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第4章控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

對(duì)于非線性、時(shí)變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題的研究,經(jīng)典控制理論無(wú)能為力。只有利用俄羅斯科學(xué)家李亞普諾夫(A.M.Lyapunov)的穩(wěn)定性理論來(lái)分析和研究。A.M.Lyapunov于1892年出版專著《運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題》,使得Lyapunov穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控制理論的最重要的幾個(gè)柱石之一。本章的主要內(nèi)容為1.引言2.李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3.李亞普諾夫第二法5.線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性6.有界輸入-有界輸出穩(wěn)定7.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.1引言

李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問(wèn)題的研究歸納為兩種方法。第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解,從而分析原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

第二種方法不需要求解微分方程的解,而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。

對(duì)于非線性、時(shí)變、多輸入多輸出系統(tǒng)來(lái)說(shuō),第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。這種方法是基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時(shí)間變化的特性來(lái)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。以下通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。例4-1一個(gè)彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng),如下圖示。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由如下微分方程描述。令(1)選取狀態(tài)變量則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(2)在任意時(shí)刻,系統(tǒng)的總能量(3)顯然,當(dāng)時(shí),而當(dāng)時(shí)而總能量隨時(shí)間的變化率為可見(jiàn),只有在時(shí),。在其他各處均有,這表明系統(tǒng)總能量是衰減的,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Lyapunov第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。4.2李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義一:范數(shù)向量的范數(shù)定義為m×n矩陣A的范數(shù)定義為如果平衡點(diǎn)xe不在坐標(biāo)原點(diǎn),可以通過(guò)非奇異線性變換,使

xe=0,因此,平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問(wèn)題都可以歸結(jié)為原點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題。二:平衡狀態(tài)定義為滿足狀態(tài)4.2.1穩(wěn)定的定義定義對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)ε>0,都存在對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)δ(ε,t0)

,則稱平衡狀態(tài)xe為L(zhǎng)yapunov意義下穩(wěn)定的。如果δ與t0無(wú)關(guān),則稱為L(zhǎng)yapunov意義下一致漸近穩(wěn)定。非線性時(shí)變系統(tǒng)使得從滿足的任意初始狀態(tài)x0出發(fā)的軌線x(t),都有:(對(duì)于所有t≥t0)4.2.2漸近穩(wěn)定對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)ε>0,δ>0,都存在實(shí)數(shù)T(ε,δ,t0),則稱平衡狀態(tài)xe為L(zhǎng)yapunov意義下漸近穩(wěn)定。如果T與t0無(wú)關(guān),則稱為L(zhǎng)yapunov意義下一致漸近穩(wěn)定。的任意初始狀態(tài)x0出發(fā)的軌線x(t),都有:使得從滿足(對(duì)于所有t≥t0+T(ε,δ,t0))Lyapunov意義下穩(wěn)定漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定4.2.3大范圍漸近穩(wěn)定如果從狀態(tài)空間中的任意初始狀態(tài)x0出發(fā)的軌線x(t),都有:則稱平衡狀態(tài)xe為L(zhǎng)yapunov意義下大范圍漸近穩(wěn)定或全局漸近穩(wěn)定。如果與t0無(wú)關(guān),則稱為L(zhǎng)yapunov意義下一致漸近穩(wěn)定。如果只有從平衡點(diǎn)xe的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的初始狀態(tài)x0出發(fā)的軌線x(t)才有:則稱平衡狀態(tài)xe為L(zhǎng)yapunov意義下局部范圍漸近穩(wěn)。不穩(wěn)定4.2.4不穩(wěn)定對(duì)于任意的實(shí)數(shù),存在一個(gè)實(shí)數(shù),不論取的多么小,在滿足不等式的所有初始狀態(tài)中,至少存在一個(gè)初始狀態(tài),由此出發(fā)的軌線,滿足稱為L(zhǎng)yapunov意義下不穩(wěn)定二:標(biāo)量函數(shù)的正定性、負(fù)定性1:正定性設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V(x),對(duì)域S中的所有非零狀態(tài)x,總有V(x)

>0,且當(dāng)x=0時(shí),有V(x)=0,則稱標(biāo)量函數(shù)V(x)在域S內(nèi)是正定的2:負(fù)定性設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V(x),對(duì)域S中的所有非零狀態(tài)x,總有V(x)<0,且當(dāng)x=0時(shí),有V(x)=0,則稱標(biāo)量函數(shù)V(x)在域S內(nèi)是負(fù)定的。此時(shí)–V(x)是正定的3:正半定性和負(fù)半定性設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V(x),對(duì)域S中的某些非零狀態(tài)x及x=0,有V(x)=0,而對(duì)于S中的其余狀態(tài)有V(x)>0,則稱標(biāo)量函數(shù)V(x)在域S內(nèi)是正半定的。如果-V(x)是正半定的,則V(x)是負(fù)半定的4:賽爾維斯特準(zhǔn)則:對(duì)于二次型函數(shù)V(x)=xTQx,若Q的所有主子式大于零,則Q是正定的,V(x)也是正定的;或者Q的特征值均為正值,則Q是正定的,V(x)也是正定的。例如:是正定的。例如:是半負(fù)定的。例如:是負(fù)定的。例如:是半正定的。例如:是不定的。(7)定理4-1

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi),標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),并且滿足:1)為正定;2)為負(fù)定。則為一致漸近穩(wěn)定的。如果,,則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。其中稱為廣義能量函數(shù)(energy-likefunction),又稱為L(zhǎng)yapunov函數(shù)。4.3李亞普諾夫第二法例4-2

系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下,判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。解而將狀態(tài)方程代入上式,化簡(jiǎn)后得選取Lyapunov函數(shù),顯然是正定的,即滿足可見(jiàn),是負(fù)定的,即滿足因此,是一致漸近穩(wěn)定的。當(dāng),有,故系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。定理4-2

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi),標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),并且滿足:1)為正定;2)為半負(fù)定;3)除了平衡狀態(tài)外,還有的點(diǎn),但是不會(huì)在整條狀態(tài)軌線上有則為一致漸近穩(wěn)定的。如果,,則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。例4-3

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中,a

為大于零的實(shí)數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù):顯然它是正定的,即滿足而將狀態(tài)方程代入上式,化簡(jiǎn)后得可見(jiàn),當(dāng)和任意的時(shí),有,而和任意時(shí),。又因?yàn)?,只要變化就不為零,因此在整條狀態(tài)軌線上不會(huì)有。因此,是一致漸近穩(wěn)定的。當(dāng),有,故系統(tǒng)是一致大范圍漸近穩(wěn)定的。定理4-3

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi),標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),并且滿足:1)為正定;2)為半負(fù)定;則為一致穩(wěn)定的。如果,,則是大范圍一致穩(wěn)定的。因?yàn)椤?則系統(tǒng)可能存在閉合曲線(極限環(huán)),在上面恒有,則系統(tǒng)可能收斂到極限環(huán),而不收斂到平衡點(diǎn)。因此是一致穩(wěn)定的。例4-4

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中,k

為大于零的實(shí)數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù):顯然它是正定的,即滿足而由定理4-3可知,為L(zhǎng)yapunov意義下一致穩(wěn)定。定理4-4

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

在的某鄰域內(nèi),標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),并且滿足:1)為正定;2)為正定或半正定;則為不穩(wěn)定的。例4-5

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù):顯然它是正定的,即滿足而由定理4-4可知,是不穩(wěn)定的。

應(yīng)該指出:Lyapunov第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。到目前為止,人類還沒(méi)有找到構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般方法。因此,對(duì)于某個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō),找不到合適的Lyapunov函數(shù),既不能說(shuō)系統(tǒng)穩(wěn)定,也不能說(shuō)系統(tǒng)不穩(wěn)定,只能說(shuō)無(wú)法提供有關(guān)該系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息(即:inconclusive—沒(méi)有得出結(jié)論)。4.4線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng),其相應(yīng)的齊次狀態(tài)方程為由第2章介紹的方法求出其解為由此可判別齊次以及非齊次系統(tǒng)的穩(wěn)定性,如果收斂則都穩(wěn)定;如果發(fā)散,則都不穩(wěn)定。首先介紹矩陣正定性的定義:對(duì)于方陣當(dāng)它的所有主子式均大于零時(shí),則Q是正定的。即:對(duì)線性定常系統(tǒng),可以用Lyapunov第二法。

如果方陣Q是正定的,則-Q

就是負(fù)定的。負(fù)定的矩陣主子式負(fù)正相間。Lyapunov函數(shù)為狀態(tài)變量的二次型函數(shù),即如果P為維正定的對(duì)稱常數(shù)矩陣,則為正定的。令,其中Q為正定實(shí)數(shù)矩陣,且滿足如果給定Q陣,能夠推出P

為正定的,則系統(tǒng)在為穩(wěn)定的。并且線性定常系統(tǒng)為穩(wěn)定,就一定是大范圍一致漸近穩(wěn)定。(注1:線性定常系統(tǒng),可以判斷A的特征值是否全部具有負(fù)實(shí)部,既可以判別其穩(wěn)定性。)(注2:因?yàn)槭蔷€性定常系統(tǒng),則Q為正定時(shí),P陣或者為正定、或者為負(fù)定,不會(huì)是不定的。)例4-6

線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為為簡(jiǎn)單起見(jiàn),可以令Q

陣為單位矩陣I。解得有可見(jiàn),P為正定的矩陣,故為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。4.5線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(8)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為假設(shè)G

為維非奇異常數(shù)陣,是唯一的平衡狀態(tài)。選取Lyapunov函數(shù)(9)式中,P

為正定的對(duì)稱常數(shù),因此是正定的。的差分為若要在處漸近穩(wěn)定,要求為負(fù)定的。所以其中Q為正定。給定一個(gè)正定對(duì)稱常數(shù)陣Q,求P

陣,并驗(yàn)證其正定性。(10)例4-7

線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下,試判別其穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為為簡(jiǎn)單起見(jiàn),可以令Q

陣為單位矩陣I。解得P的各階主子式均大于零,即可見(jiàn),P為正定的矩陣,故為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。4.6有界輸入-有界輸出穩(wěn)定4.6.1有界輸入-有界輸出穩(wěn)定BoundedInputBoundedOutput(BIBO)Stable定義:對(duì)于初始松弛系統(tǒng),任何有界輸入,其輸出也是有界的,稱為BIBO系統(tǒng)。如果輸入有界,是指≤如果輸出有界,是指≤可以取如果≤于是≤≤≤定理4-5

由方程描述的線性定常系統(tǒng)。為初始松弛系統(tǒng)。其輸出向量的解為(11)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個(gè)常數(shù)K3,有≤或者對(duì)于的每一元素,都有≤其中,a

為一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù),而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為例4-8線性定常系統(tǒng)方程為分析系統(tǒng)是否BIBO穩(wěn)定。解可見(jiàn),只有當(dāng)時(shí),才有有限值存在,系統(tǒng)才是BIBO穩(wěn)定的。4.6.2BIBO穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系對(duì)于線性定常系統(tǒng)(12)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性由A的特征值決定。而B(niǎo)IBO的穩(wěn)定性是由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定的。

的所有極點(diǎn)都是A的特征值,但A的特征值并不一定都是的極點(diǎn)??赡艽嬖诹銟O點(diǎn)對(duì)消。所以,處的漸近穩(wěn)定就包含了BIBO穩(wěn)定,而B(niǎo)IBO穩(wěn)定卻可能不是處的漸近穩(wěn)定。那么在什么條件下,BIBO穩(wěn)定才有平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定呢?結(jié)論是:如果(12)式所描述的線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定,且系統(tǒng)是既能控又能觀測(cè)的,則系統(tǒng)在處是漸近穩(wěn)定的。4.7非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.7.1用Lyapunov第二法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性到目前為止,尚沒(méi)有構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般性方法。往往都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn),用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。1.克拉索夫斯基法(12)非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中和均為n維向量。為非線性多元函數(shù),對(duì)各都具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下(13)其中

W

為正定對(duì)稱常數(shù)矩陣(14)而(15)其中稱為雅可比矩陣(16)其中(17)如果是負(fù)定的,則是負(fù)定的。而是正定的,故是一致漸近穩(wěn)定的。如果,,則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡(jiǎn)便,通常取,這時(shí)例4-10

非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為試分析的穩(wěn)定性。解雅可比矩陣選擇W=I

則檢驗(yàn)的各階主子式:并且時(shí),有顯然,是負(fù)定的,故是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。2變量梯度法設(shè)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變系統(tǒng)Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài),(1)設(shè)V(x)的梯度為(2)設(shè)梯度▽V(x)對(duì)應(yīng)于有勢(shì)場(chǎng),則旋度rot▽V(x)=0,即(3)由(4)由(2),(3)定出▽V(x)(5)(6)判斷V(x)計(jì)算結(jié)果的正定性

3:阿塞爾曼法設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為:其中f(xi)為非線性單值函數(shù),f(0)=0,故x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。阿塞爾曼指出:若以線性函數(shù)取代非線性函數(shù),即令f(xi)=kxi,可對(duì)線性化后的系統(tǒng)建立李雅普諾夫函數(shù)V(x),若dV(x)/dt在k1≤k≤k2區(qū)間內(nèi)是負(fù)定的,則當(dāng)非線性函數(shù)不超過(guò)上述區(qū)間時(shí),非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。例

設(shè)f(x1)如圖所示,判斷x=0的穩(wěn)定性解:令f(x1)=2x1

線性化后的系統(tǒng)方程為

令得Q為正定對(duì)稱陣認(rèn)為非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)就是V(x),則根據(jù)負(fù)定的要求,穩(wěn)定時(shí)要求根據(jù)負(fù)定的要求,穩(wěn)定時(shí)要求只要非線性特性在此范圍內(nèi),系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的

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