數(shù)列的極限函數(shù)的極限

第二章極限與連續(xù)縱觀微積分的發(fā)展史，微積分發(fā)展初期進展非常緩慢，究其原因，是因為沒有形成系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，而理論基礎(chǔ)的核心是極限。極限的思想源遠流長，莊子在《天下篇》中寫道“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；劉徽的“割圓術(shù)”中說“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣”。2第一節(jié)極限的概念這都是極限思想的體現(xiàn)，古今中外一些學(xué)者雖曾有意無意地引用了一些極限方法，并隱約地體會到這種方法的重要性，但至到17世紀，數(shù)學(xué)家們還是覺得極限概念十分模糊。18世紀，法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家達朗貝爾首次把極限理論作為分析的基礎(chǔ)，并給出了比較反映其實質(zhì)的極限定義，19世紀，法國數(shù)學(xué)家柯西出版了他的《分析教程》、《無窮小計算教程》、《微分計算教程》等具有劃時代意義的著作，給出了比較嚴密的極限定義，從而將微積分建立在堅實的基礎(chǔ)上，帶動了微積分的飛速發(fā)展。3

什么是極限？我們知道，微積分的研究對象是函數(shù)，函數(shù)有兩個變量，極限就是研究函數(shù)當(dāng)它的自變量有一個無限變化時，其因變量(函數(shù)值)的變化趨勢。4一、數(shù)列的極限1、割圓術(shù)：利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓的面積(一)概念的引入思路：利用圓的內(nèi)接正多邊形近似替代圓的面積隨著正多邊形邊數(shù)的增多，近似程度會越好。割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——劉徽“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——劉徽“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——劉徽“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——劉徽“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——劉徽“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——劉徽“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”割圓術(shù)：——劉徽通過上面演示觀察得:

若正多邊形邊數(shù)n無限增大，則

正多邊形周長無限接近于圓的周長。2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”——出自莊子《天下篇》(二)數(shù)列的極限的有關(guān)知識1.定義:

按一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,記作．?dāng)?shù)列中的每一個數(shù)叫數(shù)列的項,第n項稱為數(shù)列的一般項或通項.數(shù)列也可稱作整標(biāo)函數(shù).

因為數(shù)列可看成是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù).當(dāng)自變量

n按正整數(shù)1,2,3,…依次增大的順序取值時,函數(shù)值按相應(yīng)的順序排列成一串?dāng)?shù):稱為一個無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列.在幾何上一個數(shù)列可看成實數(shù)軸上的一個點列，也可看一個動點在數(shù)軸上依次取值.注意：

例1xn0242nx1x2……x???????????????………xnx2x1x0x3…??????????01–1x所有的奇數(shù)項所有的偶數(shù)項x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數(shù)項1xnx3x2x1x0………??????????…(三)、數(shù)列極限的直觀描述

2.上面數(shù)列(2),(4)收斂于0;數(shù)列(5)收斂于1;數(shù)列(1),(3)發(fā)散.3、舉例例1

判斷下列數(shù)列極限

2、

3、

4、解：1、

2、

3、不存在

不存在4、問題:當(dāng)無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:當(dāng)無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?通過上面演示實驗的觀察:對極限僅僅停留于直觀的描述和觀察是非常不夠的憑觀察能判定數(shù)列的極限是多少嗎顯然不能問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.這就是“當(dāng)n無限增大時，xn無限地接近于1”的實質(zhì)和精確的數(shù)學(xué)描述。如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.(四)、數(shù)列極限的ε—N定義

通過上面的討論，我們可以用數(shù)學(xué)語言把它敘述出來：，如果對任意給定的正數(shù)ε，總存在一時，

恒成立，則稱常數(shù)為數(shù)列的極限，定義:對于數(shù)列或稱數(shù)列收斂于.記為

否則，稱數(shù)列發(fā)散。個正整數(shù)N，使當(dāng)注①定義1習(xí)慣上稱為極限的ε—N定義，它用兩個動態(tài)指標(biāo)ε和N刻畫了極限的實質(zhì)，用|un－a|＜ε定量地刻畫了un與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標(biāo)志著“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。這個定義有三個要素：(ⅰ)正數(shù)ε，(ⅱ)正數(shù)N，(ⅲ)不等式|un－a|＜ε（n

＞N）②定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對固定性。ε的二重性體現(xiàn)了un逼近a時要經(jīng)歷一個無限的過程（這個無限過程通過ε的任意性來實現(xiàn)），但這個無限過程又要一步步地實現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的（這個有限的變化通過ε的相對固定性來實現(xiàn)）。③定義中的N是一個特定的項數(shù)，與給定的ε有關(guān)。重要的是它的存在性，它是在ε相對固定后才能確定的，且由|un－a|＜ε來選定，一般說來，ε越小，N越大，但須注意，對于一個固定的ε，合乎定義要求的N不是唯一的。④

用定義驗證un以a為極限時，關(guān)鍵在于設(shè)法由給定的ε，求出一個相應(yīng)的N，使當(dāng)n

＞N時，不等式|un－a|＜ε成立。⑤定義中的不等式|un－a|＜ε（n

＞N）是指下面一串不等式都成立，而對則不要求它們一定成立這就表明數(shù)列un中的項到一定程度時變化就很微小，呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的“收斂”。使得N項以后的所有項都落在a點的ε鄰域因而在這個鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個點注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例2

利用定義證明

證明：要使，只須

故：任給，總存在，當(dāng)時，恒成立，因此

注意數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法,只能驗證某個數(shù)是不是某數(shù)列的極限.二、函數(shù)的極限數(shù)列極限是一般函數(shù)極限的特殊情況.數(shù)列作為定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，其自變量是離散的，而不是連續(xù)的.其自變量的變化過程只有一種，即趨于無窮大，記作但是，考察一般函數(shù)的極限時，自變量的變化過程可以是連續(xù)的，并出現(xiàn)了多種可能性.

由于數(shù)列實際上可以看成是定義在為正整數(shù)集上的一個函數(shù),所以可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中,并用極限理論研究函數(shù)的變化情形.1.

x→∞時函數(shù)?(x)的極限定義：對函數(shù)?(x),

當(dāng)x取正值且無限增大時(即x→+∞

),?(x)無限接近于常數(shù)A,則稱A是函數(shù)?(x)當(dāng)x→+∞時的極限.記為注：函數(shù)y=?(x)當(dāng)x→+∞

時有極限與數(shù)列極限的不同點在于自變量一個是連續(xù)遞增的,一個是取自然數(shù)遞增的(數(shù)列極限是函數(shù)極限的特殊情形).例如不存在

定義：對函數(shù)?(x),

當(dāng)x取負值而絕對值無限增大時(即x→－∞),如果?(x)無限接近于常數(shù)A,則稱A是函數(shù)?(x)當(dāng)x→－∞時的極限.記為例如不存在發(fā)現(xiàn)問題沒有?當(dāng)x+時,函數(shù)趨于/2;當(dāng)x-時,函數(shù)趨于-/2;那?例

定義：對函數(shù)?(x),

當(dāng)x絕對值無限增大時(即x→∞),

?(x)無限接近于常數(shù)A,則稱A是函數(shù)?(x)當(dāng)x→∞時的極限.記為充要條件：例不存在2

.x→x0

時函數(shù)?(x)的極限當(dāng)x從大于1和小于1的方向趨于1即當(dāng)x→1時,函數(shù)?(x)無限接近于2.??oxy11(1,2)首先,考察函數(shù)y=?(x)=

(如右圖)(1)定義：設(shè)函數(shù)在的附近有定義，如果當(dāng)無限接近于但不等于時，無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱當(dāng)時函數(shù)以為極限.記作注意：例：觀察并求出下列極限1o1-1=1=0=0=1=1=-1中所討論的x→x0

即x可從x0

的左右如(2).函數(shù)?(x)的左、右極限則只能考察x從0的右側(cè)趨于0時的極限.因而必須引進左、右極限的概念.兩側(cè)趨于x0

.但有時可考察x

僅從x0

的左側(cè)趨于x0或右側(cè)趨于x0時函數(shù)(特別是分段函數(shù)在分段點處)的極限.

的左側(cè)有定義，如果當(dāng)從左側(cè)無限接近于時的左極限為。記為①定義：設(shè)函數(shù)在但不等于時，無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱當(dāng)時函數(shù)以為極限.也稱在②定義：設(shè)函數(shù)在的右側(cè)有定義，如果當(dāng)從的右側(cè)無限接近于但不等于時無限接近于一個確定的常數(shù)，則稱當(dāng)時函數(shù)以為極限．也稱在時的右極限為．記為(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個不存在.函數(shù)在點x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：③左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.定理

函數(shù)y=?(x)當(dāng)x→x0

時極限存在且為A的充要條件是函數(shù)y=?(x)的左極限和右極限都存在且等于A.即左右極限存在但不相等,證例例解？如何求分段點左右兩邊表達式相同不需分左右極限例

已知

求

解：1、

2、

即所以

不存在3、④

討論分段函數(shù)在分段點的極限的步驟:注意：有時不需分左右極限求解四、函數(shù)極限的幾個重要性質(zhì)為了敘述方便,將?(x)在x→∞或x→x0時的極限A統(tǒng)一記為1.唯一性

若存在,則極限值A(chǔ)唯一.lim?(x)=A2.有界性若,則在的某空心領(lǐng)域內(nèi)有界下面性質(zhì)以時極限為例，其它極限有類似結(jié)