小學思維數學講義：乘法原理之染色問題-帶詳解

乘法原理之染問題教學目使學生掌握乘法原理主要內容，掌握乘法原理運用的方法；使學生分清楚什么時候用乘法原理，分清有幾個必要的步驟，以及各步之間的關系．培養(yǎng)學生準確分解步驟的解題能力；乘法原理的數學思想主旨在于分步考慮問題，本講的目的也是為了培養(yǎng)學生分步考慮問題的習．知識要一、乘法原理概念引入老師周六要去給同學們上課得家出發(fā)到長寧上點的課得到黃埔上下午點的課果說申老師的家到長寧有可選擇的交通工具（公交、地鐵、出租車、自行車、步行），然后再從長寧到黃埔有可選擇的交通工具（公交、地鐵），同學們，你們說老師從家到黃埔一共有多少條路線？我們看上面這個示意圖，老師必須先的到長寧，然后再到黃埔．這幾個環(huán)節(jié)是必不可少的，老是一定要先到長寧上完課，才能去黃埔的．在沒學乘法原理之前，我們可以通過一條一條的數，把線找出來，顯而易見一共是條路線但要是老師從家到長寧有25可選擇的交通工具并且從長寧到黃埔也有30可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數，恐怕是要耗費很多的時間了．這個時候們的乘法原理就派上上用場了．二、乘法原理的定義完成一件事，這個事情可以分成必不可少的步驟（比如說老師從家到黃埔，必須要先到長寧，那么一共可以分成兩個必不可少的步驟，一是從家到長寧，二是從長寧到黃埔），第1步種同的方法，第二步有B不同的方法…，n步有種同的方法．么完成這件事情一共有A×N種同的方法．結合上個例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事，需要2個驟，第步從家到長寧，一共5種選擇；第2步長寧到黃埔，一共2種選擇；那么老師從家到黃埔一共有個選擇的路線了，即條．三、乘法原理解題三部曲完成一件事分N個要步驟；每步找種數（每步的情況都不能單獨完成該件事）；步步相乘四、乘法原理的考題類型路線種類問——比如說老師舉這個例子就是個路線種類問題；字的染色問——比如說要個后5種色可以給每個字然后個字有多少種染色方法；、地圖的染色問—同學們可以回家看地圖，比如中國每個省的染色情況，給你幾種顏色，問你一張1包括幾個部分的地圖有幾種染色的方法；排隊問——比如說個同學，排成一個隊伍，有多少種排法；數碼問——就是對一些數字的列如說給你幾個數字后排個幾為數的偶數多少種排法．例題精【】地上，，，D四國如下圖)，有、、三顏給圖色使鄰國的色同但是種色必要，有少染方？C

D【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】有3種色可選；當，C取相同的顏色時，有種色可選，此時D也種色可選．根據乘法原理，不同的涂法有3種當BC取同的顏色時有2種色選C僅1種顏色可選時也有顏色可(與A相同．根據乘法原理，不同的涂法有3種綜上，根據加法原理，共有1種同的涂法．【答案】18【固如有、、、四顏給題的圖染，相國的色同但是種色必要，有少染方？【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】第一，首先對進染色一共有種方法，然后對C進染色，如果取同的顏色，三種方式，D剩種式，如果B、C不同顏色，有3種方法剩下2種法，對該圖的染色方法一共有4種法．【意給地圖染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，有的需要分類解決，前者分類做可以解決問題．【答案】【】在圖每區(qū)內上、B、、D四種色一使得個里恰四顏，一有__________種同染方．

【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】因為個圓內個域上染的顏色都不相同，所以一個圓內的個域一共有種色方法右圖所示當一個圓內的2、3、4四個區(qū)域的顏色染定后于號區(qū)域的顏色不能與2、、三區(qū)域的顏色相同，所以只能與1號域的顏色相同，同理區(qū)域只能與4號域的顏色相同，7號域只能與2號區(qū)域的顏色相同，所以當1、2、3、四個區(qū)域的顏色染定后，其他區(qū)域的顏色也就相應的只有一種染法，所以一共有24種同的染法．【答案】【】如，圖有A，，D四個家現(xiàn)五顏給地染，使鄰家顏不同有少不染方?2AB

【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】為了要求給地圖上的四個國家染色，我們可以分四步來完成染色的工作：第一步：給染，有種色可選．第二步：給色，由于不能與A同，所以有4種色可選．第三步：給C染，由于不能與A、同色，所以C有3種色可選．第四步：給染，由于D不與BC同，但可以與A同，以3種色可選．根據分步計數的乘法原理，用5顏色給地圖染色共有5180種同的染色方法．【答案】180【固如，張圖有個家，B，，DE，現(xiàn)在求四不的色分不國，要相的家能用一顏，不的家以用—種顏，那這地有少色方？D

C【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】第一，給A國色，可以任選顏色，有四種選擇；第二步，給國上色，國不能使用A國顏色，有三種選擇；第三步，給C國上色，國B，兩國相鄰，所以不能使A，B國顏色，只有兩種選擇；第四步，給D國上色，D國B，C兩相鄰，因此也只有兩種選擇；第五步，給國色，國與C，D國相鄰，有兩種選擇．共496種色方法【答案】96【】如：一紙如操，、橫將劃相的塊二、豎將邊區(qū)劃相等兩，、橫將右方區(qū)分相的塊四用豎將右方區(qū)劃相等兩……，此進步作問如用四顏對一形行色要相區(qū)顏色同應有少不的色法【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】對這紙的操作一共進了，每次操作都增加了一個區(qū)塊，所以8操作后一共有9個塊，我們對這張紙，進行染色就需要9個驟，從最大的區(qū)塊從大到小開始染色，每個步驟地染色方法有：、3、22、2…，所以一共有：種【答案】1536【固用種色涂圖示三區(qū)要相的域不的色，么有種同涂？3【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】涂三毫無疑問是分成步．第一步，涂A部，那么就有三種顏色的選擇；第二步，涂B部，由于要求相鄰的區(qū)域涂不同的顏色A和相，當A確定了一種顏色后B只有兩種顏色可選擇了；第三步，涂部，和A、B都鄰A和B確定了兩種不相同的顏色，那么C只有一種顏色可選擇了．然后再根據乘法原理．3【答案】6【】如，一地上五國，在用種色這幅圖進染，相的家染的色同不鄰國的色以同那一可有少種色法【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】這一題實際上就是例，因為兩幅圖各個字母所代表的國家的相鄰國家是相同的，如果將本題中的地圖邊界進行直角化就會轉化為原題這幅地圖染色同樣一共有96方法．【論如染色步驟為-D-,么應該該如何解答？答案：也是496種法如果染色步驟為D-E那么應該如何解答？答案色的前步一共有4×3種方法染第三步時需要分類討論，如果與顏相同，那么B有2種法，也有種方法，如果D與A染不同的顏色，那么D染法那么只一種染法，有染法，所以一共應該有4種法(師應該向學生說明第三個步驟用到了分討論和加法原理，加法原理在下一講中將會講授，染色步驟選擇的經驗方法：每一步驟所染的區(qū)塊應該盡量和之前所染的區(qū)塊相鄰．【答案】96【固某海市轄7個，7個縣位如圖現(xiàn)紅黑綠、、五顏給圖色要任相的個染同色共多種同染方法【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】為了于分析，把地圖的7個分別編為A、、C、D、E、FG如左下圖．B

ADF為了便于觀察，在保持相鄰關系不變的情況下可以把左圖改畫成右圖．那么，為了完成地圖染這件工作需要多少步?4由于有7個域，我們不妨按A、B、、D、、F、的順序，用紅、黑、綠、藍、紫五顏色依次分步來完成染色任務．第：先染區(qū)域，有種顏色可供選擇；第：再染區(qū)域由于B不與同色所以區(qū)域B的色方式有；第：染區(qū)域，由于不與B、同色，所以區(qū)域C的染色方式有3種；第：染區(qū)域D，由于D不與、A色，所以區(qū)域D的染色方式有；第：染區(qū)域，于E不與D、同色，所以區(qū)域E的色方式有；第：染區(qū)域F，于F不與EA同色，所以區(qū)域F的染色方式有；第：染區(qū)域G，于不能與C同，所以區(qū)域的色方式有3種．根據分步計數的乘法原理，共有4860種不同的染色方法．【答案】4860【】用種顏把個3的格染，要相行相列3個所的色不同一有種同染法【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】根據意可知，染完后個的方格表每一行和每列都恰有3個色．用3種顏色染第一行，有種法；染完第一行后再染第一列剩下的個方格，有種染法；當第一行和第一列都染好后，再根據每一行和每一列都恰有個顏色對剩下的方格進行染色，可知其余的方格都只有唯一一種染法．所以，根據乘法原理，共有3種同的染法．【答案】6【】如圖有、、E五區(qū)，用種色區(qū)染，染要：相兩區(qū)不同，個域一．多種同染方？B

EAD【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】先采分步：第一步給染色，有種方法；第二步給染色，有種式；第三步給染，方式；第四步給D染，有3種式；第五步，給E染，由于E不與ABD色，但可以和同．此時就出現(xiàn)了問題：當D與同時有3種色可染；而當D與異色時E有顏色可染．所以必須從第四步就開始類：第一類D與同色．有3種色可染，共有5（）染色方式；第二類DB異D2種色可染E有種顏色可染，共有240（種）染色方式．根據加法原理，共有180240（種）染色方式．【注意】給圖形染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，但如果碰到有首尾相接的圖形往往要分類解決．【答案】【固如圖有，，D四個域現(xiàn)四顏給域色要相區(qū)的色不，個域一．多種色法

DC【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】有4種色可選，然后分：第一類：，D取同的顏色．有3種色可染，此時也種顏色可選．根據乘法原理，不同的染法有436（第二類：當，D取不同的顏色時，B有3種色染，C有2種顏色可染，此時也2種顏色可染．根據乘法原理，不同的染法有448種根據加法原理，共有48(種)色方法．5【答案】【固用種色右的個染，求鄰區(qū)域字不的色但是種色必要用問共多種同染方?學而奧

數思【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】第一給而上色，4種擇；然后對學染，學有種顏色可選；當奧，數取同的顏色時，有種色可選，此時思也種顏色可選不同的涂法有種；當奧，數取不同的顏色時“有2種色可選數”僅種顏色可選，此思也有1種顏色可選與學相)，不同的涂法有3種所以，根據加法原理，共有472種同的涂法．【答案】【】分用種色的一對圖ABD，，F(xiàn)個域色要相鄰區(qū)染不的色但是種色必要．：多種同染法

D【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】先按，BD，，E的次序染色，可供選擇的顏色次有5，，32，種，注意E與D的顏色搭配有3(種，其中有3和D同，6E和色．最后染F，與D同時有3種顏色可選，當E與異時有種顏色可選，所以共有5840種法．【答案】840【】將中eq\o\ac(○,)別成色、色綠，求線相的個鄰eq\o\ac(○,)不同的色共多種不涂？

C【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】如右圖ABC，D的色確定后正方形四個角上顏色就確定了以需求A，，CD有少種不同涂法．按先，再，D，C的順序涂色．按A-B-D-C的順序涂顏色：有3種色可選；當，D相同的顏色時，種顏色可選，此也2種色可選，不同的涂法；當D取同的顏色時，B有2種色可選，僅種色可選，此時C也只有1種色可選(與相)，不同的涂法有(種)．所以，根據加法原理，共有2種不同的涂法．【答案】18【】用種同顏色涂四體如，個都完相的三形的4個，不的面有同顏，有________不的法（正面任意轉仍不的色，6被為不的【考點】乘法原理之染色問題【度4星【型】填空【關鍵詞】迎春杯，中年級，復賽，第題【解析不轉時共有4×3×2×1=24種色方式，而一個正四面體4×3=12種置方法（個面中選1個作底面，再從剩余3個面中選個正面以每種染色方式被重復計算了12次則不同的染色方法有24÷12=2種【答案】2種【】用紅、、黃綠、5種顏中種或2種，種或種分涂正四體個上一面能兩，無個不色，共幾不涂方式【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】我們看正四面體四個的相關位置，當底面確定后面俯視）三個側面的順序有時針和逆時針兩種（當三個側面的顏色只有一種或兩種時，順時針和逆時針的顏色分布是相同的按使用了的顏色種數分類：第一類：用了種顏色．第一步，選種色，相當于選不用，有5種法．第二步，如果取定顏色涂于面上，有2種法．這一類有5（）涂法；第二類：用了種顏色．第一步，選種色，相當于選不用，有（）選法；第二步，取定種色如紅、橙、黃色涂于4個上，有方法，如下①（中用數字1，，3分表示紅、橙、黃3色．這一類有1060（種）涂法；第三類：用了顏色．第一步，選種顏色，有（）選法；第二步，取2種顏色如紅、橙2色涂于面上，有3種方法，如下④⑤⑥這一類有（種）涂法；第四類：用了一種顏色．第一步選種色有5種法；第二步，取定顏色涂于個面上，只有方法．這一類5（）涂法．根據加法原理，共10（種）不同的涂色方式．【答案】【】用紅黃藍種顏對個方進染使鄰顏不一有少方法如有、黃藍綠種色正體行色相面色同共多少方？果五顏去染有少？(注正體能轉旋)【考點】乘法原理之染色問題【度【題型】解答【解析】如果共只有三種顏色染色，那么正方體的相對表面只能涂上一種顏色，一共有上下、左右、前后一共三組對立面，所以染色的方法有種法．如果有四種顏色，那么染色方法可分為兩類，一類是從四種顏色中選取三種對正方體進行染色一共有424種．另一種是四種顏色都染上，用這種染色方法，就允許有一組相對表面可以染上7不同的顏色，選取這組相對表面并染上不同顏色一共有3方法，用其余兩種顏色去染其他四個面只有2種法，共3672種所以一共有72種方法．