V4第三章-非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)-2014

第三章非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)13-1

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念★非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：溫度場隨時(shí)間變化的導(dǎo)熱過程。

★非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的類型：（1）周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：（2）非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：在周期性變化邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，如內(nèi)燃機(jī)汽缸壁的導(dǎo)熱、一年四季大地土壤的導(dǎo)熱等。

在瞬間變化的邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，例如熱處理工件的加熱或冷卻、太陽輻射加熱建筑物墻體等。一、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段非正規(guī)狀況階段2★非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的主要特性（以平壁為例）：（1）任何的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱均伴隨加熱或冷卻的過程。（2）在一般的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題中，物體內(nèi)部的溫度不均勻。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程存在著有區(qū)別的兩個不同階段——非正規(guī)狀況階段（初始階段）和正規(guī)狀況階段。

首先，物體緊挨高溫表面部分溫度很快上升，其它部分仍保持原來溫度，如曲線HBD所示。

隨著時(shí)間的推移，溫度變化波及的范圍不斷擴(kuò)大，經(jīng)一定時(shí)間以后，右側(cè)表面的溫度也逐漸升高，圖中曲線HCD、HE~HF、HG。存在右側(cè)面不參與和參與換熱過程的兩個階段。（3）在熱量傳遞的過程中，由于本身溫度變化要積聚或消耗熱量。每一個與熱流方向相垂直的截面上的熱流量也是處處不等的。(不能用熱阻分析法)3理論上，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題可以從導(dǎo)熱微分方程式出發(fā)，結(jié)合特定的初始條件和邊界條件，獲得所需的解。二、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的求解：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱研究的目的：確定瞬時(shí)的溫度場分布；一段時(shí)間間隔內(nèi)物體的導(dǎo)熱熱流量。初始條件邊界條件導(dǎo)熱微分方程定解條件某一導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描述唯一解對于一維及多維問題，在特定的條件下可以從分離變量法出發(fā)，推導(dǎo)出工程應(yīng)用的線算線——諾謨圖。42023/2/45環(huán)境（邊界條件）對系統(tǒng)溫度分布的影響是很顯著的,這里以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程（也就是大平板的加熱或冷卻過程）為例來加以說明。假設(shè)一塊厚度為2δ的大平板，導(dǎo)熱系數(shù)為λ,初始溫度為t0，突然將其置于溫度為

的流體中冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。則存在兩個熱阻，導(dǎo)熱熱阻和邊界對流熱阻1/h。這兩個熱阻的相對值會有三種不同情況，對應(yīng)非穩(wěn)態(tài)溫度場在平板中也會有三種不同情況：三、第三類邊界條件下Bi數(shù)對平板中溫度分布的影響t∞ht∞hxt0平板冷卻問題初始溫度t0第三類邊界條件52023/2/46（1）即對流換熱熱阻遠(yuǎn)小于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻，可認(rèn)為平壁表面溫度一開始就和流體溫度基本相同，第三類邊界條件轉(zhuǎn)化為第一類邊界條件。此時(shí)傳熱熱阻主要是導(dǎo)熱熱阻，因此平壁內(nèi)部存在溫度梯度，并隨時(shí)間推移，平壁總體溫度逐漸降低。6（2）即對流換熱熱阻遠(yuǎn)大于導(dǎo)熱熱阻，此時(shí)傳熱熱阻主要是邊界對流換熱熱阻，因而可認(rèn)為同一時(shí)刻平壁內(nèi)部溫度是相同的，而平壁表面和流體間存在明顯溫差，這一溫差隨著時(shí)間推移和平壁總體溫度降低而逐漸減小。7由于物體內(nèi)部的溫度幾乎是均勻的，這也就說物體的溫度場僅僅是時(shí)間的函數(shù)，而與空間坐標(biāo)無關(guān)。我們稱這樣的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱系統(tǒng)為集總參數(shù)系統(tǒng)（一個等溫系統(tǒng)或物體）。8即對流換熱熱阻與導(dǎo)熱熱阻是同一數(shù)量級，二者都不可忽略。因而一方面平壁表面與流體存在溫差，同時(shí)平壁內(nèi)部也存在溫度梯度。（3）9由上可見，平壁的非穩(wěn)態(tài)溫度分布完全取決于導(dǎo)熱熱阻與對流熱阻的比值，因此，定義導(dǎo)熱熱阻與換熱熱阻的比值為畢渥（Biot）數(shù)Bi。Bi為無量綱數(shù)。畢渥數(shù)Bi10當(dāng)Bi數(shù)很小時(shí)，同一時(shí)刻平壁內(nèi)部溫度分布近似均勻，求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題變得簡單，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，與空間位置無關(guān)，這就是集總參數(shù)法的基本思想。11畢渥數(shù)是導(dǎo)熱分析中的一個重要的無量綱準(zhǔn)則，它表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對比關(guān)系。類似于Bi數(shù)這種表征某一類物理現(xiàn)象或物體特征的無量綱數(shù)稱為特征數(shù)，也稱為準(zhǔn)則數(shù)。特征數(shù)中的幾何尺度稱為特征尺度。畢渥數(shù)中，δ為特征長度，但注意特征長度δ是平板厚度的一半！12集總參數(shù)法本質(zhì):忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻的簡化分析方法。Bi03-2零維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱－集總參數(shù)法畢渥數(shù)Bi0，導(dǎo)熱熱阻可忽略，溫度分布僅與時(shí)間相關(guān)，而與空間坐標(biāo)無關(guān)（空間簡化成一點(diǎn)）。簡化為零維問題。集總參數(shù)法集總參數(shù)法的導(dǎo)熱微分方程：初始條件：零維問題（空間簡化為一點(diǎn)后），內(nèi)熱源＝界面換熱量。零維問題不含空間導(dǎo)數(shù)，無邊界條件NOTICE:定義過余溫度：13下角標(biāo)V表示以l=V/A為特征長度分離變量初始條件令V/A=l無量綱特征數(shù)傅里葉數(shù)畢渥數(shù),無量綱特征數(shù)14傅里葉數(shù)的物理意義：

Fo為兩個時(shí)間之比，是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的無量綱時(shí)間。畢渥數(shù)的物理意義：

Bi為物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻與邊界處的對流換熱熱阻之比。[s][m2][m2/s]討論：（1）集總參數(shù)法中的畢渥數(shù)BiV與傅里葉數(shù)FoV以l=V/A為特征長度。無限大平板、圓柱及球體的V/A值厚度為的平板大平壁上下和前后端面的傳熱?？珊雎?故傳熱面積就是2A15無限大平板無限長圓柱球半徑為的圓柱半徑為的球體（2）對于形狀如平板、柱體或球的物體，只要滿足BiV≤0.1M，就可以使用集總參數(shù)法計(jì)算，偏差小于5％。

與形狀有關(guān)的無量綱量16令，c稱為時(shí)間常數(shù)。當(dāng)＝c時(shí)，物體的過余溫度達(dá)到初始過余溫度的36.8%

——時(shí)間常數(shù)反映物體對周圍環(huán)境溫度變化響應(yīng)的快慢，時(shí)間常數(shù)越小，物體的溫度變化越快。

熱電偶的時(shí)間常數(shù)越小越好，因?yàn)樵叫。瑹犭娕荚侥苎杆俚胤从潮粶y流體的溫度變化。

（3）時(shí)間常數(shù)17（4）在0~

時(shí)間內(nèi)物體和周圍環(huán)境之間交換的熱量

上式是對物體被冷卻的情況而導(dǎo)出的，但同樣適用于被加熱的場合，只是為使換熱量恒取正值而應(yīng)將式中的改為例3-1例3-2影響時(shí)間常數(shù)大小的主要因素：物體的熱容量cV和物體表面的對流換熱條件hA。

18例3-1一支溫度計(jì)的水銀泡呈圓柱形，長20mm，內(nèi)徑為4mm，溫度為將其插入儲氣罐中測量氣體溫度。設(shè)水銀泡同氣體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)水銀泡外薄玻璃的作用可忽略不計(jì)，試計(jì)算此條件下溫度計(jì)的時(shí)間常數(shù)，并確定插入5分鐘后溫度計(jì)讀數(shù)的過余溫度為初始過余溫度的百分之幾？水銀物性參數(shù)為，解:首先檢驗(yàn)是否可用集總參數(shù)法。考慮到水銀泡柱體的上端面不直接受熱，故可以采用集總參數(shù)法。圓柱：M=0.5，0.1M=0.0519時(shí)間常數(shù)為即經(jīng)過5分鐘后溫度計(jì)讀數(shù)的過余溫度為初始過余溫度的13.3%。也就是說，在這段時(shí)間內(nèi)溫度計(jì)的讀數(shù)從上升到流體溫度的86.7%。20例3-2合金鋼滾珠的直徑d=5mm，初始溫度t0=450℃，密度7822kg/m3，比熱容444J/(kgK)，導(dǎo)熱系數(shù)為38W/(mK)。放入tf=30℃的油中冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=120W/(m2K)。試求時(shí)間常數(shù)，冷卻到100℃所需時(shí)間以及允許采用集總參數(shù)分析方法求解的最大滾珠直徑。假設(shè)：(1)常物性，(2)表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)恒定，(3)冷卻介質(zhì)保持恒溫。解：分析：考慮到小體積金屬材料的特點(diǎn)，具備采用集總參數(shù)分析方法的可能性。適用集總參數(shù)法時(shí)間常數(shù)球：M=1/321滾珠的溫度降低到100℃所需要的時(shí)間為以誤差5％(Bi=0.1M)為依據(jù)，采用集總參數(shù)方法求解的最大滾珠直徑為討論：(1)把滾珠與油之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)當(dāng)作常數(shù)是一種近似處理。隨著滾珠溫度逐步降低，h的數(shù)值會變化。(2)如果在空氣中冷卻，應(yīng)考慮輻射的影響。(3)集總參數(shù)分析方法認(rèn)為物體內(nèi)的溫度始終均勻。若果真如此，物體內(nèi)部的熱量還傳得出去嗎？223-3一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解t∞ht∞hxt0平板加熱問題第三類邊界條件一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程及定解條件：邊界條件初始條件一、簡單幾何形狀及邊界條件時(shí)的溫度場分析解考察厚度2的無限大平壁的情況。設(shè)、a為已知常數(shù)；=0時(shí)溫度為t0；突然把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為t并保持不變；已知壁表面與介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。23t∞ht∞hxt0定義過余溫度：分離變量法求解拋物線型偏微分方程24注意：，δ

為平板的半寬解的形式為無窮級數(shù)，難于計(jì)算，可以簡化嗎？解為：其中μn為方程的根，稱為特征值。25可以僅取

n＝1，誤差小于1％平板中心x＝01212當(dāng)Fo>0.2，該比值與時(shí)間無關(guān)，表明該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱處于正規(guī)狀況（充分發(fā)展）階段26二、0～τ時(shí)間間隔的導(dǎo)熱量Q的計(jì)算：Q0為初始時(shí)刻到平板與周圍介質(zhì)處于熱平衡這一過程所傳遞的熱量，這是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中所能傳遞的最大熱量。其中，τ

時(shí)刻的平均過余溫度推導(dǎo)：27三、典型幾何體一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解的統(tǒng)一形式（正規(guī)狀況階段——在Fo>0.2

前提下）平板

圓柱和球注意：δ

為平板的半寬,第一類貝塞爾函數(shù)J查附錄14平板：28四、典型幾何體一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段的工程計(jì)算方法

在Fo>0.2前提下，另外兩種實(shí)用計(jì)算方法：近似擬合法，諾模圖（海斯勒圖）法近似擬合法計(jì)算式中的μ1AB和J0

用擬合公式表示。a，b，c查表3-229

諾模圖（海斯勒圖）法θm為平板中心x＝0處的過余溫度查圖3-7或附錄16、17查圖3-8或附錄16、17導(dǎo)熱量的計(jì)算Q/Q0查圖3-9或附錄16、171平板任一點(diǎn)瞬態(tài)溫度230圖3-831圖3-732顯然，Q/Q0

亦是Fo和Bi的函數(shù)平板：導(dǎo)熱量的計(jì)算：33圖3-934如何利用線算圖：（1）由時(shí)間求溫度的步驟：計(jì)算Bi數(shù)、Fo數(shù)和x/δ

，從圖3-7查找θm/θ0

，3-8中查找θ/θm

，計(jì)算出，最后求出溫度t。（2）由溫度求時(shí)間的步驟：計(jì)算Bi數(shù)、x/δ和θ/θ0,從圖3-8中查找θ/θm，計(jì)算θm/θ0，然后從圖3-7中查找Fo,再求出時(shí)間

。

（3）平板吸收（或放出）的熱量：計(jì)算Q0和Bi數(shù)、Fo數(shù)，再從圖3-9中查找Q/Q0，再計(jì)算出Q。35

一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題分析解的適用范圍：對于正規(guī)狀況，需要滿足Fo>0.2，此時(shí)級數(shù)可取首項(xiàng)n＝1；不滿足則需要采用完整的級數(shù)表達(dá)式。要求導(dǎo)熱物體的初始溫度t0

分布均勻。適用于第一類和第三類邊界條件。適用于物體的加熱或冷卻過程。求解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的基本步驟：計(jì)算畢渥數(shù)Bi是否滿足集總參數(shù)法的要求，滿足即可直接采用集總參數(shù)法。如果不滿足，則采用分析解（包括近似公式和海斯勒圖）。再不行，采用數(shù)值解法。36例：一塊厚100mm的鋼板放入溫度為1000℃的爐中加熱。鋼板一面加熱，另一面可認(rèn)為是絕熱。初始溫度t0=20℃，求受熱面加熱到500℃所需時(shí)間，及剖面上最大溫差。(h=174W/(m2·K),=34.8W/(m·K),a=0.555×10-5m2/s)解：這一問題相當(dāng)于厚200mm平板對稱受熱問題，此問題為已知溫度求時(shí)間，必須先求m/0，再由圖3-7查Fo。（不能使用集總參數(shù)法）37查圖3-8，可得由m/0和Bi從圖3-7查得Fo=1.2（Fo>0.2,可采用諾模圖）求中心（絕熱面）溫度：

剖面最大溫差：討論：圖3-7圖線過密，不容易查出Fo時(shí)，可采用直接計(jì)算的方法或者用擬合公式確定Fo。382023/2/439第三章作業(yè)集總參數(shù)法：（注意驗(yàn)證集總參數(shù)法滿足的條件。）3-10,3-13,3-15一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：3-21，3-24（因圓柱四周絕熱，故可看做厚度為H的無限大平板的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題處理）

3-34，3-41393-4半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段非正規(guī)狀況階段半無限大物體的概念所謂半無限大物體，是指幾何上從x=0的界面開始可以向正向以及上、下方向無限延伸，而在每個與x坐標(biāo)垂直的界面上物體的溫度都相等。在研究物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的初始階段時(shí)，有可能把實(shí)際物體當(dāng)做半無限大物體來處理。例如，假設(shè)有一塊幾何上位有限厚度的平板，起初具有均勻的溫度，然后其一側(cè)表面突然受到熱擾動，當(dāng)擾動的影響還局限于表面附近而尚未深入到平板內(nèi)部中去時(shí)，就可有條件地把該平板視為一個“半無限大物體”。40非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段非正規(guī)狀況階段半無限大物體的概念僅適用于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的初始階段，即非正規(guī)狀況階段的研究。半無限大物體的概念具有均勻初始溫度t0的半無限大平板，在τ＝0時(shí)刻，x＝0側(cè)突然受到熱擾動。求物體內(nèi)部的溫度隨時(shí)間變化？41

第一類邊界條件：表面溫度突然變化到tw，并保持恒定。定義過余溫度：誤差函數(shù)（附錄15）注意邊界條件與厚度為2δ無限大平板分析解的區(qū)別42

第三類邊界條件：與溫度為t∞的流體進(jìn)行熱交換。第二類邊界條件：受到恒定的熱流密度加熱。三種邊界條件下半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析解均為誤差函數(shù)形式。43（2）從時(shí)間上看，如果，則此時(shí)x處的溫度可認(rèn)為完全不變，即仍等于初始溫度t0。（1）從幾何位置上說，如果，則τ時(shí)刻x處的溫度可以認(rèn)為尚未發(fā)生變化。

誤差函數(shù)特性：

稱為惰性時(shí)間，半無限大的概念僅適用于惰性時(shí)間以內(nèi)的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱初始階段。44

半無限大物體：處于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱初始階段，作半無限大物體處理處于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段，適用n＝1情況下的分析解適用集總參數(shù)法求解45

物體中任意截面x的熱流密度：

物體表面的熱流密度（x＝0）：[0,τ]時(shí)刻內(nèi)的通過面積A的總熱量：吸熱系數(shù)：表示物體向與其接觸的高溫物體吸熱的能力。本節(jié)對于初始階段非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的討論主要應(yīng)用于物體加熱或冷卻的速率研究。463-5簡單幾何形狀物體多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解

多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱數(shù)值解：數(shù)值方法分析解：一維分析解的組合簡單幾何外形物體的無量綱溫度場可由其幾何上的相貫體的一維分析解相乘獲得。無量綱過余溫度例如：二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解===兩個一維問題分析解的乘積：47

簡單幾何外形物體的無量綱溫度場可由其幾何上的相貫體的一維分析解相乘獲得。無量綱過余溫度二維方柱二維圓柱三維立方體48

二維控制方程及定解條件初始條件第三類邊界條件條件絕熱邊界條件二維無限長方柱體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：柱體初始溫度t0，周圍流體溫度t∞，表面換熱系數(shù)h。二維問題的證明——以二維無限長方柱體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例49兩個厚度分別為2δ1