張量彈性力學2

幾個基本概念張量的概念只需指明其大小即足以被說明的物理量，稱為標量溫度、質量、力所做的功除指明其大小還應指出其方向的物理量，稱為矢量物體的速度、加速度在討論力學問題時，僅引進標量和矢量的概念是不夠的如應力狀態(tài)、應變狀態(tài)、慣性矩、彈性模量等張量關于三維空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表示成：M=rn=3n標量:n=0,零階張量矢量:n=1,一階張量應力,應變等:n=2,二階張量二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義。

幾個基本概念為了書寫上的方便，在張量的記法中，都采用下標字母符號來表示和區(qū)別該張量的所有分量。這種表示張量的方法，就稱為下標記號法。下標記號法:不重復出現(xiàn)的下標符號,在其變程N(關于三維空間N＝3)內分別取數(shù)1，2，3，…，N重復出現(xiàn)的下標符號稱為啞標號,取其變程N內所有分量，然后再求和，也即先羅列所有各分量，然后再求和。自由標號:啞標號:

幾個基本概念當一個下標符號在一項中出現(xiàn)兩次時，這個下標符號應理解為取其變程N中所有的值然后求和，這就叫做求和約定。求和約定:dij記號：Kroneker-delta記號

幾個基本概念凡是同階的兩個或兩個以上的張量可以相加(減），并得到同階的一個新張量，法則為：張量的計算:1、張量的加減第一個張量中的每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量，從而得到一個新的分量的集合—新張量，新張量的階數(shù)等于因子張量的階數(shù)之和。2、張量的乘法張量導數(shù)就是把張量的每個分量都對坐標參數(shù)求導數(shù)。3、張量函數(shù)的求導彈塑性力學基礎1.1應力張量1.2偏量應力張量1.3應變張量1.4應變速率張量1.5應力、應變Lode參數(shù)1.1應力張量～力學的語言yxzO正應力剪應力過C點可以做無窮多個平面K不同的面上的應力是不同的到底如何描繪一點處的應力狀態(tài)?1).一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)yxzOtyxtyzsytyxtyzsytzxtzysztxytxzsxtxytxzsxtzxtzyszPABC1.1應力張量一點的應力狀態(tài)可由過該點的微小正平行六面體上的應力分量來確定。應力張量數(shù)學上，在坐標變換時，服從一定坐標變換式的九個數(shù)所定義的量叫做二階張量。用張量下標記號法下標1、2、3表示坐標x1、x2、x3即x、y、z方向(1.1)(1.2)1.1應力張量2).一點斜面上的應力(不計體力)i：自由下標；j為求和下標（同一項中重復出現(xiàn)）。斜截面外法線n的方向余弦:令斜截面ABC的面積為1(1.3)(1.4)1.1應力張量斜截面OABC上的正應力:斜截面OABC上的剪應力:(1.5)(1.6)1.1應力張量3).主應力及其不變量主平面:剪應力等于零的截面主應力--λ:主平面上的正應力代入采用張量下標記號Kronekerdelta記號(1.7)(1.8)(1.9)1.1應力張量dij記號：Kroneker-delta記號方向余弦滿足條件：采用張量表示聯(lián)合求解l1,l2,l3：l1,l2,l3不全等于0(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1應力張量聯(lián)合求解l1,l2,l3：行列式展開后得：簡化后得(1.14)(1.15)式中:是關于λ的三次方程，它的三個根，即為三個主應力，其相應的三組方向余弦對應于三組主平面。主應力大小與坐標選擇無關，故J1,J2,J3也必與坐標選擇無關。1.1應力張量若坐標軸選擇恰與三個主坐標重合：(1.16)主剪應力面：平分兩主平面夾角的平面，數(shù)值為：(1.17)主剪應力面(t1)213t1213t11.1應力張量最大最小剪應力：取主方向為坐標軸取向,則一點處任一截面上的剪應力的計算式:消去l3：由極值條件1.1應力張量最大最小剪應力：第一組解：第二組解：第三組解：它們分別作用在與相應主方向成45o的斜截面上因為：1.1應力張量4).八面體上的應力s1s2s3沿主應力方向取坐標軸，與坐標軸等傾角的八個面組成的圖形，稱為八面體。(1.19)八面體的法線方向余弦：八面體平面上應力在三個坐標軸上的投影分別為：八面體（每個坐標象限1個面）或(1.20)1.1應力張量4).八面體上的應力s1s2s3八面體面上的正應力為:八面體面上的剪應力為：八面體（每個坐標象限1個面）(1.23)(1.21)八面體面上的應力矢量為：(1.22)平均正應力1.1應力張量例題:已知一點的應力狀態(tài)由以下一組應力分量所確定,即x＝3,y＝0,z＝0,xy＝1,yz

＝2,zx

＝1,應力單位為MPa。試求該點的主應力值。代入式(1.14)后得:解:解得主應力為:1.2應力偏量張量1).應力張量分解物體的變形(1.32)體積改變形狀改變由各向相等的應力狀態(tài)引起的材料晶格間的移動引起的球應力狀態(tài)/靜水壓力彈性性質塑性性質球形應力張量偏量應力張量1.2應力偏量張量1).應力張量分解(1.31)球形應力張量偏量應力張量其中:平均正應力/靜水壓力1.2應力偏量張量2).主偏量應力和不變量(1.31)二階對稱張量其中:剪應力分量始終沒有變化主偏量應力(1.33)1.2應力偏量張量證明偏應力狀態(tài)的主方向與原應力狀態(tài)的主方向重合例:設原應力狀態(tài)主方向的方向余弦為l1,l2,l3，則由式(1.9)得證明：顯然，方向余弦l1,l2,l3將由式(a)中的任意兩式和l12+l22+l32=1所確定。(a)若設偏應力狀態(tài)主方向的方向余弦為l1’,l2’,l3’，則由式(1.9)同樣得：顯然，方向余弦l1’,l2’,l3’將由式(b)中的任意兩式和l1’2+l2’2+l3’2=1所確定。(b)由于:l1=l1’;l2=l2’;l3=l3’可見式(a)與式(b)具有相同的系數(shù)，且已知l12+l22+l32=l1’2+l2’2+l3’2=11.2應力偏量張量2).主偏量應力和不變量(1.33)偏應力狀態(tài)的主方向與原應力狀態(tài)的主方向一致,主值為:滿足三次代數(shù)方程式：(1.34)式中J1’,J2’,J3’為不變量(1.35)1.2應力偏量張量(1.40)利用J1’=0，不變量J2’還可寫為:(1.38)1.2應力偏量張量(1.43)3).等效應力(應力強度)在彈塑性力學中，為了使用方便，將乘以系數(shù)后，稱之為等效應力(1.41)簡單拉伸時:“等效”的命名由此而來。各正應力增加或減少一個平均應力，等效應力的數(shù)值不變，這也說明等效應力與球應力狀態(tài)無關1.2應力偏量張量(1.42)4).等效剪應力(剪應力強度)“等效”的命名由此而來。例題：已知結構內某點的應力張量如右式，試求該點的球形應力張量、偏量應力張量、等效應力及主應力數(shù)值。

解：1.2應力偏量張量等效應力:1.2應力偏量張量關于主應力的方程為:由主應力求等效應力:1.2應力偏量張量1.3應變張量1).一點應變狀態(tài)位移剛性位移變形位移物體內各點的位置雖然均有變化，但任意兩點之間的距離卻保持不變。物體內任意兩點之間的相對距離發(fā)生了改變。要研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需要研究物體內各點的相對位置變動情況，也即研究變形位移位移函數(shù)位置坐標的單值連續(xù)函數(shù)1.3應變張量微小六面體單元的變形當物體在一點處有變形時，小單元體的尺寸(即單元體各棱邊的長度)及形狀(即單元體各面之間所夾直角)將發(fā)生改變。由于變形很微小，可以認為兩個平行面在坐標面上的投影只相差高階微量，可忽略不計。1.3應變張量微小六面體單元的變形B點位移分量D點位移分量A點位移分量∠xOy的改變量:1.3應變張量變形后AB邊長度的平方:M點沿X方向上的線應變:(a)(b)(c)代入(a)得:略去高階微量同理，M點沿Y方向上的線應變:1.3應變張量同理:∠xOy的改變量，即剪應變:1.3應變張量對角線AC線的轉角:剛性轉動1.3應變張量(1.44)1).一點應變狀態(tài)工程應變分量：(幾何方程/柯西幾何關系)1.3應變張量(1.45)1).一點應變狀態(tài)受力物體內某點處所取無限多方向上的線應變與剪應變(任意兩相互垂直方向所夾直角的改變量)的總和，就表示了該點的應變狀態(tài)。定義:應變張量:(1.46)1.3應變張量2).主應變及其不變量由全微分公式:M點的位移分量N點的位移分量表示剛性轉動，不引起應變，計算應變時可忽略。1.3應變張量在主應變空間中:主平面法線方向的線應變主應變:1.3應變張量類似于應力張量:eij:二階對稱張量。主應變e1,e2,

e3滿足：

ei3-I1ei2-I2ei

-I3

=0

I1、I2、I3

為應變張量不變量。其中:(1.47)(1.48)平均正應變:1.3應變張量偏量應變張量:(1.52)eij的主軸方向與eij

的主方向一致，主值為:e1=e1-e，e2=e2-e，e3=e3-e滿足三次代數(shù)方程式：(1.50)(1.51)I2’應用較廣,又可表達為:1.3應變張量等效應變(應變強度):(1.54)等效剪應變(剪應變強度):(1.55)1.4應變速率張量一般來說物體變形時，體內任一點的變形不但與坐標有關，而且與時間也有關。如以u、v、w表示質點的位移分量，則:設應變速率分量為:質點的運動速度分量1.4應變速率張量線應變速率在小變形情況下，應變速率分量與應變分量之間存在有簡單關系:剪應變速率1.4應變速率張量在小變形情況下的應變速率張量:(1.56)可縮寫為在一般情況下，應變速率主方向與應變主方向不重合，且在加載過程中發(fā)生變化。1.4應變速率張量應變增量:應變增量由位移增量微分得：由于時間度量的絕對值對塑性規(guī)律沒有影響，因此dt可不代表真實時間，而是代表一個加載過程。因而用應變增量張量來代替應變率張量更能表示不受時間參數(shù)選擇的特點。(1.57)應變微分由兩時刻應變差得：泰勒級數(shù)展開高階微量忽略高階微量1.5應力和應變的Lode參數(shù)一、應力莫爾圓（表示一點應力狀態(tài)的圖形）:任一斜面上應力位于陰影線內ms=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1如果介質中某點的三個主應力的大小為已知，便可以在-平面內繪出相應的應力圓。1.5應力和應變的Lode參數(shù)一、應力莫爾圓（表示一點應力狀態(tài)的圖形）:AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.61)1.5應力和應變的Lode參數(shù)一、應力莫爾圓（表示一點應力狀態(tài)的圖形）:AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.63)式(1.63)表明，當一點處于空間應力狀態(tài)時，過該點的任一斜截面上的一對應力分量、一定落在分別以(1-2)／2、(2-3)／2、(3-1)／2為半徑的三個圓的圓周所包圍的陰影面積(包括三個圓周)之內。1.5應力和應變的Lode參數(shù)若在一應力狀態(tài)上再疊加一個球形應力狀態(tài)(各向等拉或各向等壓)，則應力圓的三個直徑并不改變，只是整個圖形沿橫軸發(fā)生平移。應力圓在橫軸上的整體位置取決于球形應力張量；而各圓的大小(直徑)則取決于偏應力張量，與球形應力張量無關。一點應力狀態(tài)中的主應力按同一比例縮小或增大(應力分量的大小有改變，但應力狀態(tài)的形式不變)，則應力圓的三個直徑也按同一比例縮小或增大，即應力變化前后的兩個應力圓是相似的。這種情況相當于偏量應力張量的各分量的大小有了改變，但張量的形式保持不變。

1.5應力和應變的Lode參數(shù)二、應力Lode參數(shù):幾何意義:應力圓上Q2A與Q1A之比，或兩內圓直徑之差與外圓直徑之比。球形應力張量對塑性變形沒有明顯影響，因而常把這一因素分離出來，而著重研究偏量應力張量。為此，引進參數(shù)——Lode參數(shù)：Lode參數(shù)：表征Q2在Q1與Q3之間的相對位置，反映中間主應力對屈服的貢獻。AOsts3s1s2O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)1.5應力和應變的Lode參數(shù)應力Lode參數(shù)的物理意義：1、與平均應力無關；2、其值確定了應力圓的三個直徑之比；3、如果兩個應力狀態(tài)的Lode參數(shù)相等，就說明兩個應力狀態(tài)對應的應力圓是相似的，即偏量應力張量的形式相同；Lode參數(shù)是排除球形應力張量的影響而描繪應力狀態(tài)特征的一個參數(shù)。它可以表征偏應力張量的形式。(1.65)1.5應力和應變的Lode參數(shù)簡單應力狀態(tài)的Lode參數(shù)：Q3OQ1Q2stAQ1OQ2Q3stA單向壓縮(s1=s2=0,s3<0)單向拉伸(s1>0,s2=s3=0)