電子科技大學(xué)級(jí)微積分(下)期末復(fù)習(xí)

微積分疑難分析系列講座無(wú)窮級(jí)數(shù)5月25日（星期三）晚7：20地點(diǎn)：A203微積分(下)期末考試要點(diǎn)題型分析：填空題15%基本計(jì)算題55-65%證明題5-15%選擇題15%選擇題?？純?nèi)容：1、多元函數(shù)連續(xù)、可微、可偏導(dǎo)之間的關(guān)系；2、求多元數(shù)量值函數(shù)積分：二重積分、三重積分、第一類線、面積分計(jì)算.(注意對(duì)稱性)3、冪級(jí)數(shù)的阿貝爾定理；５、一個(gè)給定級(jí)數(shù)的收斂情況．（是絕對(duì)收斂或條件收斂或發(fā)散或不定）４、傅立葉級(jí)數(shù)的狄立克萊收斂定理；務(wù)必掌握的計(jì)算：1、二階線性常系數(shù)非齊次微分方程

y’’+ay’+by=f(x)

的求解.2、求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).3、求多元函數(shù)的(無(wú)條件、條件）極值．4、求空間曲線的切線與法平面；求空間曲面的切平面與法線；尤其是抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).如:z=f(xy,x-y);方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).如:６、用格林公式計(jì)算第二類曲線積分；用高斯公式計(jì)算第二類曲面積分．７、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù);

將函數(shù)f(x)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)、傅立葉級(jí)數(shù)．5、計(jì)算二重積分、三重積分、第一類曲面積分、

第二類曲面積分．或二型線積分與路徑無(wú)關(guān).證明題?？純?nèi)容：主要是關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性證明；（僅2003,2008年沒(méi)有考）多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可偏導(dǎo)例選擇題ＣB

二重積分的計(jì)算步驟1、作積分區(qū)域圖.2、根據(jù)區(qū)域的形狀及被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)選擇坐標(biāo)系；

3、化二重積分為二次積分；(1)直角坐標(biāo)系中，需確定是先對(duì)y后對(duì)x積分還是先對(duì)x后對(duì)y積分;(2)極坐標(biāo)系中，一般是先對(duì)r后對(duì)積分.注意:(1)坐標(biāo)系選擇不當(dāng),不僅會(huì)增加計(jì)算難度,而且還可能導(dǎo)致積不出來(lái)；

(2)直角坐標(biāo)系中，積分次序選擇不當(dāng),也可能會(huì)增加計(jì)算難度,甚至積不出來(lái)；一、三重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在柱面坐標(biāo)系下的計(jì)算三、三重積分在球面坐標(biāo)系下的計(jì)算

三重積分的計(jì)算法1:“先一后二法”(投影法)法2:“先二后一法”(截面法)三重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算：而容易積分時(shí),才考慮“先二后一法”.注:

當(dāng)截面Dz容易確定、容易表達(dá)；(1)“先一后二法”(投影法)(2)“先二后一法”(截面法)三重積分在柱坐標(biāo)下的計(jì)算：方法：則可選用柱坐標(biāo)系.若(1)被積函數(shù)為f(x2+y2)；(2)區(qū)域V的邊界面的方程含x2+y2

；（如邊界面為球面、圓柱面、圓錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面等）實(shí)質(zhì)：將直角坐標(biāo)系中的“先一后二”法或“先二后一”法中的“二”在極坐標(biāo)系中計(jì)算.球坐標(biāo)最佳適用情況：

被積函數(shù)為f(x2+y2+z2)；區(qū)域V的邊界面為球面、圓錐面等.＊球面坐標(biāo)的體積元素三重積分在球面坐標(biāo)下的計(jì)算：方法三、(直接法)化為定積分。方法二、格林公式:方法一、積分與路徑無(wú)關(guān),(注意:積分無(wú)關(guān)的區(qū)域D必須是單連通區(qū)域!)(注意:(1)積分曲線L要封閉;(2)P,Q函數(shù)要在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo).)第二類曲面積分的計(jì)算方法二：總投影法（定義法）;方法三：分別投影法.方法一：高斯公式法;(注意:曲面S要封閉!)注意：1.線、面積分的被積表達(dá)式中的(x,y,z)

滿足積分曲線或曲面的方程。利用對(duì)稱性可簡(jiǎn)化積分的運(yùn)算.(但第二類線、面積分的對(duì)稱性不僅與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)而且還與積分區(qū)域的方向有關(guān)！)（但二重積分與三重積分沒(méi)有此特性?。┕士捎汕€(曲面)方程進(jìn)行等值代換來(lái)化簡(jiǎn)被積表達(dá)式化簡(jiǎn)!!分析:證明:完謝謝大家！例1:填空題例2選擇題:四、第二類曲面積分的計(jì)算方法二：總投影法（定義法）;方法三：分別投影法.方法一：高斯公式法;(注意:曲面S要封閉!)（上側(cè)取正，下側(cè)取負(fù)?。┓椒ǘ嚎偼队胺ǎǘx法）（右側(cè)取正，左側(cè)取負(fù)?。ㄇ皞?cè)取正，后側(cè)取負(fù)?。╆P(guān)鍵：確定將S向哪個(gè)坐標(biāo)面投影。并正確求出法向量。方法三、分別投影法:（1）

1、在D內(nèi)與積分路徑無(wú)關(guān)

2、P(x，y)dx+Q(x，y)dy是D內(nèi)某一函數(shù)u(x，y)的全微分，設(shè)D為平面內(nèi)的單連通區(qū)域，函數(shù)P(x，y)，Q(x，y)在D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，（稱u(x,y)為P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一個(gè)原函數(shù)）平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件例1填空題:0(2003級(jí)期末考題8分)ALOD

(積分路徑