惠州學院彭文娟老師通信原理課件 第二章 信號

第二章信號主講人:彭文娟精品資料信號表示s(t)=A(t)cos(ωt+φ(t))2.1信號的類型：1.隨機(suíjī)信號與確知信號2.能量信號與功率信號精品資料2.1信號(xìnhào)的類型一.隨機信號與確知信號隨機信號無法事先預知的信號。載有信息(xìnxī)的信號與干擾信號的噪音確知信號任何時候都確定的信號?？梢杂么_定的時間函數(shù)表示。用作載波信號，來攜帶傳遞隨機信號精品資料2.1信號(xìnhào)的類型1.信號的功率:設R=1,則P=V2/R=I2R=V2=I22.信號的能量：設S代表V或I，若S隨時間變化，則寫為s(t)，于是(yúshì)，信號的能量為瞬時功率的積分，即E=s2(t)dt二、能量信號和功率信號精品資料2.1信號(xìnhào)的類型能量信號：滿足(mǎnzú)平均功率：，故能量信號的P=0。功率信號：P0的信號，即持續(xù)時間無窮的信號。3.能量信號和功率信號的定義精品資料2.1信號(xìnhào)的類型能量信號(xìnhào)的能量有限，但平均功率為0。功率信號(xìnhào)的平均功率有限，但能量為無窮大。3.能量信號和功率信號的特點例1：下面兩個信號各是能量信號還是功率信號？精品資料幾個常用的確知信號(xìnhào)1.矩形脈沖函數(shù)2.抽樣函數(shù)

2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)

t10π

2π

-π

-2π

Sa(t)tT0-τ/2τ/2g(t)精品資料2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)3.階躍函數(shù)(hánshù)4.沖激函數(shù)(hánshù)

t0δ(t)

t10u(t)精品資料2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)一、頻域性質(zhì)1.功率信號的頻譜設s(t)為周期(zhōuqī)性功率信號，T0為周期(zhōuqī)，則有

式中，0=2/T0=2f0 ∵C(jn0)是復數(shù)，∴ 式中，|Cn|－頻率為nf0的分量的振幅； n－頻率為nf0的分量的相位。信號s(t)的傅里葉級數(shù)表示法：

特點：頻譜是離散的，包含各次諧波的振幅和相位精品資料【例2.1】試求周期性方波的頻譜。 解：設一周期性方波的周期為T，寬度(kuāndù)為，幅度為V

其頻譜為：

2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)tV0-τ/2τ/2T-Tf(t)精品資料例2.1頻譜圖2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)精品資料 設一能量(néngliàng)信號為s(t)，則其頻譜密度為：

S()的逆變換為原信號：

2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)2.能量信號的頻譜密度精品資料【例2.3】試求一個(yīɡè)矩形脈沖的頻譜密度。 解：設此矩形脈沖的表示式為：

則它的頻譜密度就是它的傅里葉變換2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)t10-τ/2τ/2g(t)ω

02π/τ

τ-2π/τ

-4π/τ

4π/τ

G(ω)精品資料 【例2.4】試求抽樣函數(shù)的波形和頻譜密度。 解：抽樣函數(shù)的定義是

而Sa(t)的頻譜密度為：

和上例比較(bǐjiào)可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲線相同，而Sa(t)的頻譜密度Sa()的曲線和上例中的g(t)波形相同。2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)精品資料【例2.5】單位沖激函數(shù)(hánshù)及其頻譜密度。解：單位沖激函數(shù)(hánshù)常簡稱為函數(shù)(hánshù)，其定義是：(t)的頻譜密度：2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)精品資料(t)及其頻譜密度(mìdù)的曲線：函數(shù)的物理意義： 高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為1的脈沖。f(f)10t(t)02.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)精品資料【例2.6】試求無限長余弦波的頻譜密度。 解：設一個余弦波的表示(biǎoshì)式為f(t)=cos0t，則其頻譜密度F()按式(2.2-10)計算，可以寫為上式可以改寫為2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)精品資料2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)t0－00(b)頻譜密度(a)波形精品資料3.能量譜密度 設一個能量信號s(t)的能量為E，則其能量由下式?jīng)Q定(juédìng)：

若此信號的頻譜密度為S(f)，則由巴塞伐爾（Parseval）定理得知：

上式中|S(f)|2稱為能量譜密度，也可以看作是單位頻帶內(nèi)的信號能量。 2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)精品資料上式可以(kěyǐ)改寫為：

式中，G(f)＝|S(f)|2（J/Hz）為能量譜密度。G(f)的性質(zhì)：因s(t)是實函數(shù)，故|S(f)|2是偶函數(shù)∴

2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)精品資料4.功率譜密度(mìdù) 令s(t)的截短信號為sT(t)，-T/2<t<T/2，則有 定義功率譜密度(mìdù)為：

得到信號功率：2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)精品資料0t圖

單邊指數(shù)函數(shù)精品資料二、時域性質(zhì)(xìngzhì)1.自相關函數(shù)能量信號的自相關函數(shù)定義：功率信號的自相關函數(shù)定義：性質(zhì)(xìngzhì)：R()只和有關，和t無關當=0時，能量信號的R()等于信號的能量； 功率信號的R()等于信號的平均功率。2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)精品資料2.互相關函數(shù)能量(néngliàng)信號的互相關函數(shù)定義：功率信號的互相關函數(shù)定義：性質(zhì)：R12()只和有關，和t無關：證：令x=t+，則2.2確知信號(xìnhào)性質(zhì)精品資料2.3隨機(suíjī)信號的性質(zhì)概念:數(shù)字通信系統(tǒng)中，發(fā)送端送出的信息系統(tǒng)是不可知的，具有不確定性。噪聲也是。所以我們研究通信系統(tǒng)采用隨機變量來替代(tìdài)上述信號。今天晚上8：00去看電影吧！……今天晚上8：00去看電影吧！精品資料一、隨機變量的概率分布(復習概率統(tǒng)計課程相關內(nèi)容(nèiróng))1.隨機變量的概念若某種試驗A每一次取值都是隨機的、不確定的，則稱這一次試驗為隨機事件，若其隨機結果用X表示，則稱此X為一個隨機變量，并設它的取值為x。例如，在一定時間內(nèi)電話交換臺收到的呼叫次數(shù)是一個隨機變量。2.隨機變量的分布函數(shù)FX(x)3.隨機變量的概率密度pX(x)精品資料2.4常見隨機變量(suíjībiànliànɡ)舉例一、正態(tài)分布隨機變量定義：概率密度式中，>0,a=常數(shù)(chángshù)概率密度曲線：精品資料二、均勻分布隨機變量定義：概率密度

式中，a，b為常數(shù)(chángshù)。概率密度曲線：bax0pA(x)2.4常見隨機變量(suíjībiànliànɡ)舉例精品資料三、瑞利(Rayleigh)分布隨機變量(suíjībiànliànɡ)定義：概率密度為式中，a>0，為常數(shù)。概率密度曲線：2.4常見(chánɡjiàn)隨機變量舉例2.5隨機變量的數(shù)字特征（請自行復習概率統(tǒng)計相關內(nèi)容。）精品資料2.6隨機(suíjī)過程概念：隨機信號隨時間t變化的隨機變量。它可以看成是由一個事件A的全部(quánbù)可能“實現(xiàn)”構成的總體，記為X(A,t)。平穩(wěn)隨機過程：隨機過程的統(tǒng)計特性與時間起點無關的隨機過程。它也屬于一種“隨機過程”。圖中畫出了其3個樣本，這種隨機過程的樣本空間有無窮多個。注意：每一個樣本都是一個關于時間的函數(shù)，即一個實現(xiàn)X(Ai,t)

這是在一個電阻上測量到的熱噪聲精品資料31精品資料32精品資料33精品資料2.6隨機(suíjī)過程平穩(wěn)隨機過程的自相關(xiāngguān)函數(shù)和功率譜密度1.自相關(xiāngguān)函數(shù)a.b.c.d.e.精品資料2.6隨機(suíjī)過程2.功率頻譜密度的性質(zhì)(1)確知信號的功率譜密度：(2)類似(lèisì)地，平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度為：

(3)平均功率精品資料3.自相關函數(shù)和功率譜密度的關系(guānxì) 由 式中，令=t–t’，k=t+t’，則上式可以化簡成于是有2.6隨機(suíjī)過程精品資料上式表明(biǎomíng)，平穩(wěn)隨機過程PX(f)和R()是一對傅里葉變換：4.PX(f)的性質(zhì)：a.PX(f)0,并且PX(f)是實函數(shù)；b.PX(f)＝PX(-f)，即PX(f)是偶函數(shù)。2.6隨機(suíjī)過程精品資料平穩(wěn)(píngwěn)隨機過程PX(f)和R()是一對傅里葉變換：精品資料【例2.10】試求白噪聲的自相關函數(shù)和功率譜密度。 解：白噪聲是指具有均勻功率譜密度Pn(f)的噪聲，即Pn(f)＝n0/2，式中，n0為單邊功率譜密度（W/Hz），白噪聲的自相關函數(shù)可以從它的功率譜密度求得: 由上式看出，白噪聲的任何(rènhé)兩個相鄰時間（即0時）的抽樣值都是不相關的。 白噪聲的平均功率: 上式表明，白噪聲的平均功率為無窮大。Pn(f)n0/20fRn()n0/202.6隨機(suíjī)過程精品資料2.6隨機(suíjī)過程【例2.11】帶限白噪聲的功率譜密度和自相關函數(shù)。解：帶限白噪聲：帶寬受到限制的白噪聲帶限白噪聲的功率譜密度： 設白噪聲的頻帶(píndài)限制在(-fH,fH)之間，則有

其自相關函數(shù)為：波形：

n0/2Pn(f)0f-fHfHRn()01/2fH-1/2fH返回精品資料2.7高斯過程(guòchéng)（熱噪聲）概念：高斯過程(guòchéng)的一維概率密度函數(shù)服從正態(tài)分布--正態(tài)隨機過程(guòchéng)。2.8窄帶隨機過程(guòchéng)由于通信系統(tǒng)的帶通特性，信號和噪聲的頻帶都受限。若隨機過程(guòchéng)頻帶寬度為△f，中心頻率為f0，若，則為窄帶隨機過程(guòchéng)。例：4G技術TD-LTE中心頻率f0為2.3~2.4GHz，每個移動終端（手機）最大頻帶寬度△f=20MHz，接收信號明顯為窄帶隨機過程(guòchéng)。精品資料2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)一、線性系統(tǒng)的基本概念1.線性系統(tǒng)的特性有一對輸入端和一對輸出端無源無記憶(jìyì)非時變有因果關系：先有輸入、后有輸出有線性關系：滿足疊加原理和均勻性若當輸入為xi(t)時，輸出為yi(t)，則當輸入為

時，輸出為：式中，a1和a2均為任意常數(shù)。精品資料2.線性系統(tǒng)的示意圖線性系統(tǒng)輸入輸出x(t)y(t)X(f)Y(f)h(t)H(f)t(t)h(t)t002.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)：精品資料

二、確知信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)1.時域分析法 設h(t)－系統(tǒng)的沖激響應 x(t)－輸入信號(xìnhào)波形 y(t)－輸出信號(xìnhào)波形 則有：2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料2.頻域分析法（1）設：輸入為能量信號，令 x(t)－輸入能量信號 H(f)－h(huán)(t)的傅里葉變換(biànhuàn) X(f)－x(t)的傅里葉變換(biànhuàn) y(t)－輸出信號則此系統(tǒng)的輸出信號y(t)的頻譜密度Y(f)：由Y(f)的逆傅里葉變換(biànhuàn)可以求出y(t)：2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料（2）設：輸入x(t)為周期性功率信號，則有

式中，0=2/T0；T0－信號的周期f0=0/2是信號的基頻

輸出為：

（3）設：輸入x(t)為非周期性功率信號，則當作隨機(suíjī)信號處理。2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料【例2.11】若有一個RC低通濾波器，如圖所示。試求出其沖激響應，以及當有按指數(shù)衰減的輸入時其輸出信號表示式。 解:設x(t)－輸入能量信號 y(t)－輸出能量信號 X(f)－x(t)的頻譜密度 Y(f)－y(t)的頻譜密度 則此電路(diànlù)的傳輸函數(shù)為：

此濾波器的沖激響應h(t)：2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)RCx(t)y(t)精品資料2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料 濾波器輸出和輸入(shūrù)之間的關系：

假設輸入(shūrù)x(t)等于： 則此濾波器的輸出為：2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料3.無失真?zhèn)鬏敆l件(tiáojiàn) 系統(tǒng)是無失真的線性傳輸系統(tǒng)，輸入信號為x(t)，則其無失真輸出信號y(t)為： 式中，k－衰減常數(shù)， td－延遲時間。假設信號x(t)為能量信號，輸出信號必然也是能量信號，則系統(tǒng)的傳輸函數(shù)：

∴式中，2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料 無失真?zhèn)鬏敆l件：振幅特性與頻率無關；相位特性是通過原點的直線。 （實際(shíjì)中，難測量，常用測量td代替。）|H(f)|k0ff02.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料

三、隨機信號通過(tōngguò)線性系統(tǒng)1.物理可實現(xiàn)線性系統(tǒng)，若輸入為確知信號，則有若輸入為平穩(wěn)隨機信號X(t)，則輸出Y(t)為2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料

2.輸出Y(t)的數(shù)學(shùxué)期望E[Y(t)]

由于已假設輸入是平穩(wěn)隨機過程，故

∵ ∴輸出的數(shù)學(shùxué)期望：E[X(t-)]=E[X(t)]=k，k=常數(shù)(chángshù)。2.10信號通過線性系統(tǒng)精品資料3.輸出Y(t)的自相關函數(shù) 由自相關函數(shù)定義，有 由X(t)的平穩(wěn)性知，上式中的數(shù)學期望(qīwàng)與t1無關，故有

∴由于Y(t)的數(shù)學期望(qīwàng)和自相關函數(shù)都和t1無關，故Y(t)是廣義平穩(wěn)隨機過程。2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料4.輸出Y(t)的功率譜密度PY(f)： 由于功率譜密度是自相關(xiāngguān)函數(shù)的傅里葉變換，故有

令=+u–v代入上式，得到

∴輸出信號的功率譜密度等于輸入信號的功率譜密度乘以|H(f)|2。2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料 【例2.12】已知一個白噪聲(zàoshēng)的雙邊功率譜密度為n0/2。試求它通過一個理想低通濾波器后的功率譜密度、自相關函數(shù)和噪聲(zàoshēng)功率。 解：因為理想低通濾波器的傳輸特性可以表示成：

所以有：

2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料輸出信號(xìnhào)的功率譜密度為：輸出信號(xìnhào)的自相關函數(shù)：

輸出噪聲功率PY＝RY(0)=k2n0fH2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)精品資料 5.輸出隨機過程Y(t)的概率分布結論：高斯(ɡāosī)隨機過程通過線性系統(tǒng)后輸出仍為高斯(ɡāosī)隨機過程。2.10信號(xìnhào)通過線性系統(tǒng)返回精品資料2.7高斯過程(guòchéng)（正態(tài)隨機過程(guòchéng)）（自學）一、定義：1.一維高斯過程的概率密度： 式中，a=E[X(t)]為均值 2=E[X(t)-a]2為方差 為標準偏差∵高斯過程是平穩(wěn)(píngwěn)過程，故 其概率密度pX(x,t1)與t1無關 即，pX(x,t1)＝pX(x)pX(x)的曲線：精品資料2.高斯(ɡāosī)過程的嚴格定義：任意n維聯(lián)合概率密度滿足： 式中，ak為xk的數(shù)學期望（統(tǒng)計平均值）；k為xk的標準偏差；|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即

|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余子式；bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即2.7高斯(ɡāosī)過程精品資料3.n維高斯(ɡāosī)過程的性質(zhì)(1)pX(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)僅由各個隨機變量的數(shù)學期望ai、標準偏差i和歸一化協(xié)方差bjk決定，因此它是一個廣義平穩(wěn)隨機過程。(2)若x1,x2,…,xn等兩兩之間互不相關，則有當jk時，bjk=0。這時，即，此n維聯(lián)合概率密度等于各個一維概率密度的乘積。2.7高斯(ɡāosī)過程精品資料3.n維高斯過程(guòchéng)的性質(zhì)注意：若兩個隨機變量的互相關函數(shù)等于零，則稱為兩者互不相關；若兩個隨機變量的二維聯(lián)合概率密度等于其一維概率密度之積，則稱為兩者互相獨立?；ゲ幌嚓P的兩個隨機變量不一定互相獨立。互相獨立的兩個隨機變量則一定互不相關。(3)高斯過程(guòchéng)的隨機變量之間既互不相關，又互相獨立。2.7高斯(ɡāosī)過程精品資料二、正態(tài)概率密度的性質(zhì)1.p(x)對稱于直線x=a，即有：2.p(x)在區(qū)間(-,a)內(nèi)單調(diào)上升，在區(qū)間(a,)內(nèi)單調(diào)下降，并且在點a處達到(dádào)其極大值3.當x-或x+時，p(x)0。4.5.若a=0,=1，則稱這種分布為標準化正態(tài)分布：2.7高斯(ɡāosī)過程精品資料三、正態(tài)分布函數(shù)將正態(tài)概率密度函數(shù)的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)：式中，(x)稱為概率積分函數(shù)：此積分不易(bùyì)計算，通常用查表方法計算。2.7高斯(ɡāosī)過程精品資料四、用誤差函數(shù)(hánshù)表示正態(tài)分布1.誤差函數(shù)(hánshù)定義：2.補誤差函數(shù)(hánshù)定義：3.正態(tài)分布表示法：2.7高斯(ɡāosī)過程返回精品資料頻率近似為fc2.8窄帶隨機(suíjī)過程一、基本概念1.何謂窄帶?設隨機過程的頻帶寬度為f，中心頻率(pínlǜ)為fc。若f<<fc，則稱此隨機過程為窄帶隨機過程。2.窄帶隨機過程的波形和表示式（1）波形和頻譜：精品資料（2）表示式

式中，aX(t)－窄帶隨機過程的隨機包絡； X(t)－窄帶隨機過程的隨機相位； 0－正弦波的角頻率。 上式可以(kěyǐ)改寫為： 式中， －X(t)的同相分量－X(t)的正交分量2.8窄帶隨機(suíjī)過程精品資料二、窄帶隨機過程的性質(zhì)

1.Xc(t)和Xs(t)的統(tǒng)計特性：設X(t)是一個均值為0的平穩(wěn)窄帶高斯過程，則a.Xc(t)和Xs(t)也是均值為0的平穩(wěn)高斯過程；b.Xc(t)和Xs(t)的方差