shù)學(xué)物理方程及其傅里葉解積分變換方法常微分方程的冪級(jí)數(shù)解球函數(shù)和柱函數(shù)5第七章

數(shù)學(xué)物理定解問題6

數(shù)學(xué)物理方程的研究范圍十分廣泛，本課程主要講述線性偏微分方程，尤其是二階線性偏微分方程的相關(guān)內(nèi)容。這些方程是從各種物理問題中歸納總結(jié)出來的。常見的二階線性偏微分方程有如下三類：機(jī)械波的波動(dòng)方程根據(jù)牛頓定律可以證明，機(jī)械波的波函數(shù)應(yīng)滿足如下波動(dòng)方程：（一維波動(dòng)方程）8靜電勢(shì)的Laplace方程和Poisson方程由靜電場(chǎng)的性質(zhì)：或者:在沒有電荷的區(qū)域，靜電勢(shì)滿足Laplace方程：在有電荷分布的區(qū)域，靜電勢(shì)滿足Poisson方程：（靜電場(chǎng)方程）穩(wěn)定問題:與時(shí)間無關(guān).9量子力學(xué)中的Schr?dinger方程如果勢(shì)能函數(shù)不顯含時(shí)間，則上述方程可簡(jiǎn)化為：含時(shí)Schr?dinger方程定態(tài)Schr?dinger方程101112

微分方程中的疊加原理實(shí)際上是物理規(guī)律中的疊加原理的反映。我們知道幾個(gè)物理量同時(shí)存在時(shí)的效果常常等價(jià)于各個(gè)物理量單獨(dú)存在時(shí)效果的疊加。疊加原理又稱為獨(dú)立作用原理。疊加原理是線性問題和非線性問題最本質(zhì)的區(qū)別。在非線性的情況下，疊加原理不成立。13弦的橫振動(dòng)方程

考察長(zhǎng)為l

，兩端固定、水平拉緊的均勻柔軟而有彈性的弦．當(dāng)它在平衡位置附近作垂直于弦的微小橫振動(dòng)時(shí)，求弦上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。14根據(jù)牛頓第二定律，u方向運(yùn)動(dòng)可以描述為：由于弦作微小橫振動(dòng)，從而有：由得到15弦的自由振動(dòng)：f

=

0,弦的受迫振動(dòng)：f≠

0,波速上述弦振動(dòng)方程的推導(dǎo)過程表明，該方程反映弦振動(dòng)這一類物理問題所遵循的物理規(guī)律。該方程不涉及體系和外界的邊界，也不涉及體系的歷史狀況，從而并沒有確定一個(gè)確定的物理體系或者物理過程；通常稱該方程為泛定方程。從數(shù)學(xué)的角度來說，僅僅振動(dòng)方程并不能確個(gè)確定的振動(dòng)函數(shù)。17邊界條件與初始條件

由物理學(xué)規(guī)律出發(fā)得到的數(shù)學(xué)物理方程是某一類（或幾類）物理現(xiàn)象所必需遵循的，并不能唯一地、確定地描寫某一個(gè)具體的物理過程。例如從Newton第二定律得到的動(dòng)力學(xué)方程并不能唯一地確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)；完全確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)還需要有初始條件。一般地，要完全描寫一個(gè)具有確定解的物理問題，在數(shù)學(xué)上就是要構(gòu)成一個(gè)定解問題。除了微分方程之外，構(gòu)成定解問題還必須有邊界條件和初始條件。邊界條件用于確定體系和外界的相互作用；初始條件用于確定體系的歷史狀況。18初始條件

初始條件用于確定體系的歷史狀況，當(dāng)所考察的物理現(xiàn)象隨時(shí)間變化時(shí)，需要確定體系的初始條件來唯一確定地描述該現(xiàn)象。（穩(wěn)定問題不需要初始條件）對(duì)于傳導(dǎo)或擴(kuò)散過程，需要確定體系的初始狀態(tài)：對(duì)于振動(dòng)過程，初始條件還需要包含速度的信息：19邊界條件

體系的邊界會(huì)影響體系的物理狀態(tài),體系的邊界情況由邊界條件確定.邊界條件反應(yīng)體系和外界的界面上的情況.常見的邊界條件可以分為三類第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件20第一類邊界條件(Dirichlet條件)21第二類邊界條件(Neumann條件)22第三類邊界條件(混合邊界條件)

第三類邊界條件給出未知函數(shù)和在邊界上的法線方向的導(dǎo)數(shù)的線性組合在邊界上的取值，即如桿的縱振動(dòng)問題,若一端與一個(gè)一端固定的彈簧相連,則相應(yīng)的邊界條件為23第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成24定解問題的分類

數(shù)學(xué)物理方程（泛定方程）加上相應(yīng)的定解條件一起構(gòu)成了定解問題。根據(jù)定解條件的不同，又可以把定解問題分為三類：

初值問題：定解條件僅有初值條件；

邊值問題：定解條件僅有邊值條件；

混合問題：定界條件有初值條件也有邊值條件。25定解問題的適定性

定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，統(tǒng)稱為定解問題的適定性。存在性：定解問題是否有解.唯一性：定解問題的解是否唯一.穩(wěn)定性：定解問題的解是否穩(wěn)定.

只要對(duì)實(shí)際物理問題的抽象是合理的，初始條件完全、確定地描寫了初始時(shí)刻體系內(nèi)部和邊界上的狀況；邊界條件完全而確定地描寫了邊界上的狀況;

構(gòu)成的定解問題就一定是適定的，解一定存在且唯一和穩(wěn)定。261.行波法2.分離變量法3.冪級(jí)數(shù)解法4.格林函數(shù)法

5.積分變換法6.保角變換法7.變分法8.計(jì)算機(jī)仿真解法9.數(shù)值解法數(shù)學(xué)物理方程的常用解法

在求解常微分方程時(shí)，通常的做法是先求出方程的通解，然后利用給定條件確定通解中的積分常數(shù)。對(duì)于如上定解問題，這種做法一般情況下是行不通的。原因在于通常很難求出偏微分方程的通解。

這里有一個(gè)特例，可以沿用求解常微分