新人教版八年級(jí)下冊(cè)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)和典型例題講解

一次函數(shù)圖象和性質(zhì)一知要：1、一次函數(shù)：形如y=kx+b0,k,b為數(shù)的函數(shù)。注意：（）≠0,否則自變量x的最高次項(xiàng)的系數(shù)不為1（）b=0時(shí)，y=kx，y叫x的比例函數(shù)。2、圖象：一次函數(shù)的圖象是一直線，兩個(gè)常有的特殊點(diǎn)：與y軸交于0，b）；與x交于-，）由圖象可以知道，直線y=kx+b與直y=kx平，例如直線y=2x+3與線y=2x-5都與直線平。3、性質(zhì)：(1)圖象的位置:(2)增減性時(shí)，y隨x增而增大時(shí)，y隨x增而減小4．求一次函數(shù)解析式的方法求函數(shù)解析式的方法主要有三種由已知函數(shù)推導(dǎo)或推證由實(shí)際問(wèn)題列出二元方程，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，此類題一般在沒(méi)有寫出函數(shù)解析式前無(wú)法（或不易）判斷兩個(gè)變量之間具有什么樣的函數(shù)關(guān)系。用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式。1“待定系數(shù)法的本思想就是程思想，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程（組決，題目的已知恒等式中含有幾個(gè)等待確定的系數(shù)，一般就需列出幾個(gè)含有待定系數(shù)的方程，本單元構(gòu)造方程一般有下列幾種情況：①利用一次函數(shù)的定義構(gòu)造方程組。利用一次函數(shù)y=kx+b中數(shù)項(xiàng)b恰函數(shù)圖象與軸交的縱坐標(biāo)b來(lái)點(diǎn)；直線平于y=kx，即由定方向。利用函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)滿足此函數(shù)解析式構(gòu)造方程。利用題目已知條件直接構(gòu)造方程二例舉：例．知y=，中=(k≠0的常)，正比例。

與

成正比例，求證y與x也證明：∵設(shè)

與=a

成正比例，(a≠0的數(shù),∵∴

,·

=(k≠的常)=akx，其中ak≠0的常，∴與x也成正比例。例．已知一次函數(shù)

=(n-2)x+-n-3的圖象與y軸點(diǎn)的縱坐標(biāo)-，判斷=(3-)置及增減性。

是什么函數(shù)，寫出兩個(gè)函數(shù)的解析式，并指出兩個(gè)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的位解：依題意，得解得，∴=-3x-1,2=(3-)x,

是正比例函數(shù)；=-3x-1的象經(jīng)過(guò)第二、三、四限，=(3-)x的圖象經(jīng)過(guò)第一、三限，

隨x的增大而減??；隨x的大而增大。說(shuō)由于一次函數(shù)的解析式含有待定系數(shù)求解析式的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于n的方程，此題利用“一次函數(shù)解析式的常數(shù)項(xiàng)就是圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)”來(lái)構(gòu)造方程。例．直y=kx+b直線y=5-4x平，且與直線y=-3(x-6)相，交點(diǎn)在y軸，求此直線解析式。分析直線y=kx+b的位置由系數(shù)k來(lái)決來(lái)方向b來(lái)與y軸交點(diǎn)，若兩直線平行，則解析式的一次項(xiàng)系數(shù)k相等例y=2x,y=2x+3的圖平行。解：∵y=kx+b與y=5-4x平，∴k=-4,∵y=kx+b與y=-3(x-6)=-3x+18相于軸，∴b=18，∴。說(shuō)：次函數(shù)y=kx+b象的位置由系數(shù)k、來(lái)定：由k來(lái)方向，由b來(lái)定，即函數(shù)圖象平行于直線，過(guò)0,點(diǎn)，反之亦成立，即由函數(shù)圖象方向定k，由與y軸交點(diǎn)定b。例．直與x軸于點(diǎn)（-4，）與軸交點(diǎn)B，點(diǎn)B到x軸距為，求直線的解析式。解：∵點(diǎn)B到x軸距離為2，∴點(diǎn)B的標(biāo)為（，±）設(shè)直線的解析式為y=kx±2,∵直線過(guò)點(diǎn)A（-4，），∴0=-4k±解得：k=±,∴直線AB的解式為

或y=-x-2.說(shuō)：例看起來(lái)很簡(jiǎn)單但實(shí)際上隱含了很多推理程這些推理是求一次函數(shù)解析式必備的。3圖象是直線的函數(shù)是一次函數(shù)；直線與y軸交B點(diǎn)，則點(diǎn)B（，點(diǎn)B到x軸離為2，||=2

）；（）B的坐標(biāo)等于直線解式的常數(shù)項(xiàng)，即b=

；（）知直線與y軸點(diǎn)的縱標(biāo)

，可設(shè)y=kx+

，下面只需待定k即。例．已一函數(shù)的圖象，交于（-60），交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B且點(diǎn)B在三象限，它的橫坐標(biāo)-，△AOB面積為6方單位，求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。分析：自畫草圖如下：解：設(shè)正比例函數(shù)y=kx，一次函數(shù)y=ax+b，∵點(diǎn)B在三象限，橫坐標(biāo)-，設(shè)B（-2，

），其中<0，∵∴∴

=6，AO·=-2，

|=6，把點(diǎn)B（-2，）入正比例函y=kx得k=1把點(diǎn)A（-6，）、B（-2，）入y=ax+b得解得：∴y=-x-3即所求。說(shuō)：）此例需要利用正比例函數(shù)、一次函數(shù)定義寫出含待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)式，注意兩個(gè)函數(shù)中的系數(shù)要用不同字母表示；4（）例需要把條件（面積）轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B的標(biāo)。這個(gè)轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)含有兩步：一是利用面積公式AO（點(diǎn)B作BDAO于D計(jì)算出線段長(zhǎng)，利||=BD及點(diǎn)B在第三象限計(jì)算出=-2。去掉第三象限的條件，想一想點(diǎn)B的置有幾種可能，結(jié)果會(huì)有什么變化答兩種可B可在第二象-2果增加一組y=-x,(x+3).例．知正比例函數(shù)y=kx(k<0)圖象上的一與原點(diǎn)的距離等于13過(guò)這點(diǎn)向x軸作垂線，這點(diǎn)到垂足間的線段和x軸及該圖象圍成的圖形的面積等于30，求這個(gè)正比例函數(shù)的解析式。分析：畫草圖如下：則OA=13，=30，則列方程求出點(diǎn)A的標(biāo)即可。解1設(shè)圖象上一點(diǎn)（x,）滿足解得：；；；代入y=kx(k<0)得

,k=-.∴x或y=-

x。解2設(shè)圖象上一點(diǎn)（a,）滿足5由（2）得=-,代入（），得1+

)·)=.整理，得60解得k=-

+169k+60=0.或k=-.∴y=-

x或y=-

x.說(shuō)：于題目已經(jīng)給定含有待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)式y(tǒng)=kx，中k為定系數(shù)，故解此例的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于k的方此給出的兩個(gè)解法代表兩種不同的思路法1是已知條件先轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)造方程解出再解法2是進(jìn)輔助未知數(shù)a，利用勾股定理、三角形面積公式直接構(gòu)造關(guān)于k的方程組，解題時(shí)消去a，求出k值例．在直角坐標(biāo)系x0y，一次函數(shù)y=x+

的圖象與x軸y軸分別交于、B兩，點(diǎn)C坐為10），D在x軸，且BCD=，求圖象經(jīng)過(guò)B、D兩的一次函數(shù)的解析式。分：已知可得A點(diǎn)坐（-30B點(diǎn)（，點(diǎn)是確的（0，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)D的標(biāo)，由點(diǎn)上，以BCD=∠的件，結(jié)合畫草圖可知∠BCD的邊BC確，頂點(diǎn)C確，但邊CD可有兩個(gè)方向，即點(diǎn)D可在C點(diǎn)側(cè)，也可以在C點(diǎn)側(cè)，因此解此題要分討論。解A分是直線y=x+∴（，），B（，）

與x軸和y軸交點(diǎn)，∵點(diǎn)C坐（，）勾股定理得BC=設(shè)點(diǎn)D的標(biāo)為（），（）點(diǎn)D在C點(diǎn)側(cè)，即時(shí)，

，AB=，6∵∠BCD=∠ABD，∠BDC=∠ADB，∴△BCD∽△，∴=∴=---①∴=∴-22x+5=0∴=,x=,經(jīng)檢驗(yàn)x=,x=,都是方①的根?！?不合題意，∴舍去。x=，∴點(diǎn)標(biāo)為（,0）。設(shè)圖象過(guò)B、兩點(diǎn)一次函數(shù)解析式為y=kx+b∴∴所求一次函數(shù)為x+（）點(diǎn)D在C左則x<1，可證△∽△ADB，∴∴---②∴-18x-5=0∴=-,x=,7經(jīng)檢驗(yàn)x=-

,x=,都是方程②的根。∵=

不合題意舍去，x

,∴點(diǎn)標(biāo)為（

,0），∴圖象過(guò)B、（,0）兩點(diǎn)一次函數(shù)解析式為y=4x+綜上所述，滿足題意的一次函數(shù)為x+

或y=4x+.例．已知：如圖一次函數(shù)y=x-3的圖象與x軸、y軸分交于A、B兩，點(diǎn)C（，）AB的垂線交AB于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)D求點(diǎn)D、E的坐。解：直線y=x-3與x軸交點(diǎn)A，），與軸于點(diǎn)B（，-3），∴OA=6，OB=3，∵⊥，⊥，∴∠ODC=∠OAB，