ch2軸向拉壓變形,超靜定

§2-7拉壓桿的變形計(jì)算FFbhL

一、縱向變形（axialdeformation):縱向應(yīng)變（axialstrain):1四、虎克定律(Hooke’slaw)式中E稱為彈性模量(modulusofelasticity)，EA成為

抗拉（壓）剛度

[tensile(compressive)rigidity]。實(shí)驗(yàn)表明工程上大多數(shù)材料都有一個(gè)彈性階段，在此彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比。上式改寫為2例題1：圖示為一變截面圓桿ABCD。已知F1=20KN，F(xiàn)2=35KN，F(xiàn)3=35KN。彈性模量為E=210GPa

l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。試求：(1)1—1，11—11，111—111截面的軸力，作軸力圖(2)桿的最大正應(yīng)力max(3)B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3111111111111l1l2l3ABCD3F1F2F3111111111111l1l2l3ABCDR(1)1—1，11—11，111—111截面的軸力，作軸力圖。F1-FN1+F1=0FN1=20KN

（+）FN14F1F2F3111111111111l1l2l3ABCDRFN2=-15KN（-）FN1=20KN（+）FN3=-50KN（-）15+-20505F1F2F3111111111111l1l2l3ABCDRmax=176.8MPa發(fā)生在AB段。FN2=-15KN（-）FN1=20KN（+）FN3=-50KN（-）6(3)B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3111111111111l1l2l3ABCD7例題2：一等直桿受自重及集中力F作用。桿的長(zhǎng)度為l，橫截面面積為A，材料的容重為，彈性模量為E，許用應(yīng)力為[]。試分析桿的自重對(duì)強(qiáng)度的影響，并求桿的伸長(zhǎng)。lFmmFxmmAxFN(x)解：FN(x)=F+Ax+F+AlFFN(x)

=F+Al8例題3：圖所示桿系由兩根鋼桿1和2組成。已知桿端鉸接，兩桿與鉛垂線均成=300的角度，長(zhǎng)度均為l=2m，直徑均為d=25mm，鋼的彈性模量為E=210GPa。設(shè)在點(diǎn)處懸掛一重物F=100kN，試求A點(diǎn)的位移A。ABC129AFxy解：列平衡方程，求桿的軸力ABC12FN1FN210以兩桿伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度BA1

和CA2為半徑作圓弧相交于A，即為A點(diǎn)的新位置。AA

就是A點(diǎn)的位移。A12BC1A2A111A12BC1A2A1因變形很小，故可過(guò)A1，A2分別做兩桿的垂線，相交于A可認(rèn)為12應(yīng)變能密度——單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，以表示。13§2-8軸向拉壓變形能PLL

oLBPA式中——軸力，A——截面面積變形能（應(yīng)變能）:彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形而儲(chǔ)存的能量，以表示。14一、靜定與超靜定問(wèn)題

2-9拉、壓超靜定問(wèn)題靜定問(wèn)題

桿件的軸力可以用靜力平衡條件求出,這種情況稱作靜定問(wèn)題。超靜定問(wèn)題

只憑靜力平衡方程已不能解出全部未知力，這種情況稱做超靜定問(wèn)題。15超靜定的次數(shù):未知力數(shù)超過(guò)獨(dú)立平衡方程數(shù)的數(shù)目,稱作超靜定的次數(shù)。二、超靜定問(wèn)題求解方法解超靜定問(wèn)題的步驟確定靜不定次數(shù)；列靜力平衡方程2）根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列變形幾何方程3）將變形與力之間的關(guān)系（胡克定律）代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程。4）聯(lián)立補(bǔ)充方程與靜力平衡方程求解。n=未知力的個(gè)數(shù)-獨(dú)立平衡方程的數(shù)目16三、一般超靜定問(wèn)題舉例(Examplesforgeneralstaticallyindeterminateproblem)

例題1：兩端固定的等直桿AB橫截面積為A，彈性模量為E，在C點(diǎn)處承受軸力F的作用，如圖所示。計(jì)算約束反力。

FblBAC17BAC變形協(xié)調(diào)條件是：桿的總長(zhǎng)度不變=RByFBRAACFblBAC18變形幾何方程為：BAC=RByFBRAACFblBACa19補(bǔ)充方程為平衡方程為BAC=RByFBRAACFblBAC20

例題：設(shè)1、2、3

三桿用絞鏈連結(jié)，如圖所示、l1=l2=l，A1

=A2=A,E1=E2=E,3

桿的長(zhǎng)度l3,橫截面積A3,彈性模量

E3。試求在沿鉛垂方向的外力F作用下各桿的軸力。

CABDF12321CABDF123解：平衡方程為xyFAFN2FN3FN122CABDF123這是一次超靜定問(wèn)題﹗由于問(wèn)題在幾何，物理及受力方面都是對(duì)稱。所以變形后A點(diǎn)將沿鉛垂方向下移。xyFAFN2FN3FN123CABDF123A123┕┕補(bǔ)充方程為24CABDF123A123┕┕補(bǔ)充方程平衡方程25ABC123408080F5075變形協(xié)調(diào)條件？變形后三根桿與梁仍絞接在一起。變形幾何方程？261溫度應(yīng)力由于超靜定桿系存在“多余”約束，桿件會(huì)因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應(yīng)力。鐵路上無(wú)縫線路的長(zhǎng)鋼軌在溫度變化時(shí)由于不能自由伸縮，其橫截面上會(huì)產(chǎn)生相當(dāng)可觀的溫度應(yīng)力。2-10溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力27

例題1

試求兩端與剛性支承連接的等截面桿(圖a)當(dāng)溫度升高Dt

時(shí)橫截面上的溫度應(yīng)力。桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為l。第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題(a)28

解:

1.

由平衡方程只能知道桿兩端的軸向支約束力數(shù)值相等而指向相反，但不能給出約束力的值，可見(jiàn)這是一次超靜定問(wèn)題。

2.

以剛性支撐B為“多余”約束后的基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸長(zhǎng)變形Dlt和“多余”未知力FN產(chǎn)生的縮短變形DlF分別如圖所示。第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題293.

變形相容條件為4.

補(bǔ)充方程為5.

由此得多余未知力6.

桿的橫截面上的溫度應(yīng)力為30若該桿為鋼桿而l

=1.2×10-5/(?C)，E=210GPa，則當(dāng)溫度升高Dt

=40?時(shí)有第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題（壓應(yīng)力）312裝配應(yīng)力超靜定桿系(結(jié)構(gòu))由于存在“多余”約束，因此如果各桿件在制造時(shí)長(zhǎng)度不相匹配，則組裝后各桿中將產(chǎn)生附加內(nèi)力──裝配內(nèi)力，以及相應(yīng)的裝配應(yīng)力。32圖a中所示桿系(E1A1=E2A2)中桿3的長(zhǎng)度較應(yīng)有長(zhǎng)度短了De，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時(shí)，桿3在結(jié)點(diǎn)A'

處受到裝配力FN3作用(圖b)，而桿1,2在匯交點(diǎn)A'

處共同承受與桿3相同的裝配力FN3作用(圖b)。第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題(a)(b)33求算FN3需利用位移(變形)相容條件(圖a)列出補(bǔ)充方程由此可得裝配力FN3，亦即桿3中的裝配內(nèi)力為第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題(拉力）(a)34至于各桿橫截面上的裝配應(yīng)力只需將裝配內(nèi)力(軸力)除以桿的橫截面面積即得。由此可見(jiàn)，計(jì)算超靜定桿系(結(jié)構(gòu))中的裝配力和裝配應(yīng)力的關(guān)鍵,仍在于根據(jù)位移(變形)相容條件并利用物理關(guān)系列出補(bǔ)充方程。而桿1和桿2中的裝配內(nèi)力利用圖b中右側(cè)的圖可知為第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題35

例題6-3

兩端用剛性塊連接在一起的兩根相同的鋼桿1,2(圖a)，其長(zhǎng)度l=200mm，直徑d=10mm。試求將長(zhǎng)度為200.11mm，亦即De=0.11mm的銅桿3(圖b)裝配在與桿1和桿2對(duì)稱的位置后(圖c)各桿橫截面上的應(yīng)力。已知：銅桿3的橫截面為20mm×30mm的矩形，鋼的彈性模量E=210GPa，銅的彈性模量E3=100GPa。第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題36

解：1.

如圖d所示有三個(gè)未知的裝配內(nèi)力FN1,

FN2,

FN3，但對(duì)于平行力系卻只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，故為一次超靜定問(wèn)題。也許有人認(rèn)為，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可判明FN1=FN2，故未知內(nèi)力只有二個(gè)，但要注意此時(shí)就只能利用一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程：所以這仍然是一次超靜定問(wèn)題。第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題(d)372.變形相容條件(圖c)為這里的Dl3是指桿3在裝配后的縮短值，不帶負(fù)號(hào)。3.利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程：第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題384.將補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立求解得：所得結(jié)果為正，說(shuō)明原先假定桿1,2的裝配內(nèi)力為拉力和桿3的裝配內(nèi)力為壓力是正確的。5.各桿橫截面上的裝配應(yīng)力如下：第六章簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）39§2-11

應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中（stressconcentration）：由于桿件橫截面驟然變化而引起的應(yīng)力局部驟然增大。40按線彈性理論或相應(yīng)的數(shù)值方法