北京交通大學(xué)高等巖石力學(xué)課件巖石的強(qiáng)度理論與彈塑性本構(gòu)模型

2巖石的彈塑性本構(gòu)模型與強(qiáng)度理論主要內(nèi)容：巖石的非線性彈性本構(gòu)巖石的彈塑性本構(gòu)巖石的彈塑性耦合現(xiàn)象

巖石的強(qiáng)度理論彈性是指物體在外力作用下產(chǎn)生的變形，在外力卸除后，變形可以完全恢復(fù)的特性，具有這種特性的物體稱為彈性體。按著Cauchy方法定義：彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。非線性彈性就是指應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是非線性的。嚴(yán)格來說，巖石類介質(zhì)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系都是非線性的，只是在非線性關(guān)系不十分嚴(yán)重時(shí)，才簡(jiǎn)化為線性。2.1巖石的非線性彈性本構(gòu)——應(yīng)力空間表示——應(yīng)變空間表示一一對(duì)應(yīng)或用割線模量表示的非線性彈性本構(gòu)方程：或用切線模量表示的增量非線性彈性本構(gòu)方程：割線模量和割線泊松比是應(yīng)力不變量的函數(shù)在巖土工程計(jì)算中使用比較多是Duncan-Zhang模型——破壞比（0.75～1.0）——試件破壞時(shí)的主應(yīng)力差。則Duncan-Zhang模型可寫為：則切線模量Et由得將ε1代入Et——應(yīng)力水平或應(yīng)力發(fā)揮度。若巖石的破壞符合M-C準(zhǔn)則，則根據(jù)Janbu等人的研究：同理，將橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變也看做雙曲線關(guān)系或?qū)憺椋簩t：其中：有人建議：2.2巖石的彈塑性本構(gòu)2.2.1巖石屈服條件與屈服面其中：屈服準(zhǔn)則可統(tǒng)一表達(dá)為：初始屈服也可寫作：等向硬化混合硬化隨動(dòng)硬化2.2.2塑性狀態(tài)的加—卸載準(zhǔn)則材料在塑性狀態(tài)下，施加一應(yīng)力增量：2對(duì)硬化材料1對(duì)理想塑性材料2.2.3塑性本構(gòu)方程其中：根據(jù)一致性條件：由于：得其中簡(jiǎn)記為：而：將上述兩式代入一致性條件：則巖石彈塑性本構(gòu)方程

1）塑性全量理論

①體積應(yīng)變與球應(yīng)力成比例，是彈性的與胡克定律相同

②偏應(yīng)變與偏應(yīng)力成比例

胡克定律中：為材料常數(shù)塑性全量理論中

是應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)的函數(shù)其中：

——應(yīng)變強(qiáng)度

——應(yīng)力強(qiáng)度

③應(yīng)力強(qiáng)度是應(yīng)變強(qiáng)度的確定函數(shù)

④總的應(yīng)變展開：用矩陣表達(dá)：其中：

2）增量理論

①Levy-Mises流動(dòng)法則

②Pramdtl-Reuss流動(dòng)法則由于故：整個(gè)應(yīng)變偏量：③

基于Pramdtl-Reuss流動(dòng)法則的增量本構(gòu)塑性應(yīng)變?cè)隽坑盟苄詣?shì)函數(shù)表示若屈服函數(shù)為f，則f=g時(shí)為相關(guān)流動(dòng)法則；f≠g為非相關(guān)流動(dòng)法則④

增量型本構(gòu)方程的矩陣表示其中：⑤

硬化規(guī)律：兩邊微分：則：⑥

彈塑性矩陣的詳細(xì)推導(dǎo)記：（1）根據(jù)增量本構(gòu)得：因?yàn)椋核裕翰捎孟蛄勘硎荆海?）由于采用向量表示：又由于硬化規(guī)律：得：于是：（3）由及得：上式兩邊左乘(1),(2)式代入（4）式將（5）式代入（1）式將（6）式代入（3）式將上式寫作：2.3巖石的彈塑性耦合現(xiàn)象2.3.1

Drucker公設(shè)處于平衡狀態(tài)的單元體上，施加任一附加外力，然后再卸除該外力，在加卸附加外力循環(huán)過程中，附加外力所做余功為非正。σεt0t1t2t3整理，略去高階小量得對(duì)任意的滿足上式，則必定與屈服面外法線重合則有：即塑性應(yīng)變?cè)隽颗c屈服面正交。巖石介質(zhì)的彈性系數(shù)，在塑性變形發(fā)生之后不再保持常數(shù)，而是隨塑性變形的發(fā)展而變化，這種特性稱為彈塑性耦合性質(zhì)。2.3.2

彈塑性耦合本構(gòu)稱之為廣義塑性應(yīng)變?cè)隽扛鶕?jù)Drucker公設(shè)其中：可得：設(shè)內(nèi)狀態(tài)變量增量其中：稱為耦合張量，在非耦合時(shí)彈塑性耦合情況下本構(gòu)方程根據(jù)一致性條件得其中上式表明，在彈塑性耦合情況下，塑性應(yīng)變?cè)隽颗c屈服面是非正交的。得加載時(shí)彈塑性耦合本構(gòu)方程2.4巖石的強(qiáng)度準(zhǔn)則巖石破壞時(shí)所需滿足的條件叫強(qiáng)度準(zhǔn)則，或稱為破壞條件。對(duì)于簡(jiǎn)單的應(yīng)力狀態(tài)，通過試驗(yàn)很容易確定其破壞的條件；對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)由于存在無窮多受力組合，確定其破壞條件并不容易。在主應(yīng)力空間，用一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)函數(shù)來表示強(qiáng)度準(zhǔn)則，可以寫成如下的形式。它是一個(gè)空間曲面。由于強(qiáng)度曲面與坐標(biāo)軸無關(guān)，上式可表示為傳統(tǒng)材料強(qiáng)度與靜水應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，上式又可表示為對(duì)巖石來說，其強(qiáng)度與靜水應(yīng)力是有關(guān)的，故巖石材料的強(qiáng)度準(zhǔn)則為：1莫爾準(zhǔn)則（Mohr’sHypothesis,1900）該準(zhǔn)則假定巖石內(nèi)某一點(diǎn)的破壞主要決定于它的最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力，與中間主應(yīng)力無關(guān)。巖石的破壞屬于壓剪破壞。莫爾強(qiáng)度準(zhǔn)則的普遍形式。

選擇的曲線應(yīng)該是單調(diào)曲線。曲線應(yīng)對(duì)稱于σ軸，表示巖石破壞是共軛的。在確定包絡(luò)線的形狀時(shí)，應(yīng)滿足下列要求：

2.4.1經(jīng)驗(yàn)性強(qiáng)度準(zhǔn)則(3)σ在從0到∞的全部變化范圍內(nèi)，應(yīng)滿足根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，該導(dǎo)數(shù)還應(yīng)隨著σ的增加而減小。

（1）二次拋物線型由得代入上式，消去由單軸壓縮試驗(yàn)得雙曲線型2庫侖準(zhǔn)則(CoulombCriterion,1773)c——粘聚力；——內(nèi)摩擦角。jcotC3s231ss+1s231ss-a2jCtsjcotC3s231ss+1s231ss-a2jCts整理得用主應(yīng)力表示的庫倫準(zhǔn)則為：由幾何關(guān)系可寫出：

1883年Navier對(duì)庫侖公式進(jìn)行了補(bǔ)充，把公式中的剪應(yīng)力和正應(yīng)力分別用主應(yīng)力表示。

其中令則：對(duì)求導(dǎo)得得的最大值當(dāng)最大值等于c時(shí)，巖石破壞，得由得由于與聯(lián)立得1）當(dāng)巖石屬單軸拉伸破壞2）當(dāng)巖石屬雙軸拉伸破壞3）當(dāng)巖石屬單軸壓縮破壞巖石屬雙軸壓縮破壞4）當(dāng)庫侖準(zhǔn)則的缺點(diǎn)和局限：

(1)

當(dāng)圍壓較大時(shí)，與試驗(yàn)結(jié)果出入較大；(2)粘結(jié)力概念的物理意義不明確；(3)沒有考慮中間主應(yīng)力的影響；(4)實(shí)際巖石的破壞并非明顯的剪切破壞；(5)巖石受拉時(shí)不能用。3

莫爾—庫倫準(zhǔn)則（M-C準(zhǔn)則）當(dāng)莫爾準(zhǔn)則包絡(luò)線為直線時(shí)，它與庫侖準(zhǔn)則完全相同，所以也把直線型的莫爾準(zhǔn)則稱為莫爾—庫侖準(zhǔn)則，這是目前巖石力學(xué)中使用最廣的準(zhǔn)則。若已知，M-C準(zhǔn)則用主應(yīng)力表示其中簡(jiǎn)記為：或最小二乘法求巖石的C、設(shè)通過常規(guī)多試件法或單試件法，得到以下n組試驗(yàn)結(jié)果：建立以下的目標(biāo)函數(shù)：求以上目標(biāo)函數(shù)的極小值，需滿足以下條件：若未知的大小順序，則M-C準(zhǔn)則用主應(yīng)力可表示為以下形式或?qū)懗梢韵滦问剑褐鲬?yīng)力空間上M-Cπ平面上M-C根據(jù)主應(yīng)力與子午面坐標(biāo)p、q的關(guān)系：代入用主應(yīng)力表示M-C準(zhǔn)則及得用不變量表示M-C準(zhǔn)則或用p、q簡(jiǎn)記為：其中：子午面上M-CM-C準(zhǔn)則的缺點(diǎn)：不能反映對(duì)屈服和破壞的影響；不能反映單純靜水壓力引起的屈服；屈服面帶棱角，不便于塑性應(yīng)變?cè)隽康挠?jì)算。4

Zienkiewice—Pande準(zhǔn)則（Z-P準(zhǔn)則）為了克服M-C準(zhǔn)則的棱邊或角尖，考慮到巖土屈服與靜水壓力的非線性關(guān)系和中間主應(yīng)力對(duì)強(qiáng)度的影響。Zienkiewice—Pande于1975年提出了Z-P準(zhǔn)則——π平面上屈服曲線形狀函數(shù)——系數(shù)；n——指數(shù)，一般取0、1、2k——屈服參數(shù)。為了π平面上屈服曲線光滑，且在與M-C準(zhǔn)則擬合，要求滿足以下條件：滿足上述條件的有多種選擇，其中一種簡(jiǎn)單的形式為：

M-C準(zhǔn)則的為：

Z-P準(zhǔn)則在子午面上一般取曲線，即n=2，并以M-C準(zhǔn)則作為漸近線，則有取雙曲線時(shí)方程為或?qū)懗上率脚cZ-P準(zhǔn)則對(duì)比可得因得代入上式得除上述雙曲線外，還可以取為拋物線和橢圓線5霍克—布朗（Hoek-Brown）準(zhǔn)則——破壞時(shí)的最大主應(yīng)力；——作用在巖石上的最小主應(yīng)力；——巖石的單軸抗壓強(qiáng)度；——取決于巖石性質(zhì)的材料常數(shù)?；艨恕祭蕼?zhǔn)則是在大量試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上提出的經(jīng)驗(yàn)型強(qiáng)度準(zhǔn)則，屬于非線性強(qiáng)度準(zhǔn)則。當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：材料常數(shù)mi根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果或查下表凝灰?guī)r（15）角礫巖(18)集塊巖（20）噴出火成碎屑物蘇長(zhǎng)巖22玄武巖（17）粗玄巖（19）輝長(zhǎng)巖27暗色的安山巖19閃長(zhǎng)巖（28）英安巖（17）花崗閃長(zhǎng)巖（30）黑曜巖（19）流紋巖（16）花崗巖33淺色的火成巖板巖9千枚巖（10）片巖（10）片麻巖33層狀的糜棱巖（6）閃巖31混合巖(30)石英巖24角頁巖（19）大理巖9非層狀的變質(zhì)巖硬石膏13石膏石16化學(xué)的灰?guī)r8灰?guī)r（10）角礫巖（20）碳酸鹽（8-21）有機(jī)的非碎屑狀（18）粘土巖4粉砂巖9砂巖19礫巖（22）碎屑狀沉積巖微粒細(xì)粒中粒粗粒巖

石

組

織組類巖石類型6德魯克—普拉格（Drucker-Prager）準(zhǔn)則該準(zhǔn)則是在莫爾—庫侖準(zhǔn)則和VonMises準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上提出。

③當(dāng)為M-C外接圓②當(dāng)為M-C內(nèi)接圓①當(dāng)為M-C內(nèi)切圓如圖所示為平面上的M-C準(zhǔn)則和D-P準(zhǔn)則，建立圖示x-y直角坐標(biāo)系，①試導(dǎo)出用x、y表達(dá)的D-P準(zhǔn)則（D-P準(zhǔn)則：，I1為應(yīng)力第一不變量，J2為應(yīng)力偏量第二不變量）②若M-C準(zhǔn)則的內(nèi)聚力為c，內(nèi)摩擦角為，試求平面上D-P內(nèi)接、外接、內(nèi)切圓的半徑?！菊n堂練習(xí)】2.4.2理論性強(qiáng)度準(zhǔn)則1

一維格里菲斯(Griffith)準(zhǔn)則——材料的表面比能；E——材料的彈性模量。

1921年Griffith根據(jù)單個(gè)裂隙開裂條